Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển Toán lớp 12 của Hà Nội

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các đề thi chọn đội tuyển của Hà Nội dự thi chọn HSG QG (VMO).

Cho $P$ và $Q$ là hai số nguyên lẻ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $D=P^2-4Q>0.$ Dãy Lucas $(U_n)$ và dãy Lucas đồng hành $(V_n)$ với tham số $P$ và $Q$ được xác định như sau: $U_0=0,U_1=1,U_n=PU_{n-1}-QU_{n-2},\quad\forall n\geq 2,$ và $V_0=2,V_1=P,V_n=PV_{n-1}-QV_{n-2},\quad\forall n\geq 2.$ Khi $P=1$ và $Q=-1$ ta có $(U_n)$ là dãy số Fibonacci. Vào quãng năm 1996, Paulo Ribenboim và Wayne L. McDaniel đã chứng minh được kết quả:

Định lí. Nếu $n$ là số tự nhiên sao cho một trong bốn số $U_n,2U_n,V_n$ và $2V_n$ là số chính phương thì $n<13.$

Phương pháp của họ như sau. Chẳng hạn giả sử $U_n$ là số một chính phương, khi đó với mỗi số nguyên dương lẻ $M$ nguyên tố cùng nhau với $U_n$ ta có ký hiệu Jacobi $(U_n\mid M)=1.$ Với hầu hết $n,$ họ chọn được các modulo $M_i$ sao cho $\prod (U_n\mid M_i)=-1,$ suy ra $U_n$ không phải là số chính phương, vô lý! Bạn đọc quan tâm có thể đọc trong bài:

$\text{[P-W]}$ Paulo Ribenboim and Wayne L. McDaniel, The Square Terms in Lucas Sequences. Journal of number theory 58, 104 -123 (1996).

Mục đích chính của tôi khi viết bài này chỉ là giới thiệu $\text{[P-W]}$ đến các đồng nghiệp và các học sinh. Trong đó có nhiều kết quả sơ cấp về dãy Lucas và dãy Lucas đồng hành, những dãy số mà chúng ta biết ít hơn so với dãy số Fibonacci. Tiếp theo tôi giới thiệu một lời giải cho bài toán sau, nó là ý b trong bài 4 của đề thi chọn đội tuyển IMO 2023.

Bài toán (TST2023/4b). Cho hai số nguyên dương lẻ $a>2$ và $b$ nguyên tố cùng nhau. Xét dãy số $(x_n)_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=2,x_1=a,x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n,\quad\forall n\geq 0.$ Chứng minh rằng không tồn tại bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ sao cho $mnp$ chẵn và $\displaystyle \frac{x_m}{x_nx_p}$ là số chính phương.

Lời giải. Với giả thiết của bài toán ta thấy $(x_n)$ là dãy Lucas đồng hành với tham số $P=a$ và $Q=-b,$ bởi vậy chúng ta có thể dùng các kết quả trong $\text{[P-W]}$ . Giả sử $(m,n,p)$ là một bộ ba số nguyên dương sao cho $mnp$ chẵn và $\displaystyle \frac{x_m}{x_nx_p}$ là số chính phương. Khi đó $x_n\mid x_m$ và $x_p\mid x_m,$ suy ra theo (9) trong $\text{[P-W]}$ (trang 107) ta có $m/n$ và $m/p$ là các số nguyên dương lẻ. Do đó cấp $2-$ adic của $m,n$ và $p$ bằng nhau, để ý thêm $mnp$ chẵn ta có $m,n$ và $p$ đều chẵn. Bây giờ theo bổ đề 1 trong $\text{[P-W]}$ ta có $(2\mid D)=1,$ điều này không thể xảy ra vì $(2\mid D)=(-1)^{\frac{D^2-1}{8}}=-1.$

Bài toán được giải.

—

Vậy tôi giải được bài toán này nhờ tôi biết nhiều, chứ không cần điều gì đặc biệt. Có đúng không các bạn học sinh? 🙂

—

18/04/2023: Anh Nguyễn Xuân Thọ (Đại học Bách Khoa) cho tôi biết là kết quả TST2023/4b này đã có trong Colloquium Mathematicum, Vol. 130, No. 1, 2013.

Một điểm không phù hợp nữa của bài toán này là đoạn đặc trưng các cặp $(m,n)$ sao cho $x_m\mid x_n$ đã có trong đề thi chọn HSG QG năm 2018, cụ thể là Bài 6.

IMO 2022: Problems and results

IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.

I. Danh sách đội tuyển Việt Nam

Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)

Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)

Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)

Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)

Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.

II. Đề thi và đáp án

Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂

Đề thi IMO 2022 Download

III. Kết quả

Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?

HCV: $\geq 34$ , HCB: $\geq 29$ , HCĐ: $\geq 23$ .

HCV: $\geq 34$ , HCB: $\geq 29$ , HCĐ: $\geq 23$ .

10 thí sinh cao điểm nhất! Đội tuyển Việt Nam có 42/42 sau nhiều năm. C05 chắc là đến từ Nga rồi?

Kết quả của đội tuyển Việt Nam: 2 HCV, 2 HCB, 2 HCĐ.

10 đội tuyển có tổng số điểm cao nhất! Đội tuyển Việt Nam đứng thứ 4. Năm nay các học sinh đến từ Nga không được tham gia với tư cách đội tuyển Nga, các em tham gia với tư cách cá nhân, tổng điểm của các em trong đội là $207.$

10 đội tuyển có tổng số điểm cao nhất! Đội tuyển Việt Nam đứng thứ 4. Năm nay các học sinh đến từ Nga không được tham gia với tư cách đội tuyển Nga, các em tham gia với tư cách cá nhân, tổng điểm của các em trong đội là $207.$

IMO2021/6

Trong bài này tôi giới thiệu hai lời giải cho bài 6 trong đề thi IMO 2021, lời giải thứ hai có dùng bổ đề Siegel mà tôi đã giới thiệu cách đây rất lâu ở đường dẫn https://nttuan.org/2007/10/21/siegel/. Các bạn có thể tìm các bài toán khác trong đề IMO 2021 ở đây https://nttuan.org/2021/07/25/imo2021/

Bài toán (IMO2021/6). Cho số nguyên $m\ge 2,$ $A$ là một tập hữu hạn các số nguyên và $B_1,$ $B_2,$ …, $B_m$ là các tập con của $A$ . Giả sử rằng với mỗi $k=1,2,...,m$ , tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$ . Chứng minh rằng $A$ có ít nhất $\frac{m}{2}$ phần tử.

Lời giải 1. Đặt $k=|A|$ và giả sử $A = \{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$ . Từ giả thiết, với mỗi $i\in [m]$ , ta có $\displaystyle m^i = \sum_{j=1}^{k}b_{i,j}a_{j}\quad (1)$ với các $b_{i,j} \in \{0;1\}$ . Với mỗi $0 \le x \le m^{m}-1$ , biểu diễn $mx$ theo cơ số $m$ và kết hợp với $(1)$ ta được $\displaystyle mx = \sum_{j=1}^{k}c_{j}a_{j},$ trong đó các $c_j$ là số nguyên thỏa mãn $0 \le c_j \le (m-1)m,\quad\forall j\in [k]$ . Vế trái của đẳng thức này nhận đúng $m^{m}$ giá trị, do đó $\displaystyle m^{m} \le [m(m-1)+1]^{k} < m^{2k},$ suy ra $|A|=k>m/2$ . $\Box$

Continue reading →

IMO 2021: Problems and results

Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.

I) Danh sách đội tuyển Việt Nam

Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.

Dưới đây là danh sách 6 học sinh:

1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN

2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN

3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam

4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN

5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM

6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II) Đề thi – Đáp án

Download đề thi IMO 2021

Download đáp án IMO 2021

Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.

III) Kết quả

Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm $\geq 24,$ trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm $\geq 19,$ và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm $\geq 12.$

Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!

HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.

Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.

Chỉ có đúng một thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.

Nhìn hai cột P2 và P3 mới thấy Khoa hay thế nào.

Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.

Đội Trung Quốc xếp thứ nhất với 208 điểm

IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.

Category: Contests

Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển Toán lớp 12 của Hà Nội

Lucas sequences and Vietnam TST 2023/4b

IMO 2022: Problems and results

IMO2021/6

IMO 2021: Problems and results