APMO 2017


Bài 1. Ta gọi một bộ 5 số nguyên là sắp xếp được nếu có thể đánh số chúng thành a, b, c, d, e để a-b+c-d+e=29. Tìm tất cả các bộ 2017 số nguyên (n_1, n_2, . . . , n_{2017}) sao cho khi ta đặt chúng lên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ, mỗi 5 số liên tiếp trên đường tròn tạo thành một bộ sắp xếp được.

Bài 2. Cho tam giác ABCAB < AC. Gọi D là giao điểm của phân giác trong của \widehat{BAC} và đường tròn (ABC). Gọi Z là giao điểm của trung trực của AC với phân giác ngoài của \widehat{BAC}. Chứng minh rằng trung điểm của AB nằm trên đường tròn (ADZ).

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi A(n) là số các dãy a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k các số nguyên dương thỏa mãn a_1+\cdots{}+a_k = na_i +1 là một lũy thừa của 2 với mỗi i = 1,2,\cdots{},k, B(n) là số các dãy b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m các số nguyên dương sao cho b_1+\cdots{}+b_m =nb_j\ge 2b_{j+1} với mỗi j=1,2,\cdots{}, m-1. Chứng minh rằng A(n) = B(n),\quad\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 4. Một số hữu tỷ r được gọi là tốt nếu r=\dfrac{p^k}{q} với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau p, q và số nguyên k >1. Cho a, b, c là các số hữu tỷ dương sao cho abc = 1. Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho a^x + b^y + c^z là số nguyên. Chứng minh rằng cả a, b, c là tốt. Continue reading “APMO 2017”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”