Contests – Nguyễn Trung Tuân

USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.

USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.

Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.

Sau đây là đề thi của USEMO lần thứ nhất.

USEMO 2019-2020

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp. Một đường tròn tâm $O$ qua $B$ và $D$ cắt lại $BA$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$ (khác $A,B,C$ ). Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $DEF.$ Chứng minh rằng nếu $AC,$ $DO,$ $EF$ đồng quy thì hai tam giác $ABC$ và $EHF$ đồng dạng.
Bài 2. Tìm tất cả các ánh xạ $\theta : \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) $\forall p, q \in \mathbb{Z}[x], \quad \theta(p + q) = \theta(p) + \theta(q)$ .
2) với mỗi $p \in \mathbb{Z}[x]$ , $p$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\theta(p)$ có nghiệm nguyên.
Bài 3. Xét một lưới vô hạn $\mathcal G$ các ô vuông đơn vị. Một đa giác bàn cờ là một đa giác đơn có các cạnh nằm dọc theo đường lưới của $\mathcal G.$
Nikolai chọn một đa giác bàn cờ $F$ và đố bạn tô một số ô của $\mathcal G$ màu xanh, sao cho bất kỳ đa giác bàn cờ nào bằng $F$ đều có ít nhất $1$ ô xanh nhưng nhiều nhất là $2020.$ Hỏi Nikolai có thể chọn $F$ để bạn không thể thực hiện được công việc?

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $p,$ tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $1^n+2^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+n^1\equiv 2020\pmod{p}.$

Bài 5. Cho $\mathcal{P}$ là một đa giác đều và $\mathcal{V}$ là tập đỉnh của nó. Mỗi điểm trong $\mathcal{V}$ được tô màu đỏ, trắng hoặc xanh. Một tập hợp con của $\mathcal{V}$ được gọi là yêu nước nếu nó chứa một số điểm bằng nhau mang mỗi màu và một cạnh của $\mathcal{P}$ được gọi là chói nếu các đầu mút của nó có màu khác nhau.
Giả sử $\mathcal{V}$ yêu nước và số cạnh chói của $\mathcal{P}$ là chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng không đi qua bất kỳ điểm nào trong $\mathcal{V}$ và chia $\mathcal{V}$ thành hai tập con yêu nước khác rỗng.
Bài 6. Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và các đường cao $AD$ , $BE$ , $CF$ . Gọi $X$ , $Y$ , $Z$ lần lượt là trung điểm của $AD$ , $BE$ , $CF$ . $AD$ cắt $YZ$ tại $P$ , $BE$ cắt $ZX$ tại $Q$ , $CF$ cắt $XY$ tại $R$ .
Giả sử $YZ$ cắt $BC$ tại $A'$ , $QR$ cắt $EF$ tại $D'$ . Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A$ , $B$ , $C$ , $O$ lần lượt vuông góc với $QR$ , $RP$ , $PQ$ , $A'D'$ đồng quy.

Category: Contests

Một số đề thi chọn đội tuyển Toán của Hà Nội

USEMO – United States Ersatz Math Olympiad

USEMO 2019-2020

Một số trang về Olympic Toán