USEMO – United States Ersatz Math Olympiad


USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.

USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.

Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.

Sau đây là đề thi của USEMO lần thứ nhất.

USEMO 2019-2020

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Một đường tròn tâm O qua BD cắt lại BABC lần lượt tại EF (khác A,B,C). Gọi H là trực tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng nếu AC, DO, EF đồng quy thì hai tam giác ABCEHF đồng dạng.
Bài 2. Tìm tất cả các ánh xạ \theta : \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) \forall p, q \in \mathbb{Z}[x], \quad \theta(p + q) = \theta(p) + \theta(q).
2) với mỗi p \in \mathbb{Z}[x], p có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \theta(p) có nghiệm nguyên.
Bài 3. Xét một lưới vô hạn \mathcal G các ô vuông đơn vị. Một đa giác bàn cờ là một đa giác đơn có các cạnh nằm dọc theo đường lưới của \mathcal G.
Nikolai chọn một đa giác bàn cờ F và đố bạn tô một số ô của \mathcal G màu xanh, sao cho bất kỳ đa giác bàn cờ nào bằng F đều có ít nhất 1 ô xanh nhưng nhiều nhất là 2020. Hỏi Nikolai có thể chọn F để bạn không thể thực hiện được công việc?

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p, tồn tại số nguyên dương n sao cho 1^n+2^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+n^1\equiv 2020\pmod{p}.

Bài 5. Cho \mathcal{P} là một đa giác đều và \mathcal{V} là tập đỉnh của nó. Mỗi điểm trong \mathcal{V} được tô màu đỏ, trắng hoặc xanh. Một tập hợp con của \mathcal{V} được gọi là yêu nước nếu nó chứa một số điểm bằng nhau mang mỗi màu và một cạnh của \mathcal{P} được gọi là chói nếu các đầu mút của nó có màu khác nhau.
Giả sử \mathcal{V} yêu nước và số cạnh chói của \mathcal{P} là chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng không đi qua bất kỳ điểm nào trong \mathcal{V} và chia \mathcal{V} thành hai tập con yêu nước khác rỗng.
Bài 6. Cho ABC là một tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O và các đường cao AD, BE, CF. Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của AD, BE, CF. AD cắt YZ tại P, BE cắt ZX tại Q, CF cắt XY tại R.
Giả sử YZ cắt BC tại A', QR cắt EF tại D'. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A, B, C, O lần lượt vuông góc với QR, RP, PQ, A'D' đồng quy.

Iran TST 2020 – Test 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho một đồ thị đủ có trọng số với các trọng số dương và đôi một khác nhau. Giả sử rằng mọi tam giác đều suy biến, nghĩa là trọng số của một cạnh bằng tổng hai trọng số của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng có thể gán số cho mỗi đỉnh của đồ thị này sao cho trọng số của mỗi cạnh bằng hiệu hai số được gán trên hai đầu mút của cạnh đó.
Bài 2. Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D,E lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AC,AB. Lấy các điểm P,Q,R,S nằm trên mặt phẳng sao cho P,CR,C nằm về hai phía khác nhau của AB, Q,BS,B nằm trên hai phía khác nhau của AC, và R,S lần lượt thuộc (DAP),(EAQ), \triangle BCE \sim \triangle ADQ , \triangle CBD \sim \triangle AEP, \angle ARE=\angle ASD=\angle BAC. Chứng minh rằng nếu RS|| PQ thì RE ,DS cắt nhau trên AO.
Bài 3. Ta gọi số nguyên dương n là tốt nếu với mỗi hoán vị \sigma của [n], tồn tại các đa thức P_1, P_2,\ldots , P_n với hệ số thực và \epsilon > 0 để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) P_1(0)=P_2(0)=\ldots =P_n(0).
2) P_1(x)>P_2(x)>\ldots >P_n(x) với -\epsilon<x<0.
3) P_{\sigma (1)} (x)>P_{\sigma (2)}(x)> \ldots >P_{\sigma (n)} (x) với 0<x<\epsilon.
Tìm tất cả số tốt.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho g:[0,1] \to \mathbb{R} có tính chất: Với mọi cách chia đoạn [0,1] thành hai tập khác rỗng AB, \exists x \in A,\, g(x) \in B hoặc \exists x \in B,\, g(x) \in Ag(x)>x với mọi x \in [0,1]. Chứng minh có vô hạn x \in [0,1] để g(x)=1.
Bài 5. Cho số nguyên k. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên dương (m,n) để n+s(2n)=m+s(2m)kn+s(n^2)=km+s(m^2).
Bài 6. Cho số nguyên dương nn số dương. Liệu có thể tìm một (n+3)-giác lồi và một cách tam giác hóa nó sao cho các đường kính trong phép tam giác hóa là n số đã cho?

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”