IMO 2026

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 67 năm 2026 vừa khép lại tại Thượng Hải, Trung Quốc. Lần thứ hai đăng cai tổ chức (kể từ năm 1990), nước chủ nhà đã mang đến một sân chơi quy mô và chuyên nghiệp tại Trung tâm Triển lãm và Hội nghị Quốc tế West Bund từ ngày 10/07 đến 21/07. Với sự tham gia của 666 thí sinh đến từ 117 quốc gia và vùng lãnh thổ, IMO 2026 tiếp tục khẳng định sức hút mãnh liệt của vẻ đẹp trí tuệ.

Phổ điểm và những kỷ lục tuyệt đối

Năm nay, mức điểm chuẩn để xét huy chương phản ánh đúng độ khó của cấu trúc đề thi, cụ thể như sau:

Huy chương Vàng: ≥ 29 điểm (55 giải)
Huy chương Bạc: ≥ 23 điểm (105 giải)
Huy chương Đồng: ≥ 16 điểm (189 giải)

Đáng chú ý, kỳ thi ghi nhận 7 thí sinh xuất sắc đạt điểm tuyệt đối 42/42 (giải trọn vẹn cả 6 bài toán). Đó là những cái tên vô cùng ấn tượng: Leyan Deng, Che Liu, Bolun Zhang (Trung Quốc); Hyeonjun Lee (Hàn Quốc); Alex Chui (Vương quốc Anh); Liam Reddy và Alexander Wang (Mỹ).

Niềm tự hào mang tên Việt Nam

Ghi dấu ấn mạnh mẽ nhất với cá nhân tôi chính là thành tích của đội tuyển Việt Nam. Dưới sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Chu Gia Vượng và thầy Lê Bá Khánh Trình, toàn bộ 6/6 em học sinh đều xuất sắc giành huy chương.

Với tổng điểm 168, đoàn Việt Nam đã vươn lên vị trí thứ 5 toàn đoàn (tăng 4 bậc so với năm 2025), chỉ xếp sau các cường quốc Toán học là Trung Quốc, Mỹ, Nga và Singapore.

Bảng vàng thành tích cụ thể của các em:

🥇 Huy chương Vàng:

Nguyễn Đình Tùng – Lớp 12, THPT chuyên KHTN (ĐHQG Hà Nội)
Nguyễn Lê Nhật Nam – Lớp 12, THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

🥈 Huy chương Bạc:

Phạm Đăng Nguyên – Lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Trần Đại Thành Danh – Lớp 12, Phổ thông Năng khiếu (ĐHQG TP.HCM)
Nguyễn Hoàng Phương – Lớp 11, THPT chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An)

🥉 Huy chương Đồng:

Hà Mạnh Hùng – Lớp 11, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Kỳ thi IMO 2026 đã khép lại, nhưng ngọn lửa đam mê Toán học thì vẫn sẽ luôn cháy sáng. Chúc các em học sinh sẽ tiếp tục giữ vững tình yêu với Toán và gặt hái thêm nhiều thành công trên chặng đường phía trước. Kỳ IMO 2027 tới đây sẽ diễn ra tại Budapest, Hungary – cái nôi của nhiều nhà Toán học kiệt xuất. Chúng ta hoàn toàn có quyền kỳ vọng vào những bước tiến xa hơn nữa!

Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết chia sẻ chuyên sâu hơn về các bài toán trong đề thi năm nay.

IMO-2026-problems-vie Download

USAMO 2009, Problem 6: A Collection of 7 Solutions

Trong bài này chúng tôi giới thiệu nhiều lời giải cho bài toán sau:

USAMO 2009/6. Cho $(s_n)_{n\geq 1}$ là một dãy không hằng các số hữu tỉ. Giả sử $(t_n)_{n\geq 1}$ cũng là một dãy không hằng các số hữu tỉ thỏa mãn tính chất $(s_i - s_j)(t_i - t_j)$ là một số nguyên với mọi $i$ và $j$ . Chứng minh rằng tồn tại một số hữu tỉ $r$ khác $0$ sao cho $(s_i - s_j)r$ và $(t_i - t_j)/r$ là các số nguyên với mọi $i$ và $j$ .

usa2009p6 Download

IMO 2025 Shortlisted Problems: Geometry

IMO2025SLGeometry Download

USA TSTST 2026

USA TSTST (Team Selection Test Selection Test) là một trong những kỳ thi cốt lõi trong quy trình tuyển chọn đội tuyển Olympic Toán học Quốc tế (IMO) của Hoa Kỳ.

Dưới đây là một số thông tin tổng quan về kỳ thi này:

Thời điểm và đối tượng: Kỳ thi được tổ chức vào cuối chương trình Trại hè Toán học (MOP – Mathematical Olympiad Program). Tất cả học sinh tham gia MOP chưa tốt nghiệp trung học đều đủ điều kiện dự thi.
Cấu trúc đề thi: TSTST mô phỏng chính xác định dạng của kỳ thi IMO. Kỳ thi diễn ra trong 3 ngày, mỗi ngày học sinh phải giải quyết 3 bài toán trong thời gian 4,5 giờ.
Mục tiêu tuyển chọn: Kết quả của TSTST được dùng để chọn ra một nhóm học sinh xuất sắc (thường rơi vào khoảng 25–35 em, tùy chất lượng từng năm) để tham dự chuỗi USA Team Selection Tests (TST) trải dài trong năm học kế tiếp.
Chốt danh sách đội tuyển: Thành tích đạt được ở kỳ thi USAMO cùng với tổng điểm từ các kỳ TST sẽ quyết định 6 thành viên chính thức đại diện Hoa Kỳ tham dự IMO.

Một lưu ý lịch sử thú vị: Trước năm 2011, quy trình tuyển chọn của Hoa Kỳ không có vòng TSTST (chỉ đi thẳng từ MOP → TST → IMO). Việc bổ sung kỳ thi này từ năm 2011 đã giúp mở rộng cơ hội cạnh tranh và chuẩn hóa chuyên nghiệp hơn quy trình tuyển chọn đội tuyển của cường quốc Toán học này.

Dưới đây là đề năm 2026.

usatstst2026 Download

Korea MO 2026 (Final Round)

NGÀY 1: Thứ Bảy, ngày 28 tháng 3 năm 2026

Thời gian làm bài: 14:00 – 18:30 (270 phút)

1. Cho tam giác nhọn $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ . Gọi $\displaystyle D$ và $\displaystyle E$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $\displaystyle A$ và $\displaystyle C$ xuống các cạnh đối diện. Lấy một điểm $\displaystyle P$ ( $\displaystyle P \neq B, E$ ) nằm trên đoạn thẳng $\displaystyle BE$ , và gọi $\displaystyle Q$ là giao điểm của đường thẳng $\displaystyle PH$ với cạnh $\displaystyle AC$ . Gọi $\displaystyle \ell$ là đường phân giác trong của góc $\displaystyle \angle BAC$ . Đường thẳng đi qua $\displaystyle H$ và song song với $\displaystyle \ell$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle BDH$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle HDC$ lần lượt tại $\displaystyle X$ ( $\displaystyle X \neq H$ ) và $\displaystyle Y$ ( $\displaystyle Y \neq H$ ).

Chứng minh rằng ba đường thẳng $\displaystyle PX$ , $\displaystyle QY$ và $\displaystyle \ell$ đồng quy.

2. Một dãy số $\displaystyle \{a_{n}\} (n \ge 1)$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$\displaystyle a_{1} = a_{2} = 1$ .
Với mọi số nguyên dương $\displaystyle n$ , ta có $\displaystyle a_{n+2} = a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}^{2} + a_{n}^{2}}.$

Hãy xác định xem có tồn tại vô số số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho điều kiện sau đây được thỏa mãn hay không:

$\displaystyle a_{2n}^{3} > \frac{3n}{2} - 2026\sqrt{n}.$

3. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $\displaystyle M$ ( $\displaystyle M \ge 3$ ) sao cho: Với mọi số nguyên $\displaystyle n \ge M$ và với bất kỳ các số nguyên dương $\displaystyle a, b, c$ thỏa mãn $\displaystyle 1 \le a < b < c \le n$ , ta luôn có

$\displaystyle \gcd(a+b+c, ab+bc+ca, abc) < 3n - \sqrt{3n} - 2^{2026}.$

NGÀY 2: Chủ Nhật, ngày 29 tháng 3 năm 2026

Thời gian làm bài: 09:00 – 13:30 (270 phút)

4. Chứng minh rằng không tồn tại bộ số nguyên dương $\displaystyle (p, q, r, n)$ nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện sau:

$\displaystyle p, q, r$ là các số nguyên tố.
$\displaystyle p^{n} + q^{n} + r^{n} = 2026(p+q)(q+r)(r+p).$

5. Minsu tham gia một chương trình truyền hình giải đố. Người dẫn chương trình chọn một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $\displaystyle 5$ để làm “Mật mã của ngày”, và Minsu phải tìm ra số này bằng cách đặt câu hỏi. Các câu hỏi và câu trả lời tuân theo quy tắc như sau:

Trong mỗi câu hỏi, Minsu chọn một số nguyên dương $\displaystyle m$ và hỏi người dẫn chương trình xem số mật mã đó có lớn hơn hoặc bằng $\displaystyle m$ hay không.
Với mỗi câu hỏi, người dẫn chương trình chỉ trả lời “có” hoặc “không”. Trong suốt cả cuộc chơi, người dẫn chương trình được phép nói dối tối đa một lần.

Hãy tìm số câu hỏi ít nhất mà Minsu cần phải chuẩn bị để chắc chắn xác định được “Mật mã của ngày”, bất kể người dẫn chương trình có chọn số nào đi chăng nữa.

6. Ký hiệu $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$ là tập hợp tất cả các số thực dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $\displaystyle f(2026)$ đối với hàm số $\displaystyle f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn điều kiện: với mọi số thực $\displaystyle x > 0$ và $\displaystyle y > 1$ , ta luôn có