Trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 của Hà Nội, đội tuyển này sẽ tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia cùng năm.
Category: Contests
USEMO – United States Ersatz Math Olympiad
USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.
USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.
Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.
Sau đây là đề thi của USEMO lần thứ nhất.
USEMO 2019-2020
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho là một tứ giác nội tiếp. Một đường tròn tâm
qua
và
cắt lại
và
lần lượt tại
và
(khác
). Gọi
là trực tâm của tam giác
Chứng minh rằng nếu
đồng quy thì hai tam giác
và
đồng dạng.
Bài 2. Tìm tất cả các ánh xạ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) .
2) với mỗi ,
có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
có nghiệm nguyên.
Bài 3. Xét một lưới vô hạn các ô vuông đơn vị. Một đa giác bàn cờ là một đa giác đơn có các cạnh nằm dọc theo đường lưới của
Nikolai chọn một đa giác bàn cờ và đố bạn tô một số ô của
màu xanh, sao cho bất kỳ đa giác bàn cờ nào bằng
đều có ít nhất
ô xanh nhưng nhiều nhất là
Hỏi Nikolai có thể chọn
để bạn không thể thực hiện được công việc?
Ngày thứ hai
Bài 4. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố tồn tại số nguyên dương
sao cho
Bài 5. Cho là một đa giác đều và
là tập đỉnh của nó. Mỗi điểm trong
được tô màu đỏ, trắng hoặc xanh. Một tập hợp con của
được gọi là yêu nước nếu nó chứa một số điểm bằng nhau mang mỗi màu và một cạnh của
được gọi là chói nếu các đầu mút của nó có màu khác nhau.
Giả sử yêu nước và số cạnh chói của
là chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng không đi qua bất kỳ điểm nào trong
và chia
thành hai tập con yêu nước khác rỗng.
Bài 6. Cho là một tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp
và các đường cao
,
,
. Gọi
,
,
lần lượt là trung điểm của
,
,
.
cắt
tại
,
cắt
tại
,
cắt
tại
.
Giả sử cắt
tại
,
cắt
tại
. Chứng minh rằng các đường thẳng qua
,
,
,
lần lượt vuông góc với
,
,
,
đồng quy.
Một số trang về Olympic Toán
Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.
P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂