AMM 2026: Làn gió mới định hình lại sân chơi Olympic Toán học?

Bức tranh các cuộc thi Toán học tại Mỹ vừa xuất hiện một điểm nhấn rất đáng chú ý: American Masters of Mathematics (AMM). Được tổ chức bởi OMEGA Math, sự kiện này sẽ diễn ra từ ngày 22 đến 25 tháng 5 năm 2026 tại thành phố Denver, bang Colorado.

Nhìn vào triết lý tổ chức và đội ngũ thiết kế đề thi, với sự góp mặt của những gương mặt gạo cội trong giới toán chuyên như Evan Chen hay Zuming Feng, có thể thấy AMM không đơn thuần là một kỳ thi kiểm tra năng lực thông thường. Đây là một nỗ lực mang tính cách mạng nhằm định hình lại cách chúng ta đánh giá và nuôi dưỡng các tài năng toán học trẻ tuổi.

Trong bối cảnh nhiều học sinh có năng lực tư duy sâu bị giới hạn cơ hội cọ xát tự luận chỉ vì thiếu một chút tốc độ ở các vòng thi trắc nghiệm điền số như AMC hay AIME, kỳ thi AMM đã mở ra một lối đi hoàn toàn mới. Vòng thi chính thức bao gồm 5 bài toán tự luận, làm trong thời gian 4,5 tiếng với thang điểm tối đa là 7 điểm cho mỗi bài. Mức độ thách thức của đề thi sẽ trải dài từ các giải khu vực cho đến độ khó tương đương mức trung bình và khó của IMO. Điểm đặc sắc nhất nằm ở quy trình hậu thi cử. Bài làm của học sinh không chỉ được chấm điểm một cách khô khan, mà các em sẽ được xếp lịch cụ thể để gặp gỡ, trao đổi trực tiếp với các nhà toán học. Tại đây thí sinh sẽ nhận được những phản hồi chuyên môn quý giá về tư duy logic và cách tiếp cận của mình. Đây là một bước tiến tuyệt vời dưới góc độ sư phạm, chuyển hóa một cuộc thi áp lực thành một không gian đối thoại khoa học đầy gợi mở.

Ban ra đề đã mạnh dạn đưa các mảng kiến thức ở bậc đại học giai đoạn đại cương, bao gồm Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính vào khung chương trình có thể ra đề. Sự thay đổi này gửi đi một thông điệp mạnh mẽ đến người học và người dạy: Đừng để những rào cản vô hình của các kỳ thi truyền thống kìm hãm năng lực khám phá. Thay vì chỉ miệt mài rèn giũa các kỹ xảo giải toán ngắn hạn hoặc đắm chìm vào những bài toán biến đổi cồng kềnh, học sinh chuyên toán cần được khuyến khích mở rộng tầm nhìn, xây dựng sợi dây liên kết vững chắc với toán học hiện đại. Việc mở rộng nền tảng tri thức luôn là phương thức tối ưu để tạo ra sức bật tư duy dài hạn cho học sinh.

Continue reading →

European Mathematical Olympiad 2026

Cộng đồng Toán học vừa đón nhận một thông tin vô cùng thú vị: sự ra đời của Kỳ thi Olympic Toán Châu Âu (European Mathematical Olympiad – EMO). Lần tổ chức đầu tiên (EMO 2026) sẽ do Lithuania và Ukraine đồng đăng cai.

Khác với cấu trúc 3 bài/ngày quen thuộc của IMO, EMO yêu cầu thí sinh giải quyết 4 bài toán mỗi ngày trong vòng 4,5 giờ. Hai ngày thi đồng nghĩa với 8 bài toán, phủ đều 4 phân môn kinh điển: Đại số, Hình học, Tổ hợp và Số học.

Sự thay đổi này đòi hỏi các em học sinh không chỉ có nền tảng kiến thức toàn diện ở mọi phân môn mà còn phải có chiến thuật phân bổ thời gian cực kỳ hợp lý, rèn luyện một sức bền tư duy đáng nể. Điểm tối đa cho một bài toán trọn vẹn vẫn là 7 điểm.

Mỗi quốc gia hoặc vùng lãnh thổ được mời sẽ cử một đội tuyển gồm tối đa 6 học sinh, 1 Trưởng đoàn (Leader) và 1 Phó đoàn (Deputy Leader). Các thí sinh phải vượt qua kỳ thi tuyển chọn quốc gia và nằm trong độ tuổi quy định (sinh từ 1/7/2006 trở về sau đối với kỳ thi năm 2026). Đặc biệt, nước chủ nhà sẽ được quyền cử tối đa hai đội tham gia cọ xát.

EMO duy trì tính cạnh tranh cao với việc giới hạn tổng số giải thưởng không vượt quá 50% tổng số thí sinh, chia theo tỉ lệ Nhất : Nhì : Ba xấp xỉ 1:2:3. Tuy nhiên, kỳ thi vẫn giữ truyền thống trao Bằng danh dự (Honourable Mention) cho bất kỳ thí sinh nào không đạt huy chương nhưng giành trọn vẹn 7 điểm ở ít nhất một bài toán. Ban tổ chức cũng hé lộ sẽ có các giải thưởng đặc biệt dành cho những lời giải xuất sắc, sáng tạo và độc đáo nhất.

Bên cạnh các định lý và những lời giải đẹp, quy chế của EMO 2026 nhấn mạnh rất rõ vào giá trị giao lưu văn hóa và tinh thần fair-play. Kỳ thi cam kết tạo ra một môi trường tôn trọng, tuyệt đối không có sự phân biệt đối xử, hướng tới tình hữu nghị giữa các nhà toán học trẻ. Mảng hoạt động ngoại khóa, văn hóa và trao đổi phương pháp giảng dạy giữa các chuyên gia cũng được xem là một trụ cột quan trọng của kỳ thi.

Dưới đây là đề thi EMO 2026:

EMO2026_Day1 Download

EMO2026_Day2 Download

Nguồn: https://emo2026.lt/

Vietnam Team Selection Test 2026

Day 1 (March 26, 2025)

Time allowed: 270 minutes

Problem 1. For a positive integer $k$ , a set $S$ of positive integers is called a $k$ -Olympic set if it satisfies the following conditions simultaneously:
(i) $S \neq \emptyset$ .
(ii) For every $n \in S$ , all positive divisors of $(25^n - 3^n)k^n$ also belong to $S$ .
Find all positive integers $k$ such that there is exactly one such $k$ -Olympic set.

Problem 2. Let $n$ be a positive integer, and in a country, there are $8n+3$ airports. Between any two airports, there is either a direct flight or not. Given that if there is no direct flight between two airports, the difference in the number of direct flights from these two airports is exactly 2. Determine the minimum possible total number of direct flights.

Problem 3. Let $ABC$ be an acute non-isosceles triangle with altitudes $AD, BE, CF$ . From vertex $A$ , drop perpendiculars to the lines $EF, FD, DE$ , denoted as $X, Y, Z$ respectively. Let the line $BZ$ intersect the circumcircle of triangle $BDY$ again at $P$ , and let the line $CY$ intersect the circumcircle of triangle $CDZ$ again at $Q$ . Prove that point $X$ has the same power with respect to the two circles $(YFP)$ and $(ZEQ)$ .

Day 2 (March 27, 2026)

Time allowed: 270 minutes

Problem 4. Let $ABC$ be a triangle with $O$ being the midpoint of $BC$ . Draw the tangents $AE, AF$ to the circle $(O)$ with diameter $BC$ , where $E, F \in (O)$ . The rays $AE, AF$ intersect $BC$ at points $K, L$ , respectively. Let $KF, LE$ intersect $(O)$ again at points $M, N$ , respectively. The circumcircle of triangle $MON$ intersects the circles with diameters $AB, AC$ again at points $X, Y$ , respectively. Prove that $\angle XAB = \angle YAC$ .

Problem 5. Given positive integers $k, n$ such that $k < n$ . Find all polynomials $P(x)$ with real coefficients of degree $kn$ and leading coefficient $1$ , such that the polynomial

$Q(x) = P(x^{n+1}) - P(x)^n$ has degree at most $kn(n-1)$ .

Problem 6. Let $\mathcal{H}$ be a family of subsets of the set ${1, 2, 3, \ldots, 2027}$ with the following property: for any set $A \in \mathcal{H}$ and any subset $B \subset A$ , we have $B \in \mathcal{H}$ . Let $l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}$ be the number of subsets in $\mathcal{H}$ that have an even number of elements and an odd number of elements, respectively. Prove that $l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le C^{1013}_{2026}$ .

China Team Selection Test 2026

China TST 2026 gồm 2 vòng, mỗi vòng 12 bài toán (chia làm 4 bài kiểm tra).

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790830p37427165
Cho ${F_n}$ là dãy Fibonacci, trong đó $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , và định nghĩa $F_{-1}, F_{-2}, \ldots$ bằng hệ thức truy hồi. Ban đầu, cặp số $(0,0)$ được viết trên bảng. Trong mỗi thao tác, ta xóa cặp số $(x, y)$ hiện tại và viết lên bảng cặp $(x + F_k, y + F_{k+1})$ hoặc $(x - F_k, y - F_{k+1})$ , trong đó $k$ là một số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ sao cho với mọi số nguyên dương $p, q$ , ta có thể thu được cặp $(p, q)$ trong không quá $C \ln(p+q)$ thao tác.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790832p37427170
Cho đường tròn $\Omega$ , hai điểm $A, B$ nằm trên $\Omega$ , và điểm $C$ nằm trong đường tròn sao cho $\angle ACB = 90^\circ$ và $AC < BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , và $P$ là một điểm di động trên cung lớn $AB$ sao cho $\angle CMP > 90^\circ$ . Điểm $Q$ được xác định sao cho $CQ \parallel PM$ và $\angle QPM = \angle MCP$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $K$ trong mặt phẳng sao cho ta luôn có $\angle PQK = \angle PCK$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790834p37427176
Cho các số nguyên $n > k > 1$ , và $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là các số phức có mô-đun không vượt quá 1. Chứng minh rằng

$\displaystyle\left| \binom{n}{k} - \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_k} \right| \le \binom{n-1}{k-1} \left| n - \sum_{i=1}^n z_i \right|,$

và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791580p37437300
Cho $G = (V, E)$ là một đồ thị đơn, trong đó tập đỉnh $V = {(x, y, z) \mid 1 \leq x, y, z \leq 2026}$ và hai đỉnh $(x, y, z)$ và $(x', y', z')$ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi $|x - x'| + |y - y'| + |z - z'| = 1$ . Mỗi đỉnh $v$ được gán một nhãn là số thực $f(v)$ sao cho tổng của tất cả các nhãn bằng $0$ . Với một cạnh $e \in E$ , gọi $g(e)$ là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các nhãn của hai đỉnh đầu mút của cạnh $e$ . Chứng minh rằng, với mọi số thực $p \geq 1$ , ta có

$\displaystyle\sum_{v \in V} |f(v)|^p \leq 6677^p \cdot \sum_{e \in E} g(e)^p.$

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791579p37437230
Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho các cạnh của đồ thị đầy đủ $K_{2026}$ có thể được gán nhãn bởi các số $1, 2, \dots, \binom{2026}{2}$ , mỗi số được sử dụng đúng một lần, sao cho giữa hai đỉnh bất kỳ, luôn tồn tại một đường đi mà tổng các nhãn trên các cạnh của nó không vượt quá $k$ .

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791554p37436766
Cho dãy số ${a_n}$ thỏa mãn $a_1 = 2$ , và với $n \geq 2$ , $a_n$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước của $\prod_{k=1}^{n-1} (a_k + n - k)$ . Với một số nguyên tố $p$ , gọi $f(p)$ là số lần $p$ xuất hiện trong dãy này. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ và $m$ số nguyên tố phân biệt bất kỳ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ , ta có

$\displaystyle\sum_{i=1}^m f(p_i) \leq \frac{1}{2} \left( \max_{1 \leq i \leq m} p_i + \sum_{i=1}^m p_i \right).$

Bài 7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794581p37485265
Với một tập hợp hữu hạn $X$ và một số nguyên $t$ , định nghĩa $X + t = {x + t \mid x \in X}$ , và gọi $\sigma(X)$ là tổng các phần tử của $X$ . Khẳng định sau đúng hay sai: với mọi số nguyên $m \geq 2$ , luôn tồn tại một tập $A$ gồm $m$ số nguyên dương và $m$ số nguyên phân biệt từng đôi một $t_1, t_2, \dots, t_m$ sao cho

$\sigma(A \cup (A + t_1)) = \sigma(A \cup (A + t_2)) = \dots = \sigma(A \cup (A + t_m))$ ?

Bài 8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794611p37485578
Cho các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $n > 2m > 2$ . Có một nhóm gồm $n$ thành viên, và một số cặp thành viên là bạn bè của nhau, với tình bạn là hai chiều. Họ sẽ được chia thành $m$ ủy ban, mỗi thành viên tham gia đúng vào một ủy ban. Đầu tiên, chủ tịch và phó chủ tịch của mỗi ủy ban được xác định. Tại thời điểm này, người ta nhận thấy rằng có đúng một cách để phân công $n - 2m$ thành viên còn lại vào các ủy ban sao cho trong mỗi ủy ban, tất cả các thành viên (bao gồm cả chủ tịch và phó chủ tịch) đều là bạn bè của nhau từng đôi một. Cho phép một ủy ban chỉ gồm chủ tịch và phó chủ tịch. Tìm số lớn nhất có thể của các cặp bạn bè (không có thứ tự) trong số $n$ thành viên.

Bài 9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794555p37484599
Cho $m, n$ là các số nguyên dương, $P_1, P_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $m$ biến với hệ số nguyên, và $Q_1, Q_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $n$ biến với hệ số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ sao cho $P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) \neq Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ , thì phân thức

$\displaystyle\frac{P_2(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_2(b_1, b_2, \cdots, b_n)}{P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)}$

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức một biến $R(x)$ với hệ số hữu tỉ, sao cho $P_2 = R(P_1)$ và $Q_2 = R(P_2)$ .

Bài 10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795189p37495113
Cho số nguyên $n > 1$ . Với một số nguyên dương $k$ , gọi $d_k$ là số lượng các ước số của $n$ nằm trong đoạn $[1, n^{\frac 1k}]$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 2$ , ta có $d_{k + 1} \geq \sqrt{2d_k} - k - \frac 12$ .

Bài 11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795164p37494678
Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ lần lượt tại $S$ và $T$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $U$ và $V$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle CDA$ tiếp xúc với $CD$ và $DA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $Z$ và $W$ ; đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ ; và đường tròn bàng tiếp góc $C$ của $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Chứng minh rằng nếu tứ giác tạo bởi các đường thẳng $SY, TX, UW$ và $VZ$ là tứ giác nội tiếp, thì $E, F, G$ và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 12. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795181p37494888
Cho $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử, $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $A$ , sao cho hợp của tất cả các tập hợp trong $\mathcal{F}$ là $A$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathcal{G}$ của $\mathcal{F}$ , sao cho có một tập con $T$ của $A$ , thỏa mãn:
(i) $|T| \ge \frac{n}{1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n}$ ;
(ii) $T$ được chứa trong hợp của tất cả các tập hợp thuộc $\mathcal{G}$ ;
(iii) $X \cap Y \cap T = \varnothing$ với mọi cặp tập hợp $X, Y$ phân biệt thuộc $\mathcal{G}$ .

Continue reading →

[Gemini] Cột mốc 2026: Việt Nam chính thức trở lại tham gia Olympic Toán học Châu Á – Thái Bình Dương (APMO)

Sau hơn hai thập kỷ vắng bóng, Việt Nam không chỉ quay trở lại đấu trường Olympic Toán học Châu Á – Thái Bình Dương (APMO) mà còn đảm nhận vai trò đặc biệt quan trọng: Nước điều phối chính (Senior Coordinating Country). Đây là tin vui lớn đối với cộng đồng Toán học nước nhà ngay trong những ngày đầu năm 2026.

Theo Công văn số 157/QLCL-QLT và quyết định từ Bộ Giáo dục & Đào tạo, Việt Nam sẽ chính thức tái khởi động việc tham gia APMO từ năm 2026 và giữ vai trò nước chủ trì tổ chức cho giai đoạn 3 năm liên tiếp (2026 – 2028).

Dưới đây là toàn cảnh về sự kiện đặc biệt này.

1. APMO là gì và tại sao lần trở lại này lại quan trọng?

Kỳ thi Olympic Toán học Châu Á – Thái Bình Dương (Asian Pacific Mathematics Olympiad – APMO) là cuộc thi toán uy tín khu vực được tổ chức từ năm 1989. Mục đích chính của kỳ thi là phát hiện, bồi dưỡng các tài năng toán học trẻ, đồng thời thúc đẩy hợp tác quốc tế giữa các quốc gia trong khu vực.

Điểm nhấn của năm 2026 là vị thế mới của Việt Nam. Thay vì chỉ là một quốc gia tham dự, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) sẽ thay mặt Việt Nam đảm nhận vai trò Nước điều phối chính. Nhiệm vụ này bao gồm việc điều phối đề thi, chấm thẩm định và chốt kết quả cuối cùng cho toàn bộ các nước tham gia trong 3 năm tới.

2. Thông tin chi tiết về kỳ thi APMO 2026 tại Việt Nam

Năm nay, kỳ thi sẽ được tổ chức trực tiếp tại Hà Nội với các thông tin cụ thể như sau:

Đơn vị chủ trì: Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM).
Thời gian thi: 08h30 – 12h30, Thứ Ba, ngày 10/03/2026.
Địa điểm: Trụ sở VIASM, số 161 Phố Huỳnh Thúc Kháng, Phường Láng Hạ, Đống Đa, Hà Nội.
Lịch trình: Lễ khai mạc và đón tiếp thí sinh sẽ diễn ra vào chiều ngày 09/03/2026.

3. Đội hình “trong mơ” của tuyển Việt Nam

Khác với các kỳ thi đại trà, APMO có tiêu chuẩn lựa chọn thí sinh cực kỳ khắt khe. Dựa trên danh sách triệu tập ngày 13/02/2026, đội tuyển Việt Nam năm nay gồm 22 anh tài đến từ các trường chuyên danh tiếng nhất cả nước. Thành phần đội tuyển bao gồm 2 nhóm chính:

Các thành viên Đội tuyển IMO năm 2025 (Nguyễn Đình Tùng – KHTN, Trương Thanh Xuân – Bắc Ninh).
Các học sinh đạt Giải Nhất Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2025-2026.

Danh sách này quy tụ những cái tên xuất sắc từ THPT Chuyên KHTN, Chuyên Hà Nội – Amsterdam, Chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa), Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An), Chuyên Bắc Ninh, và nhiều trường chuyên khác trên cả nước.

4. Thể thức thi và trao giải

APMO có quy chế thi đặc thù so với các kỳ thi quốc tế khác (như IMO):

Hình thức thi: Thí sinh làm bài thi tại quốc gia của mình (Home-based).
Đề thi: Gồm 5 bài toán tự luận, làm trong 4 giờ. Thang điểm 35 (7 điểm/bài).
Quy trình chấm giải:
- Mỗi quốc gia chấm sơ bộ và chọn ra tối đa 10 bài thi tốt nhất để gửi đi xét giải quốc tế.
- Nước điều phối (năm nay là Việt Nam) sẽ nhận bài, rà soát và quyết định giải thưởng dựa trên các tham số thống kê (giá trị trung bình và độ lệch chuẩn).
Cơ cấu giải thưởng: Được chia theo tỷ lệ thống kê (Huy chương Vàng, Bạc, Đồng và Bằng khen). Để đảm bảo công bằng, mỗi quốc gia bị giới hạn số lượng huy chương (ví dụ: tối đa 1 Vàng, 2 Bạc, 4 Đồng).

5. Nhìn lại lịch sử: Hào quang quá khứ

Việt Nam từng có một giai đoạn tham gia APMO cực kỳ thành công từ năm 1996 đến 2002. Ngay trong lần đầu tham dự (1996), Việt Nam đã gây chấn động khi xếp hạng Nhất toàn đoàn với tấm Huy chương Vàng của Ngô Đắc Tuấn.

Sau năm 2002, do một số thay đổi khách quan, Việt Nam đã tạm dừng tham gia sân chơi này. Sự trở lại vào năm 2026, sau 24 năm, không chỉ là dịp để thế hệ Gen Z viết tiếp trang sử vàng mà còn khẳng định sự hội nhập sâu rộng của Toán học Việt Nam trên trường quốc tế.

Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng từ Bộ Giáo dục & Đào tạo cùng Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán, kỳ thi APMO 2026 hứa hẹn sẽ là một khởi đầu rực rỡ. Chúc 22 “chiến binh” của đội tuyển Việt Nam sẽ có một ngày thi thăng hoa và mang vinh quang về cho Tổ quốc!

apmo1 Download

apmo2 Download