Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B\displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i\displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k)\displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho hàm số \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* thỏa mãn
\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))}. Tính f(1000).
Bài 2. Cho tứ giác nội tiếp \displaystyle ABCD thỏa mãn \displaystyle AD^2 + BC^2 = AB^2. Các đường chéo của \displaystyle ABCD cắt nhau tại \displaystyle E. Gọi \displaystyle P là một điểm trên cạnh \displaystyle AB thỏa mãn \displaystyle \angle APD = \angle BPC. Chứng minh \displaystyle PE chia đôi \displaystyle CD.
Bài 3. Cho \displaystyle K là tập tất cả các số nguyên dương không chứa chữ số \displaystyle 7 trong biểu diễn thập phân của nó. Tìm tất cả các đa thức \displaystyle f với hệ số nguyên sao cho \displaystyle f(n)\in K mỗi khi \displaystyle n\in K.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số tự nhiên n. Có bao nhiêu cách chọn \displaystyle (n+1)^2 tập hợp \displaystyle S_{i,j}\subseteq\{1,2,\ldots,2n\}, với \displaystyle 0\leq i,j\leq n, sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) Với mỗi \displaystyle 0\leq i,j\leq n, \displaystyle S_{i,j}\displaystyle i+j phần tử;
2) \displaystyle S_{i,j}\subseteq S_{k,l} mỗi khi \displaystyle 0\leq i\leq k\leq n\displaystyle 0\leq j\leq l\leq n. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019”

USA TSTST 2017


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC nội tiếp đường tròn \displaystyle \Gamma có tâm \displaystyle O, và trực tâm \displaystyle H. Giả sử \displaystyle AB\neq AC\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC, và \displaystyle E\displaystyle F lần lượt là chân các đường cao hạ từ \displaystyle B\displaystyle C của tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle P là giao điểm của \displaystyle MN với tiếp tuyến của \displaystyle \Gamma tại \displaystyle A. Gọi \displaystyle Q là giao điểm thứ hai của \displaystyle \Gamma với \displaystyle (AEF). Gọi \displaystyle R là giao điểm của \displaystyle AQ\displaystyle EF. Chứng minh rằng \displaystyle PR\perp OH.
Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên \displaystyle k và đố Ana đưa ra một từ có đúng \displaystyle k dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn \displaystyle k của Banana?
Bài 3. Xét phương trình \displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}, ở đây \displaystyle f\displaystyle g là các đa thức với hệ số thực không âm. Với \displaystyle c>0, xác định giá trị nhỏ nhất của \displaystyle \deg f hoặc chứng tỏ \displaystyle f,g không tồn tại.

Continue reading “USA TSTST 2017”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2017 (USA MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên (a, b) sao cho a>1, b>1, (a,b)=1a^b+b^a chia hết cho a+b.

Bài 2. Cho m_1, m_2, \ldots, m_nn số nguyên dương. Với mỗi dãy số nguyên A = (a_1, \ldots, a_n) và mỗi hoán vị w = w_1, \ldots, w_n của m_1, \ldots, m_n, định nghĩa A-nghịch đảo của w là một cặp w_i, w_j với i < j sao cho một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

1) a_i \ge w_i > w_j

2) w_j > a_i \ge w_i,

3) w_i > w_j > a_i.

Chứng minh rằng với mỗi hai dãy A = (a_1, \ldots, a_n), B = (b_1, \ldots, b_n), và với mỗi số nguyên dương k, số hoán vị của m_1, \ldots, m_n có đúng k A-nghịch đảo bằng số hoán vị của m_1, \ldots, m_n có đúng k B-nghịch đảo.

Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn nội tiếp I. Tia AI cắt BC tại D\Omega tại điểm thứ hai M; đường tròn đường kính DM cắt \Omega tại điểm thứ hai K. Các đường thẳng MKBC cắt nhau tại S, và N là trung điểm của IS. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác KIDMAN cắt nhau tại L_1,L_2. Chứng minh rằng \Omega chia đôi IL_1 hoặc IL_2.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho P_1, P_2, \dots, P_{2n}2n điểm phân biệt trên đường tròn x^2+y^2=1, khác (1,0). Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng n điểm đỏ và n điểm xanh. Gọi R_1, R_2, \dots, R_n là một cách đánh số các điểm đỏ. Gọi B_1 là điểm xanh gần R_1 nhất khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_1. B_2 là điểm xanh gần R_2 nhất trong các điểm xanh còn lại khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_2, và cứ thế. Chứng minh rằng số cung cùng chiều kim đồng hồ có dạng R_i \to B_i chứa (1,0) không phụ thuộc vào cách đánh số  các điểm đỏ. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2017 (USA MO 2017)”