Naive definition of probability

Phép thử ngẫu nhiên, hay phép thử, là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho một biến cố (sự kiện) $\displaystyle E$ liên quan đến phép thử $\displaystyle T$ là kết quả của phép thử $\displaystyle T$ làm cho biến cố $\displaystyle E$ xảy ra. Trong bài này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 1. Tung một đồng xu, ta thấy có thể xảy ra một trong hai kết quả sấp ( $\displaystyle S$ ) hoặc ngửa ( $\displaystyle N$ ). Phép thử ngẫu nhiên ở đây là tung một đồng xu, không gian mẫu của phép thử là tập hợp $\displaystyle \Omega =\{S, N\}$ . Ta có thể để ý xem các biến cố sau có xảy ra không?

kết quả của phép thử là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử không là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ hoặc $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ và $\displaystyle N$ . $\Box$

Ví dụ 2. Xét phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu bốn lần. Ta thấy một kết quả là $\displaystyle SNNS$ , và không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các dãy gồm $\displaystyle 4$ chữ cái thuộc $\displaystyle \{S,N\}$ . Chúng ta có thể mã hóa $\displaystyle S$ là $\displaystyle 1$ và $\displaystyle N$ là $\displaystyle 0$ , khi đó mỗi kết quả của phép thử là một dãy $\displaystyle (s_1,s_2,s_3,s_4)$ với các $\displaystyle s_j\in\{0;1\}$ và không gian mẫu của phép thử là tập tất cả các dãy như vậy.

Gọi $\displaystyle E_i$ là sự kiện lần tung thứ $\displaystyle i$ ra mặt ngửa. Tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle E_1$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle E_1$ , là

$\displaystyle E_1=\{(0,s_2,s_3,s_4)\mid s_j\in \{0;1\},\quad\forall j\}.$ Đây là một tập con của không gian mẫu.

Nếu $\displaystyle A$ là biến cố ít nhất một mặt là ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle A$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle A$ , là $\displaystyle A=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4.$ Nếu $\displaystyle B$ là biến cố tất cả bốn lần tung đều hiện mặt ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle B$ là $\displaystyle B=E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4.$ $\Box$

Ví dụ 3. Xét phép thử ngẫu nhiên: Chọn một quân bài từ $\displaystyle 52$ quân bài. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là tập tất cả $\displaystyle 52$ quân bài. Ta quan tâm đến bốn biến cố sau:

$\displaystyle A$ : Quân bài là một con Át.

$\displaystyle B$ : Quân bài có màu đen.

$\displaystyle C$ : Quân bài có chất Rô.

$\displaystyle D$ : Quân bài có chất Cơ.

Như một tập hợp $\displaystyle D=$ {Át cơ, 2 cơ , 3 cơ,…, K cơ}. Ta có thể tạo ra nhiều biến cố từ bốn biến cố này.

$\displaystyle A\cap B$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át màu đen.

$\displaystyle A\cup C$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át hoặc có chất Rô.

$\displaystyle A\cup C\cup D$ là sự kiện quân bài rút ra là quân Át hoặc có màu đỏ. $\Box$

Định nghĩa (Định nghĩa ngây thơ của xác suất). Cho $\displaystyle A$ là một biến cố (sự kiện) của một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu hữu hạn $\displaystyle \Omega$ . Khi đó xác suất của $\displaystyle A$ , hay xác suất xảy ra $\displaystyle A$ , là $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega\mid}.$

Theo định nghĩa thì $\displaystyle 0\leq \mathbb{P}(A)\leq 1$ , với mọi sự kiện $\displaystyle A$ . Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\emptyset$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng hay biến cố không thể. Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ hai xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\Omega$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố chắc chắn. Để tính xác suất của biến cố $\displaystyle A$ , ta cần tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của $\displaystyle A$ (như một tập hợp).

Ví dụ 4. Tung hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cặp $\displaystyle (a,b)$ với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ thuộc $\displaystyle \{1,2,\ldots,6\}$ . Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ là $\displaystyle \{(5,5),(6,4),(4,6)\}$ , suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle 3/36=1/12\approx 0.0833$ . $\Box$

Ví dụ 5. Một ván bài $\displaystyle 5$ lá được chia từ một bộ bài $\displaystyle 52$ lá tiêu chuẩn, được xáo trộn kỹ lưỡng. Ván bài được gọi là cù lũ trong poker nếu nó bao gồm ba lá bài ở cấp độ nào đó và hai lá bài ở cấp độ khác, ví dụ: ba lá bài $\displaystyle 7$ và hai lá bài $\displaystyle 10$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Xác suất để có một cù lũ bằng bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu là họ tất cả các tập con gồm $\displaystyle 5$ lá bài trong bộ bài đã cho. Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega \mid =C_{52}^5$ . Có $\displaystyle 13\times 12$ cách chọn lần lượt hạng của bộ ba và đôi trong một cù lũ. Sau đó, có $\displaystyle C_4^3\times C_4^2$ cách chọn lần lượt một bộ ba và một đôi trong các hạng đã chọn trước đó. Suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle \frac{13\times 12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{3744}{2598960}\approx 0.0014.$ $\Box$

Continue reading →

Tài liệu cho học sinh lớp 10 Chuyên toán

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số cuốn sách hoặc bài giảng mà học sinh chuẩn bị vào học lớp 10 Chuyên toán nên có.

[1] Tài liệu giáo khoa chuyên toán, Đại số 10

[2] Tài liệu giáo khoa chuyên toán, Hình học 10

[3] Chen Chuan-Chong và Koh Khee-Meng., Principles and Techniques in Combinatorics

[4] Hojoo Lee., Topics in Inequalities

[5] Dusan Djukic., Polynomials in One Variable

[6] David Burton., Elementary Number Theory

[7] B.J. Venkatachala., Functional Equations

Divisibility theory in the integers

Trong bài này chúng tôi sẽ trình bày quan hệ chia hết trên tập các số nguyên. Bài viết là tài liệu tự học của các học sinh lớp 10 đang học tại T’s Lab, nhưng các bạn học sinh lớp 8 hoặc 9 xuất sắc có thể hiểu được toàn bài mà không gặp khó khăn nào. Nhiều chứng minh trong bài dùng tính chất sau của tập các số nguyên không âm.

Mỗi tập khác rỗng gồm các số nguyên không âm đều có phần tử nhỏ nhất.

Đầu tiên chúng ta đến với định lí nền tảng của toàn bài.

Định lí 1 (Thuật toán chia). Cho hai số nguyên $a$ và $b$ với $b>0.$ Khi đó tồn tại đúng một cặp số nguyên $(q,r)$ thỏa mãn

$a=q b+r$ và $0 \leq r<b$ . Hai số $q$ và $r$ lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia $a$ cho $b$ .

Chứng minh. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên không âm có dạng $a-xb$ , với một số nguyên $x$ . Ta thấy $S$ khác rỗng nên nó có phần tử nhỏ nhất, ký hiệu là $r$ . Từ định nghĩa của $S$ , ta có thể viết $r=a-q b,$ trong đó $q$ là một số nguyên. Nếu $r \geq b$ thì $a-(q+1)$ là một phần tử nhỏ hơn $r$ của $S$ , vô lý, do đó $r<b$ . Bây giờ giả sử $(q,r)$ và $(q^{\prime},r^{\prime})$ là hai cặp có tính chất nói đến trong định lí. Khi đó $a=q b+r=q^{\prime} b+r^{\prime}$ và $0 \leq r<b, 0 \leq r^{\prime}<b$ . Từ đây ta có $\left|r^{\prime}-r\right|=b\left|q-q^{\prime}\right|,$ để ý thêm $\left|r^{\prime}-r\right|<b$ , ta thu được $0 \leq\left|q-q^{\prime}\right|<1.$ Suy ra $q=q^{\prime}$ , và $r=r^{\prime}$ . $\Box$

Ví dụ 1. Từ định lí 1 ta thấy mọi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $2k$ hoặc $2k+1$ với một số nguyên $k.$ Tương tự, mọi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng $3k$ , $3k+1$ , hoặc $3k+2$ với một số nguyên $k.$ $\Box$

Định nghĩa 1. Cho hai số nguyên $a$ và $b$ với $b$ khác $0$ . Khi đó $a$ được gọi là chia hết cho $b$ , ký hiệu $b \mid a$ , nếu tồn tại số nguyên $c$ sao cho $a=bc$ . Ta viết $b \nmid a$ khi $a$ không chia hết cho $b$ .

Khi $b \mid a$ , ta cũng nói $b$ là một ước của $a$ , hay $a$ là một bội của $b$ . Ta có ngay lập tức các tính chất sau, chứng minh của chúng là bài tập cho bạn đọc.

Định lí 2. Với các số nguyên $a$ , $b$ , và $c$ , ta có các tính chất sau:

(1) $a\mid 0,1\mid a, a \mid a$ .

(2) $a \mid 1$ khi và chỉ khi $a= \pm 1$ .

(3) Nếu $a \mid b$ và $c \mid d$ , thì $a c \mid b d$ .

(4) Nếu $a \mid b$ và $b \mid c$ , thì $a \mid c$ .

(5) $a \mid b$ và $b \mid a$ khi và chỉ khi $a= \pm b$ .

(6) Nếu $a \mid b$ và $b\neq 0$ , thì $\mid a\mid \leq \mid b\mid$ .

(7) Nếu $a \mid b$ và $a \mid c$ , thì $a \mid(b x+c y)$ với các số nguyên bất kỳ $x$ và $y$ .

Ta xét một số ví dụ có sử dụng các tính chất này.

Ví dụ 2. Cho $a$ , $b$ , $c$ , và $d$ là các số nguyên thỏa mãn $ad-bc>1$ . Chứng minh rằng ít nhất một bốn số đã cho không chia hết cho $ad-bc$ .

Lời giải. Giả sử ngược lại, khi đó cả bốn số $a$ , $b$ , $c$ , và $d$ đều chia hết cho $ad-bc$ . Suy ra $ad$ và $bc$ cùng chia hết cho $(ad-bc)^2$ , do đó $(ad-bc)^2\mid ad-bc,$ điều này không thể xảy ra vì $ad-bc>1$ . $\Box$

Ví dụ 3. Tìm tất cả bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ sao cho $1<a<b<c$ và $(a-1)(b-1)(c-1)$ là một ước của $abc-1.$

Lời giải. Các bộ ba phải tìm là $(2,4,8)$ và $(3,5,15)$ . Giả sử $(a,b,c)$ là một bộ ba thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó ba số $a$ , $b$ và $c$ có cùng tính chẵn-lẻ, do đó $\displaystyle 2 < \frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}\leq \frac{a}{a-1} \cdot \frac{a+2}{a+1} \cdot \frac{a+4}{a+3},$ suy ra $a<4.$ Đến đây xét $a=2$ và $a=3$ ta có câu trả lời. $\Box$

Continue reading →

The fundamental theorem of arithmetic

Trong bài này chúng ta sẽ nói một ít về số nguyên tố, trình bày chứng minh định lí cơ bản của số học, và giới thiệu một số kết quả sơ cấp về số nguyên tố. Đây cũng là bài đọc cho các học sinh lớp 9 và các học sinh ôn thi chọn HSG QG tại T’s Lab. Để theo dõi cho dễ dàng bạn đọc nên xem lại bài viết sau:

[1] https://nttuan.org/2023/07/14/divisibility/

Một số nguyên tố là một số nguyên $n$ lớn hơn $1$ có đúng hai ước dương là $1$ và $n$ . Một số nguyên lớn hơn $1$ được gọi là hợp số nếu nó không phải là số nguyên tố. Các số $2,3,$ và $5$ là các số nguyên tố. Các số $4,15,$ và $18$ là các hợp số.

Định lí 1. Mỗi số nguyên lớn hơn $1$ có thể biểu diễn như là tích của các số nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử $n$ là một số nguyên lớn hơn $1$ . Nếu $n$ là số nguyên tố thì nó là tích với một thừa số nguyên tố. Nếu không thì $n=n_1 n_2$ , trong đó $n_1$ và $n_2$ là các số nguyên lớn hơn $1$ và bé hơn $n$ . Nếu $n_1$ là một số nguyên tố, ta không làm gì; nếu không thì viết $n_1$ thành tích của hai số nguyên lớn hơn $1$ và bé hơn $n_1$ ; thao tác tương tự với $n_2$ . Tiếp tục thao tác như thế trên các thừa số mới. Quá trình này phải dừng vì không có dãy giảm nghiêm ngặt gồm vô hạn số nguyên dương, khi đó ta có một cách biểu diễn $n$ như là tích của các số nguyên tố. $\Box$

Từ dịnh lí trên, vì các thừa số nguyên tố không nhất thiết phải phân biệt nên mọi số nguyên $n$ lớn hơn $1$ có thể viết được dưới dạng $n=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r},$
trong đó $p_1, p_2, \cdots, p_r$ là các số nguyên tố phân biệt và $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ là các số nguyên dương. Biểu diễn này được gọi là phân tích chính tắc của $n$ thành các lũy thừa nguyên tố. Ta sẽ chứng minh rằng biểu diễn này là duy nhất theo nghĩa: đối với mỗi $n$ , bất kỳ biểu diễn nào khác chỉ là sự sắp xếp lại các thừa số.

Continue reading →

Principle of inclusion and exclusion

Bài này là một mở đầu của phương pháp sàng trong các bài toán đếm. Ở phương pháp này, khi muốn đếm số phần tử của một tập $A$ , ta bắt đầu với một tập $B$ chứa $A$ , sau đó tìm cách loại đi các phần tử không nằm trong $A$ .

Để theo dõi bài này cho dễ, các bạn hãy xem qua các bài sau:

[1] https://nttuan.org/2011/09/15/basic-counting-principles/

[2] https://nttuan.org/2012/09/15/permutations/

[3] https://nttuan.org/2013/09/15/combinations/

Chúng ta biết rằng nếu $A$ và $B$ là các tập hữu hạn rời nhau thì $|A\cup B|=|A|+|B|$ , tổng quát hơn ta có: Nếu $A$ và $B$ là các tập hữu hạn bất kỳ thì $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,$ đây chính là nguyên lý bù-trừ cho hai tập hợp. Với $n>1$ tập hợp ta có định lí sau

Định lí. Nếu $A_1,A_2,\ldots,A_n$ là các tập hữu hạn thì

$\displaystyle \left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{1\leq i\leq n}|A_i|-\sum_{1\leq i<j\leq n}|A_i\cap A_j|+\cdots+(-1)^{n+1}\left|\bigcap_{1\leq i\leq n}A_i\right|.$

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng mỗi phần tử trong $\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i$ được đếm đúng một lần trong vế phải. Gọi $x$ là một phần tử trong hợp đó và nó nằm trong dúng $m$ tập $A_i$ , khi đó trong vế phải nó sẽ được đếm đúng $C_m^1-C_m^2+\cdots+(-1)^{m+1}C_m^m=1$ lần (lưu ý $(1-1)^m=0$ ). $\Box$

Ngoài cách chứng minh trên các bạn có thể chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp toán học, tôi chọn giới thiệu cách chứng minh này vì phong cách tổ hợp của nó.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của ít nhất một trong hai số $10^{40}$ và $20^{30}$ ?

Lời giải. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là tập các ước dương của $10^{40}$ và $20^{30}$ . Đề bài yêu cầu tính $|A\cup B|$ . Ta có $10^{40}=2^{40}5^{40}, 20^{30}=2^{60}5^{30}$ và $(10^{40},20^{30})=2^{40}5^{30}.$ Suy ra $|A|=(40+1)(40+1)=1681, |B|=(60+1)(30+1)=1891$ và $|A\cap B|=(40+1)(30+1)=1271.$ Bởi thế nên $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=2301.$ $\Box$

Ví dụ 2. Tìm số các số nguyên dương trong $\{1,2,\ldots,500\}$ chia hết cho $2$ hoặc $3$ hoặc $5.$

Lời giải. Đặt $S=\{1,2,\ldots,500\}$ . Gọi $A,B$ và $C$ lần lượt là tập các phần tử của $S$ chia hết cho $2,3$ và $5$ . Khi đó $A\cup B\cup C$ là tập các số nguyên dương trong $S$ chia hết cho $2$ hoặc $3$ hoặc $5.$ Đề bài yêu cầu tính $|A\cup B\cup C|$ .

Vì $2,3$ và $5$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau nên $A\cap B$ là tập các số nguyên dương trong $S$ chia hết cho $6$ , $B\cap C$ là tập các số nguyên dương trong $S$ chia hết cho $15$ , $C\cap A$ là tập các số nguyên dương trong $S$ chia hết cho $10$ , và $A\cap B\cap C$ là tập các số nguyên dương trong $S$ chia hết cho $30$ . Suy ra $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$ $\displaystyle=\left[\frac{500}{2}\right]+\left[\frac{500}{3}\right]+\left[\frac{500}{5}\right]-\left[\frac{500}{6}\right]-\left[\frac{500}{15}\right]-\left[\frac{500}{10}\right]+\left[\frac{500}{30}\right]=366.$ $\Box$

Với mỗi số nguyên dương $m$ , ký hiệu $\varphi (m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$ . Hàm số $\varphi:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ được gọi là hàm phi của Euler.

Ví dụ 3. Tính $\varphi (180)$ .

Lời giải. Vì $180=2^23^25$ nên $X$ chính là tập các số trong $S$ không chia hết cho $2,3$ và $5$ . Suy ra $S\setminus X=X_1\cup X_2\cup X_3$ với $X_1$ là tập các số trong $S$ chia hết cho $2$ , $X_2$ là tập các số trong $S$ chia hết cho $3$ , và $X_3$ là tập các số trong $S$ chia hết cho $5.$ Tương tự như bài toán trên ta có

$\displaystyle |X_1\cup X_2\cup X_3|=|X_1|+|X_2|+|X_3|-|X_1\cap X_2|-|X_2\cap X_3|-|X_3\cap X_1|+|X_1\cap X_2\cap X_3|$

$\displaystyle =\left[\frac{180}{2}\right]+\left[\frac{180}{3}\right]+\left[\frac{180}{5}\right]-\left[\frac{180}{6}\right]-\left[\frac{180}{15}\right]-\left[\frac{180}{10}\right]+\left[\frac{180}{30}\right]=132.$ Do đó $\varphi (180)=|X|=|S|-|S\setminus X|=180-132=48.$ $\Box$

Làm tương tự như trên ta có nếu $n$ có phân tích chính tắc $\displaystyle n=\prod p_i^{k_i}$ thì $\displaystyle\varphi (n)=n\prod \left(1-\frac{1}{p_i}\right).$

Ví dụ 4. Tìm số các lời giải nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3=15$ với $x_1\leq 5,x_2\leq 6$ và $x_3\leq 7$ .

Lời giải. Gọi $A$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3=15,$ và $B$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn $x_1\leq 5,x_2\leq 6$ và $x_3\leq 7.$ Ta cần tính $\mid B\mid.$ Ta có $A\setminus B=B_1\cup B_2\cup B_3,$ trong đó: $B_1$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn $x_1>5.$ $B_2$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn $x_2>6.$ $B_3$ là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn $x_3>7.$

Theo nguyên lý bù-trừ, ta có $C^2_{17}-\mid B\mid =\mid A\mid -\mid B\mid =\mid A\setminus B\mid =\sum \mid B_i\mid -\sum \mid B_i\cap B_j\mid+\mid B_1\cap B_2\cap B_3\mid. \quad (*)$

Bộ số tự nhiên $(x_1,x_2,x_3)$ thuộc $B_1$ khi và chỉ khi $(x_1-6)+x_2+x_3=9,$ do đó $\mid B_1\mid =C^2_{11}.$ Hoàn toàn tương tự, ta có $\mid B_2\mid =C^2_{10}$ và $\mid B_3\mid = C_9^2.$

Bộ số tự nhiên $(x_1,x_2,x_3)$ thuộc $B_1\cap B_2$ khi và chỉ khi $(x_1-6)+(x_2-7)+x_3=2,$ do đó $\mid B_1\cap B_2\mid =C^2_{4}.$ Hoàn toàn tương tự, ta có $\mid B_2\cap B_3\mid =1,$ $\mid B_3\cap B_1\mid = C_3^2,$ và $\mid B_1\cap B_2\cap B_3\mid =0.$

Bây giờ thay các kết quả trên vào $(*)$ ta có $\mid B\mid =10.$ $\Box$

Ví dụ 5. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình $x_1+x_2+x_3=28$ với $3\leq x_1\leq 9,0\leq x_2\leq 8$ và $7\leq x_3\leq 17$ .

Hướng dẫn. Đáp số: $28.$ Đặt $y_1=x_1-3,$ $y_2=x_2,$ và $y_3=x_3-7.$ Ta cần tính số nghiệm tự nhiên của phương trình $y_1+y_2+y_3=18$ thỏa mãn $y_1\leq 6,$ $y_2\leq 8$ và $y_3\leq 10.$ Đến đây làm như ví dụ trên. $\Box$

Ví dụ 6. Với $k=1,2,\ldots,1992$ cho $A_k$ là một tập với $44$ phần tử. Giả sử rằng $|A_i\cap A_j|=1$ với mỗi $i,j$ khác nhau trong $\{1,2,\ldots,1992\}.$ Tính $\displaystyle \left|\bigcup_{i=1}^{1992}A_i\right|.$