USA TST Selection Test 2025

1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601239p35223673

Trong một nhóm hữu hạn người, một số cặp là bạn bè (tình bạn là tương hỗ). Mỗi người $p$ có một danh sách $f_1(p),f_2(p),\dots, f_{d(p)}(p)$ gồm những người bạn của mình, trong đó $d(p)$ là số lượng bạn bè khác nhau mà $p$ có. Ngoài ra, bất kỳ hai người nào cũng được kết nối bởi một chuỗi các mối quan hệ bạn bè. Mỗi người cũng có một quả bóng nước. Trò chơi sau được chơi cho đến khi ai đó có nhiều hơn một quả bóng nước: ở vòng $r$ , mỗi người $p$ ném quả bóng nước hiện có của mình cho người bạn $f_s(p)$ sao cho $d(p)$ chia hết $r-s$ . Chứng minh rằng nếu trò chơi không bao giờ kết thúc, thì mọi người đều có cùng số lượng bạn bè.

2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601242p35223679

Tìm tất cả các tập hợp $S\subseteq \mathbb{Z}$ sao cho tồn tại một hàm $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ để
$f(x-y) - 2f(x) + f(x+y) \geq -1$ với mọi $x, y\in \mathbb{R}$ , và $S$ là tập giá trị của $f$ .

3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601245p35223695

Cho $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ là các số nguyên dương với $r$ và $s$ là số lẻ. Dãy $a_1, a_2, a_3, \dots$ được định nghĩa bởi $a_{n+2} = ra_{n+1} + sa_n$ với mọi $n \ge 1$ . Xác định số lượng lớn nhất có thể các chỉ số $1 \le \ell \le 2025$ sao cho $a_\ell$ chia hết $a_{\ell+1}$ , trên tất cả các lựa chọn có thể có của $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ .

4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601254p35223710

Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương. Cho $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_n$ là một dãy các số nguyên dương sao cho $(a_1,a_2),(a_2,a_3),\,\dots,(a_{n-1},a_n)$ là một dãy tăng nghiêm ngặt. Hãy tìm, theo $n$ , giá trị lớn nhất có thể của $\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}$ trên tất cả các dãy như vậy.

5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601256p35223717

Một tứ diện $ABCD$ được gọi là tứ diện thiên thần nếu nó có thể tích khác không và thỏa mãn:

$\angle BAC + \angle CAD + \angle DAB = \angle ABC + \angle CBD + \angle DBA$

và $\angle ACB + \angle BCD + \angle DCA = \angle ADB + \angle BDC + \angle CDA.$

Trong tất cả các tứ diện thiên thần, số lượng độ dài khác nhau tối đa có thể xuất hiện trong tập hợp $\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}$ là bao nhiêu?

6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601258p35223726

Alice và Bob chơi một trò chơi trên $n$ đỉnh được đánh số $1, 2, \dots, n$ . Họ lần lượt thêm các cạnh $\{i, j\}$ , Alice đi trước. Không người chơi nào được phép thực hiện nước đi tạo thành chu trình, và trò chơi kết thúc sau tổng cộng $n-1$ lượt. Gọi trọng lượng của cạnh $\{i, j\}$ là $|i - j|$ , và $W$ là tổng trọng lượng của tất cả các cạnh khi kết thúc trò chơi. Alice chơi để tối đa hóa $W$ và Bob chơi để tối thiểu hóa $W$ . Nếu cả hai đều chơi tối ưu, thì $W$ sẽ là bao nhiêu?

7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601260p35223735

Với một số thực dương $c$ , dãy $a_1, a_2, \dots$ các số thực được định nghĩa như sau. Cho $a_1=c$ , và với $n \geq 2$ , đặt $a_n = \sum_{i=1}^{n-1} (a_i)^{n-i+1}$ . Tìm tất cả các số thực dương $c$ sao cho $a_i>a_{i+1}$ với mọi số nguyên dương $i$ .

8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601261p35223743

Tìm tất cả các đa thức $f$ có hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $n$ , $n$ chia hết $\underbrace{f(f(\dots(f(0))\dots )}_{n+1\ f\text{'s}} - 1.$

9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601262p35223748

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $B_1$ , $C_1$ , $B_2$ , và $C_2$ là các điểm thẳng hàng lần lượt nằm trên $AB$ , $AC$ , $BH$ , và $CH$ . Gọi $\omega_B$ và $\omega_C$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ . Chứng minh rằng trục đẳng phương của $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt đường thẳng qua tâm của chúng trên đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$ .

2026 USA IMO Team Selection Test

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733926p36710571

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô màu các hệ số khác không của đa thức

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{k=0}^{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-k)$

bằng $2^n-1$ màu sao cho tổng các hệ số của mỗi màu bằng $0$ , và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733954p36710650

Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $p$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\sum_{k=1}^{b}(-1)^{\lfloor(a-1)k/p\rfloor+\lfloor ak/p\rfloor}\ge0.$

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733942p36710611

Chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp con $S$ nào của $\mathbb{R}^{2}$ , tồn tại một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$ mà phần trong của nó chứa hoặc $0$ điểm, hoặc nhiều hơn $2025$ điểm của $S$ .

IMO Shortlist 2024: Combinatorics

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần khác của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N. https://nttuan.org/2025/11/14/isl2024n/

C1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610442p35340913

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một lớp gồm $n$ học sinh chạy $n$ cuộc đua, trong mỗi cuộc đua họ được xếp hạng mà không có hòa. Một học sinh đủ điều kiện để nhận điểm đánh giá $(a, b)$ với $a$ và $b$ là các số nguyên dương, nếu họ về đích trong $b$ vị trí dẫn đầu ở ít nhất $a$ cuộc đua. Điểm số cuối cùng của họ là giá trị lớn nhất có thể của $a-b$ trên tất cả các điểm đánh giá mà họ đủ điều kiện. Tìm tổng lớn nhất có thể của tất cả các điểm số của $n$ học sinh.

C2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610436p35340903

Cho $n$ là một số nguyên dương. Các số nguyên $1, 2, 3, \ldots, n^2$ được điền vào các ô của bảng $n \times n$ sao cho mỗi số nguyên được điền vào đúng một ô và mỗi ô chứa đúng một số nguyên. Với mỗi số nguyên $d$ sao cho $d\mid n$ , phép $d$ -chia của bảng là phép chia bảng thành $(n/d)^2$ bảng con không chồng nhau, mỗi bảng con có kích thước $d \times d$ , sao cho mỗi ô được chứa trong đúng một bảng con $d \times d$ . Ta nói rằng $n$ là một số đẹp nếu các số nguyên có thể được điền vào bảng $n \times n$ sao cho, với mỗi số nguyên $d$ với $d\mid n$ và $1 < d < n$ , trong phép $d$ -chia của bảng, tổng các số nguyên được điền trong mỗi bảng con $d \times d$ không chia hết cho $d$ . Hãy xác định tất cả các số đẹp chẵn.

C3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610441p35340911

Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $2n$ hiệp sĩ ngồi quanh một bàn tròn. Họ gồm $n$ cặp đối tác, mỗi cặp muốn bắt tay nhau. Một cặp chỉ có thể bắt tay khi họ ngồi cạnh nhau. Mỗi phút, một cặp hiệp sĩ ngồi cạnh nhau đổi chỗ. Tìm số lần đổi chỗ nhỏ nhất giữa các hiệp sĩ ngồi cạnh nhau sao cho, bất kể cách sắp xếp ban đầu thế nào, mỗi hiệp sĩ đều có thể gặp đối tác của mình và bắt tay tại một thời điểm nào đó.

C4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777p31218774

Trên một bảng có $2024$ hàng và $2023$ cột, Ốc sên Turbo cố gắng di chuyển từ hàng đầu tiên đến hàng cuối cùng. Trong mỗi lần thử, nó chọn bắt đầu ở bất kỳ ô nào trong hàng đầu tiên, sau đó di chuyển từng bước đến một ô liền kề chung cạnh. Nó thắng nếu đạt đến bất kỳ ô nào trong hàng cuối cùng. Tuy nhiên, có $2022$ quái vật đã được xác định trước và giấu kín trong $2022$ ô, mỗi hàng có một con trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, sao cho không có hai quái vật nào nằm cùng một cột. Nếu không may Turbo đến ô có quái vật, lần thử của nó kết thúc và nó được đưa trở lại hàng đầu tiên để bắt đầu một lần thử mới. Các quái vật không di chuyển. Giả sử Turbo được phép thực hiện $n$ lần thử. Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho nó có một chiến lược đảm bảo đến được hàng cuối cùng, bất kể vị trí của các quái vật thế nào. (IMO2024/5)

C5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610469p35340978

Cho $N$ là một số nguyên dương. Geoff và Ceri chơi một trò chơi mà họ bắt đầu bằng cách viết các số $1, 2, \ldots, N$ lên bảng. Sau đó họ luân phiên thực hiện một nước đi, bắt đầu từ Geoff. Mỗi nước đi bao gồm việc chọn một cặp số nguyên $(k, n)$ , trong đó $k \ge 0$ và $n$ là một trong các số nguyên trên bảng, sau đó xóa mọi số nguyên $s$ trên bảng sao cho $2^k \mid n-s$ . Trò chơi tiếp tục cho đến khi bảng trống. Người chơi xóa số nguyên cuối cùng trên bảng sẽ thua. Xác định tất cả các giá trị của $N$ mà Geoff có thể đảm bảo thắng, bất kể Ceri chơi như thế nào.

C6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610456p35340931

Cho $n$ và $T$ là các số nguyên dương. James có $4n$ viên bi với khối lượng $1, 2, \ldots, 4n$ . Anh ấy đặt chúng lên một chiếc cân thăng bằng sao cho hai bên có khối lượng bằng nhau. Andrew có thể di chuyển một viên bi từ bên này sang bên kia của chiếc cân, sao cho độ chênh lệch về khối lượng của hai bên luôn không quá $T$ . Tìm, theo $n$ , số nguyên dương $T$ nhỏ nhất sao cho Andrew có thể thực hiện một chuỗi các nước đi để mỗi viên bi cuối cùng nằm ở phía đối diện của chiếc cân, bất kể cách James đặt bi ban đầu như thế nào.

C7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358930p31206050

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n){n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1}){n\geq 1}$ và $(a{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó. (IMO2024/3)

C8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610448p35340921

Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho một bảng $n \times n$ , ô đơn vị ở góc trên bên trái ban đầu được tô màu đen, và các ô khác được tô màu trắng. Sau đó, ta áp dụng một chuỗi các thao tác tô màu lên bảng. Trong mỗi thao tác, ta chọn một hình vuông $2 \times 2$ có đúng một ô màu đen và ta tô ba ô còn lại của hình vuông $2 \times 2$ đó thành màu đen. Xác định tất cả các giá trị của $n$ sao cho ta có thể tô toàn bộ bảng thành màu đen.

IMO Shortlist 2024: Number theory

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán số học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần hình học và đại số của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610447p35340920

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi ước số dương $d$ của $n$ , ta có $d+1\mid n$ hoặc $d+1$ là số nguyên tố.

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610444p35340915

Xác định tất cả các tập hợp hữu hạn, khác rỗng $\mathcal{S}$ các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b\in\mathcal{S}$ tồn tại $c\in\mathcal{S}$ thỏa mãn $a\mid b+2c$ .

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610437p35340905

Xác định tất cả các dãy số $a_1, a_2, \dots$ các số nguyên dương sao cho với mọi cặp số nguyên dương $m\leqslant n$ , trung bình cộng và trung bình nhân

$\displaystyle \frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-m+1}$ và $\displaystyle (a_ma_{m+1}\cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}$ đều là các số nguyên.

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926p31205957

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn $(a^n+b,b^n+a)=g$ với mọi số nguyên $n\geq N$ . (IMO2024/2)

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610445p35340917

Cho $\mathcal{S}$ là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các số nguyên tố. Giả sử $1 = b_1 < b_2 < \dots$ là dãy tất cả các số nguyên dương mà các ước nguyên tố đều thuộc $\mathcal{S}$ . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ đủ lớn, tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho

$\displaystyle \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} = \left\lceil \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right\rceil.$

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610457p35340935

Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta nói một đa thức $P$ với các hệ số nguyên là $n$ -tốt nếu tồn tại một đa thức $Q$ bậc $2$ với các hệ số nguyên sao cho $Q(k)(P(k) + Q(k))$ không chia hết cho $n$ với mọi số nguyên $k$ . Xác định tất cả các số nguyên $n$ sao cho mọi đa thức với các hệ số nguyên là một đa thức $n$ -tốt.

Continue reading →