Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.
Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:
Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/
Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/
A1. Cho là một dãy số thực dương có tính chất với mọi số nguyên dương . Chứng minh rằng
A2. Cho một số nguyên . Tìm số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của phần tử phân biệt khác của tập hợp.
A3. Gọi là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm sao cho với mỗi , có đúng một thỏa mãn . (IMO2022/2)
A4. Gọi là một số nguyên và là các số thực trong đoạn . Đặt và giả sử rằng . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên và với sao cho
A5. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại số thực và số thực để hiệu với bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số .
A6. Chúng ta nói rằng một hàm là tốt nếu với mọi . Tìm tất cả các số hữu tỉ sao cho với mọi hàm tốt , tồn tại một số thực sao cho .
A7. Với số nguyên dương , ký hiệu là tổng các chữ số của trong hệ thập phân. Gọi là một đa thức, trong đó và là một số nguyên dương với mọi . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương , và có cùng tính chẵn – lẻ?
A8. Với số nguyên dương , một -dãy là một dãy gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu và là các số nguyên không âm với , thì và . Gọi là số -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương , và sao cho với mọi số nguyên dương .