Ngày thứ nhất
Bài 1. Xét các số thực thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2. Một tập các số nguyên dương được gọi là tập Pythagorean nếu
là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với mỗi hai tập Pythagorean
, tồn tại số nguyên
và các tập Pythagorean
sao cho
và
,
.
Bài 3. Cho là tâm đường tròn ngoại tiếp của
(
) và
là điểm trên phân giác của
. Điểm
thuộc
sao cho
,
. Điểm
nằm trên
kéo dài sao cho
. Đường tròn ngoại tiếp của
cắt
tại
, và cắt đường tròn ngoại tiếp của
tại
. Chứng minh rằng
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của
. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2019”
Tag: China
Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2
Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác và
là một điểm di động trên cạnh
. Điểm
và điểm
lần lượt thuộc các cạnh
và
sao cho
và
.
và
cắt nhau tại hai điểm khác nhau
và
. Chứng minh tồn tại điểm cố định
sao cho
là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương , \textit{một phân hoạch nguyên} của
là một cách viết
thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của
ký hiệu bởi
. Tìm tất cả các số nguyên dương
sao cho
Bài 3. Cho hai số nguyên dương Có một cái bảng trên đó viết
số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau
trên bảng và thay chúng bởi
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”
Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5
Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên . Xét dãy
, nếu
thỏa mãn
và
ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức
với hệ số thực, tồn tại đa thức
với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại
số khác nhau
thỏa mãn
với mọi
. Ở đây chỉ số lấy theo modulo
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ , nếu
là số nguyên chia hết cho
nhưng không chia hết cho
ta tô nó màu đỏ, nếu
là số nguyên chia hết cho
nhưng không chia hết cho
ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng
điểm xanh và đúng
điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”
Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4
Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng
Bài 2. Cho tam giác , đường tròn bàng tiếp góc
tiếp xúc với cạnh
, đường thẳng
và
lần lượt tại
.
là đường kính của đường tròn.
và
thuộc
sao cho
,
. Đường thẳng
cắt
tại
tương ứng.
cắt
tại
,
vuông góc với
tại
. Chứng minh rằng nếu
là trực tâm của tam giác
thì
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) ;
ii) ;
iii) . Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”
China TST 2003 – Test 3/ Problem 3
Bài toán. Cho là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell
. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương
của phương trình sao cho
chia hết cho mọi ước nguyên tố của
.
Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương sao cho
.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: chẵn.
Ta có , trái với giả thiết
chia hết cho mọi ước nguyên tố của
. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”
China TST 2014 – Test 3/Problem 3
Bài toán. Chứng minh rằng không tồn tại cặp các số nguyên dương thỏa mãn
Lời giải. Tồn tại số nguyên dương sao cho
. Suy ra với mỗi
ta có
thật vậy, không thể có
, vì nếu không,
, do đó
vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho
, suy ra
, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”
Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3
Các bạn có thể xem phần 2 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/09/topic-879/
—
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên . Xét các số thực không âm
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Bài 2. Cho là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của
trên
là
tương ứng, ở đây
nằm trên cạnh
còn
nằm ngoài cạnh
. Gọi hình chiếu vuông góc của
trên
là
tương ứng, ở đây
nằm trên cạnh
còn
nằm ngoài cạnh
. Gọi trực tâm của tam giác
là
. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác
và
chia đôi
.
Bài 3. Cho là tập có
phần tử. Tìm số nguyên dương
nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi dãy
tập con của
,
, tồn tại
sao cho
hoặc
Ngày thứ hai
Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại đa thức sao cho nó có đúng
nghiệm thực dương, có đúng
nghiệm thực âm và
là số nguyên dương với mọi
. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3”