## Real roots of a polynomial

Cách đây vài tháng tôi có đưa lên blog này một số bài toán về nghiệm thực của đa thức, cụ thể ở các link sau:

Dưới đây là file pdf tổng hợp các bài trên sau khi nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

## Lagrange’s interpolation polynomial (4)

Problem 17. Prove that, for infinitely many positive integers $n$, there exists a polynomial $P$ of degree $n$ with real coefficients such that $P(1),P(2),\cdots, P(n+2)$ are different whole powers of $2$.

Problem 18. Suppose $q_{0}, \, q_{1}, \, q_{2}, \ldots \; \,$ is an infinite sequence of integers satisfying the following two conditions:

(i)  $m-n \,$ divides $q_{m}-q_{n}$ for $m > n \geq 0,$

(ii) there is a polynomial $P$ such that $|q_{n}| < P(n) \,$ for all $n$

Prove that there is a polynomial $Q$ such that $q_{n}= Q(n)$ for all $n$.

Problem 19. Let $P\in\mathbb{R}[x]$ such that for infty of integer number $c$ : Equation $P(x)=c$ has more than one integer root. Prove that $P(x)=Q((x-a)^{2})$, where $a\in\mathbb R$ and $Q$ is a polynomial.

Problem 20. Find all the polynomials $P(x)$ with odd degree such that

$P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$

Problem 21. Suppose $p(x)$ is a polynomial  with integer coefficients assumes at $n$ distinct integral values of $x$ that are different form $0$ and in absolute value less than  $\dfrac{(n-[\frac n2])!}{2^{n-[\frac n2]}} .$ Prove that $p(x)$ is irreducible.

Prove that the bound may be replaced by $(\dfrac d2)^{n-[\frac n2]}(n-[\frac n2])!$ where $d$ is minimum distance between any two of the $n$ integral values of $x$ where $p(x)$ assumes the integral values considered.

## Lagrange’s interpolation polynomial (3)

Problem 9. Let $t$ and $n$ be fixed integers each at least $2$. Find the largest positive integer $m$ for which there exists a polynomial $P$, of degree $n$ and with rational coefficients, such that the following property holds: exactly one of  $\displaystyle\frac{P(k)}{t^k} \text{ and } \frac{P(k)}{t^{k+1}}$  is an integer for each $k = 0,1, ..., m$.

Problem 10. Let $f\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_{1}x+a_{0}$ be a polynomial. Prove that we have an $\displaystyle i\in \left \{ 1,2,...,n \right \}\mid \left | f\left ( i \right ) \right |\geq \frac{n!}{\binom{n}{i}}$.

Problem 11.  Let $(F_n)_{n\geq 1}$ be the Fibonacci sequence $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ and $P(x)$ the polynomial of degree $990$ satisfying

$P(k) = F_k, \qquad \text{ for } k = 992, . . . , 1982.$ Prove that $P(1983) = F_{1983} - 1.$

## Lagrange’s interpolation polynomial (2)

Problem 1. Let $P$ be a polynomial of degree at most $n$ satisfying $\displaystyle P(k)=\frac{1}{C^k_{n+1}}\,\,\forall k=\overline{0,n}.$ Determine $P(n+1)$.

Problem 2. A polynomial $P(x)$ has degree at most $2k$, where $k = 0, 1,2,\cdots$. Given that for an integer $i$, the inequality $-k \le i \le k$ implies $|P(i)| \le 1$, prove that for all real numbers $x$, with $-k \le x \le k$, the following inequality holds $|P(x)| \leq 2^{2k}.$

Problems 3. Prove that at least one of the numbers $|f(1)|,|f(2)|,\cdots,$ $|f(n+1)|$ is greater than or equal to $\dfrac{n!}{2n}.$ Where

$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots+ a_n\,\, (\quad a_i \in \mathbb R, \quad i = 1, \ldots , n,n\in\mathbb{N}.)$

Problem 4. Prove that any monic polynomial (a polynomial with leading coefficient $1$) of degree $n$ with real coefficients is the average of two monic polynomials of degree $n$ with $n$ real roots.

Problem 5. Let $p$ be a prime number and $f$ an integer polynomial of degree $d$ such that $f(0) = 0,f(1) = 1$ and $f(n)$ is congruent to $0$ or $1$ modulo $p$ for every integer $n$. Prove that $d\geq p - 1$.

Problem 6. Let $P$ be a polynomial of degree $n\in\mathbb{N}$ satisfying $P(k)=2^k\,\,\forall k=\overline{0,n}.$ Prove that $P(n+1)=2^{n+1}-1$.

Problem 7.  $P(x)$ is a polynomial of degree $3n\,\, (n\in\mathbb{N})$ such that

$P(0) = P(3) = \cdots = P(3n) = 2,\,\,\, P(1) = P(4) = \cdots = P(3n-2) = 1,$

$P(2) = P(5) = \cdots = P(3n-1) = 0, \quad\text{and}\quad P(3n+1) = 730.$

Determine $n$.

## Đa thức – Định nghĩa và các phép toán

Định nghĩa
Trong mục này $\mathbb{K}$ sẽ được hiểu là $\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}$ hay $\mathbb{Z}$.

Gọi $D$ là một tập con của $\mathbb{K}$. Một hàm $f:D\to\mathbb{C}$ được gọi là một đa thức trên $D$ nếu có số tự nhiên $n$ và các hằng số $a_n,a_{n-1},\cdots,a_0$ sao cho
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.$
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là $D=\mathbb{K}$.
Với đa thức $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0)$, ta sẽ gọi các $a_i$ là các hệ số của $f$, $a_n$ là hệ số cao nhất, $a_0$ là hệ số tự do. $f$ được gọi là monic nếu $a_n=1$. Số $n$ được gọi là bậc của $f$, ta viết $\deg f=n$ và quy ước bậc của đa thức $0$ (là đa thức mà $f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}$) bằng $-\infty.$
Đa thức $f$ được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số $C\in\mathbb{K}$ thỏa mãn $f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}$, theo trên ta có nếu $C$ là một hằng số khác $0$ thì $\deg C=0.$
Tập các đa thức với hệ số thuộc $\mathbb{K}$ cùng với đa thức $0$ sẽ được ký hiệu là $\mathbb{K}[x].$
Hai đa thức $f,g\in\mathbb{K}[x]$ được gọi là bằng nhau, và viết $f=g$, nếu chúng cùng là đa thức $0$ hoặc cả hai khác $0$ đồng thời $\deg f=\deg g$ và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho $r\in\mathbb{C}$$f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]$. Giá trị của $f$ tại $r$ là một số phức, kí hiệu bởi $f(r)$, và được cho bởi $f(r)=\sum a_ir^i$, $r$ được gọi là nghiệm của $f$ nếu $f(r)=0$. Số $r$ được gọi là nghiệm bội $k\,\,(k\in\mathbb{N}^*)$ của $f$ nếu $f(x)=(x-r)^kg(x)$, ở đây $g$ là một đa thức không nhận $r$ làm nghiệm. Nếu $f$ là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của $f$ nhiều nhất bằng $\deg f$ tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ $\deg f$ nghiệm), chỉ có đa thức $0$ là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau
1/. $3x^4-3x^2+1$
2/. $6x^2$
3/. $(2x^3-1)(x+2)$.
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc $12$.
2/. Một đa thức có bậc $5$ nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc $0$.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho
$P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.$
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho
$P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.$
Ví dụ 5. Chứng minh rằng $\sin x$ không phải là một đa thức với hệ số thực trên $\mathbb{R}.$

## Mở đầu về đa thức Chebyshev

Một số bài toán tìm kiếm của Giải tích không thể giải được theo nghĩa tìm ra nghiệm chính xác. Chẳng hạn như bài toán tìm nghiệm thực của một đa thức bậc cao, giải các phương trình vi phân, …Với những bài toán kiểu này người ta tìm ra các thuật toán để tính gần đúng nghiệm, và như vậy cũng là đủ cho các ứng dụng thực tế. Ngành học nghiên cứu các thuật toán nói trên gọi là Giải tích số, các đa thức Chebyshev xuất hiện khắp nơi trong lĩnh vực này.

Trong phần đầu của bài viết tôi sẽ trình bày các tính chất sơ cấp nhất của các đa thức Chebyshev, bạn nào muốn tìm hiểu sâu thêm có thể tìm đọc sách của J.C. Mason và D.C. Handscomb. Ở phần thứ hai tôi sẽ giới thiệu một số bài toán đa thức trong các kỳ thi Olympic liên quan đến các kiến thức đã trình bày ở phần đầu.