Category: Contests

IMO2021/6


Trong bài này tôi giới thiệu hai lời giải cho bài 6 trong đề thi IMO 2021, lời giải thứ hai có dùng bổ đề Siegel mà tôi đã giới thiệu cách đây rất lâu ở đường dẫn https://nttuan.org/2007/10/21/siegel/. Các bạn có thể tìm các bài toán khác trong đề IMO 2021 ở đây https://nttuan.org/2021/07/25/imo2021/

Bài toán (IMO2021/6). Cho số nguyên m\ge 2, A là một tập hữu hạn các số nguyên và B_1, B_2, …,B_m là các tập con của A. Giả sử rằng với mỗi k=1,2,...,m, tổng các phần tử của B_k là m^k. Chứng minh rằng A có ít nhất \frac{m}{2} phần tử.

Lời giải 1. Đặt k=|A| và giả sử A = \{a_1,a_2,\ldots,a_k\}. Từ giả thiết, với mỗi i\in [m], ta có \displaystyle m^i = \sum_{j=1}^{k}b_{i,j}a_{j}\quad (1) với các b_{i,j} \in \{0;1\}. Với mỗi 0 \le x \le m^{m}-1, biểu diễn mx theo cơ số m và kết hợp với (1) ta được \displaystyle mx = \sum_{j=1}^{k}c_{j}a_{j}, trong đó các c_j là số nguyên thỏa mãn 0 \le c_j \le (m-1)m,\quad\forall j\in [k]. Vế trái của đẳng thức này nhận đúng m^{m} giá trị, do đó \displaystyle m^{m} \le [m(m-1)+1]^{k} < m^{2k}, suy ra |A|=k>m/2. \Box

Continue reading “IMO2021/6” →

IMO 2021: Problems and results


Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.

I) Danh sách đội tuyển Việt Nam

Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.

Dưới đây là danh sách 6 học sinh:

1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN

2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN

3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam

4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN

5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM

6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II) Đề thi – Đáp án

Download đề thi IMO 2021

Download đáp án IMO 2021

Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.

III) Kết quả

Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm \geq 24, trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm \geq 19, và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm \geq 12.

Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!

Kết quả của đội Việt Nam

HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.

Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.

Chỉ có đúng một thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.

Nhìn hai cột P2 và P3 mới thấy Khoa hay thế nào.

Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.

Đội Trung Quốc xếp thứ nhất với 208 điểm

IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.

Tài liệu cho học sinh lớp 10 Chuyên toán


Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số cuốn sách hoặc bài giảng mà học sinh chuẩn bị vào học lớp 10 Chuyên toán nên có.

[1] Tài liệu giáo khoa chuyên toán, Đại số 10

[2] Tài liệu giáo khoa chuyên toán, Hình học 10

[3]  Chen Chuan-Chong và Koh Khee-Meng., Principles and Techniques in Combinatorics

[4] Hojoo Lee., Topics in Inequalities

[5] Dusan Djukic., Polynomials in One Variable

[6] David Burton., Elementary Number Theory

[7]  B.J. Venkatachala., Functional Equations

Iran Team Selection Test 2009


Ngày 1

Bài 1: Cho tam giác ABC và các điểm A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} lần lượt nằm trên BC, CA, AB sao cho tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} và tam giác ABC trùng nhau, đồng thời bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Bài 2: Cho a là một số tự nhiên cố định. Chứng minh rằng tập hợp các ước nguyên tố của 2^{2^{n}}+a với n=1,2,\dots là vô hạn.

Bài 3: Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\le\frac{3}{4}.

Ngày 2

Bài 4: Tìm tất cả các đa thức f với hệ số nguyên sao cho, với mọi số nguyên tố p và các số tự nhiên u, v thỏa mãn điều kiện p|uv-1, ta luôn có p|f(u)f(v)-1.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AA^{\prime}, BB^{\prime} và CC^{\prime} là ba đường cao. Gọi P là chân đường vuông góc hạ từ C^{\prime} xuống A^{\prime}B^{\prime}, và Q là một điểm trên A^{\prime}B^{\prime} sao cho QA=QB. Chứng minh rằng:
\angle PBQ=\angle PAQ=\angle PC^{\prime}C

Bài 6: Cho một đường đi khép kín trên các đỉnh của một lưới hình vuông n \times n đi qua mỗi đỉnh đúng một lần. Chứng minh rằng tồn tại hai đỉnh kề nhau sao cho nếu ta cắt đường đi tại hai điểm này thì độ dài của mỗi phần nhận được không nhỏ hơn một phần tư tổng chiều dài đường đi.

Continue reading “Iran Team Selection Test 2009” →