A Proof of Brill’s Theorem via Directional Derivatives

Let $K$ be the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Given a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ . The directional derivative operator with respect to the vector $v$ , denoted by $D_v$ , is a map from the ring $K[x_1, \ldots, x_n]$ to itself, defined by

$\displaystyle D_v(P) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i},$

where $\frac{\partial P}{\partial x_i}$ is the formal partial derivative of the polynomial $P$ with respect to the variable $x_i$ .

Theorem 1. Let $P, Q \in K[x_1, \ldots, x_n]$ , constants $a, b \in K$ , and a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ . The operator $D_v$ has the following properties.

(1) $D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q)$ .

(2) $D_v(PQ) = D_v(P)Q + P D_v(Q)$ .

(3) For any positive integer $k$ , $D_v(P^k) = k P^{k-1} D_v(P)$ .

(4) $D_v(L) = L(v)$ .

Proof. (1) By the definition of the partial derivative of a polynomial, we have

$\displaystyle \frac{\partial (aP + bQ)}{\partial x_i} = a\frac{\partial P}{\partial x_i} + b\frac{\partial Q}{\partial x_i},$

thus we immediately obtain $\displaystyle D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q).$

(2) Since the formal partial derivative obeys the product rule

$\displaystyle \frac{\partial (PQ)}{\partial x_i} = \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i}$ we have

$\displaystyle D_v(PQ) = \sum_{i=1}^n v_i \left( \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i} \right)$

$\displaystyle = \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i} \right) Q + P \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial Q}{\partial x_i} \right) = D_v(P)Q + P D_v(Q).$

(3) We prove this by mathematical induction on $k$ .

For $k=1$ , the formula becomes $D_v(P^1) = 1 \cdot P^0 \cdot D_v(P)$ , which is trivially true.

Suppose the property holds for $k-1$ , that is

$\displaystyle D_v(P^{k-1}) = (k-1)P^{k-2}D_v(P).$

Applying (2), we obtain

$\displaystyle D_v(P^k) = D_v(P)P^{k-1} + P D_v(P^{k-1})$

$=D_v(P)P^{k-1} + P \big( (k-1)P^{k-2}D_v(P) \big)=k P^{k-1} D_v(P).$

By the principle of mathematical induction, the property holds for all positive integers $k$ .

(4) For a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ , we have

$\displaystyle D_v(L) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^n v_i c_i = L(v).$

The theorem is completely proved. $\Box$

Theorem 2 (Brill). Suppose $K$ is the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Let $L_1, L_2, \ldots, L_m$ be $m$ non-zero linear forms in $n$ $(n>1)$ variables that are pairwise non-proportional over $K$ . Then, for any integer $k \ge m-1$ , the set of powers $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent over $K$ .

Proof. We prove the theorem by mathematical induction on the number of linear forms $m$ . For $m=1$ , we have 1 non-zero linear form $L_1$ . For any integer $k \ge 0$ , the polynomial $L_1^k$ is not the zero polynomial, so the set consisting of only one element $\{L_1^k\}$ is trivially linearly independent. Thus, the assertion holds for $m=1$ .

Now suppose the assertion holds for $m-1$ linear forms, for some integer $m > 1$ . Consider $m$ non-zero pairwise non-proportional linear forms $L_1, \ldots, L_m$ and an exponent $k \ge m-1$ .

Consider the linear relation

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i L_i^k = 0$ (1)

where $c_i \in K$ . We need to show that $c_i = 0$ for all $i = 1, \ldots, m$ .

Since $L_m$ is not identically $0$ , the set of points $x \in K^n$ such that $L_m(x) = 0$ is an $(n-1)$ -dimensional vector subspace of the space $K^n$ . At the same time, since $L_i$ is not proportional to $L_m$ for all $i < m$ , the intersection of the two spaces $L_i(x) = 0$ and $L_m(x) = 0$ is an $(n-2)$ -dimensional subspace.

The field $K$ has characteristic $0$ and is therefore an infinite field. A vector space over an infinite field cannot be the union of finitely many proper subspaces (see [1]). Therefore, there exists a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ such that $L_m(v) = 0$ and $\displaystyle L_i(v) \neq 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$

Consider the directional derivative operator with respect to the vector $v$ defined as follows

$\displaystyle D_v = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial}{\partial x_j}.$

When applying $D_v$ to a linear form $\displaystyle L(x) = a_1x_1 + \ldots + a_nx_n,$

we have $\displaystyle D_v(L) = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = L(v).$

When applying this operator to the $k$ -th power of $L$ , we obtain

$\displaystyle D_v(L^k) = k \cdot L^{k-1} \cdot D_v(L) = k \cdot L(v) \cdot L^{k-1}.$

Applying the operator $D_v$ to both sides of equation (1), we have

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i k L_i(v) L_i^{k-1} = 0.$

Since $L_m(v) = 0$ , the $m$ -th term vanishes completely. Since $m \ge 2$ , we have $k \ge m-1 \ge 1$ , so we can divide both sides by $k$ (which is valid since $K$ has characteristic $0$ ) to obtain

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1} \big(c_i L_i(v)\big) L_i^{k-1} = 0.$

Since $k \ge m-1$ , we deduce that $k-1 \ge m-2$ . Applying the inductive hypothesis to $m-1$ linear forms with the exponent $k-1$ , the set of polynomials $\{L_1^{k-1}, \ldots, L_{m-1}^{k-1}\}$ is linearly independent. Therefore, all coefficients in the sum above must be zero. That is,

$\displaystyle c_i L_i(v) = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ But by the choice of the vector $v$ , we already have $L_i(v) \neq 0$ , so we must have $\displaystyle c_i = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ Substituting $c_1 = \ldots = c_{m-1} = 0$ back into (1), we have $c_m L_m^k = 0$ . Since $L_m$ is not zero, $c_m = 0$ .

Thus $c_1 = c_2 = \ldots = c_m = 0$ , and $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent. By the principle of mathematical induction, the theorem is proved. $\Box$

References

[1] https://nttuan.org/2010/02/04/finite-unions-of-proper-subspaces-over-an-infinite-field/

IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) = p$

và $\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) = q$ .

Formal power series

Định nghĩa 1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là một biểu diễn có dạng

$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots,$

hay gọn hơn $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k.$ Trong đó $(a_n)_{n\geq 0}$ là một dãy các số phức. Các $a_i$ được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức, $a_0$ được gọi là hệ số tự do của chuỗi lũy thừa hình thức.

Từ “hình thức” trong định nghĩa trên có nghĩa là ta không bận tâm đến việc cho $x$ các giá trị đặc biệt, ta cũng không quan tâm đến tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số thuộc một tập hợp $A$ được ký hiệu bởi $A[[x]]$ . Với một chuỗi lũy thừa hình thức $a(x)$ , ta ký hiệu hệ số của $x^n$ trong chuỗi này bởi $[x^n]a(x)$ .

Nếu $a_i=0$ với mọi $i>m$ thì để cho gọn, chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ sẽ được viết là

$a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m.$

Chuỗi lũy thừa hình thức với tất cả các hệ số bằng $0$ được gọi là chuỗi không, ký hiệu là $0$ . Tổng và tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ và $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$

và

$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n.$

Với hai phép toán này thì $\mathbb{C}[[x]]$ là một vành giao hoán có đơn vị là chuỗi đơn vị $1+0x^1+0x^2+0x^3+\ldots,$ ký hiệu là $1$ .

Tương tự như với các số phức, ta có kết quả sau:

Định lý 1. Nếu $a$ và $b$ là các phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , thì chuỗi tích $ab$ cũng khác chuỗi không.

Chứng minh. Gọi $m$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $[x^m]a\not=0$ , và $n$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $[x^n]b\not=0$ . Khi đó

$[x^{m+n}](ab)=([x^m]a)([x^n]b)\not=0,$

suy ra $ab$ khác chuỗi không. $\Box$

Khác với phép nhân trong tập các số phức, không phải mọi chuỗi khác không đều có nghịch đảo. Chẳng hạn, khi $a(x)=0+x+0x^2+0x^3+\ldots,$ (chuỗi này thường được viết là $a(x)=x$ ) thì $a(x)\not=0$ nhưng không có chuỗi $b(x)$ để $a(x)b(x)=1$ .

Định lý 2. Chuỗi $a(x)$ có nghịch đảo khi và chỉ khi $[x^0]a(x)\not=0$ .

Chứng minh. Giả sử chuỗi $a(x)$ có nghịch đảo, và $b(x)$ là nghịch đảo của nó. Khi đó

$1=[x^0](ab)=([x^0]a)([x^0]b),$

suy ra $[x^0]a(x)\not=0$ .

Bây giờ giả sử $\displaystyle a(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ là một chuỗi lũy thừa hình thức có $a_0=[x^0]a(x)\not=0$ . Chuỗi lũy thừa hình thức $\displaystyle b(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$ là nghịch đảo của $a(x)$ khi và chỉ khi $a_0b_0=1$ và

$\displaystyle\sum _{k=0}^na_kb_{n-k}=0,\quad\forall n\geq 1.$

Từ hệ này ta có thể xác định $b(x)$ bởi $b_0=1/a_0$ và

$\displaystyle b_n=-\frac{1}{a_0}\sum _{k=1}^na_kb_{n-k},\quad\forall n\geq 1.$ $\Box$

Khi $a$ là một chuỗi có nghịch đảo thì ta ký hiệu chuỗi nghịch đảo của nó bởi $a^{-1}$ . Tích của chuỗi $b$ và chuỗi $a^{-1}$ thường được viết là $\frac{b}{a}$ .

Ví dụ. Chuỗi lũy thừa hình thức $1-x$ có nghịch đảo là chuỗi

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$

Định nghĩa 2. Dãy các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức $\{S_n(x)\}_{n\geq 1}$ được gọi là hội tụ đến chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức $S(x)$ , ký hiệu $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x)$ , nếu với mỗi $n\geq 0$ có số nguyên dương $N$ sao cho $[x^n]S_i(x)=[x^n]S(x)$ mỗi khi $i\geq N$ . Trong trường hợp này ta nói $\{S_n(x)\}_{n\geq 1}$ là một dãy hội tụ.

Khi $\displaystyle A(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ là một phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , ta gọi bậc của $A(x)$ , ký hiệu $\deg A(x)$ , là số $n$ nhỏ nhất sao cho $a_n\not=0$ . Dễ thấy nếu $B(x)$ và $C(x)$ là các phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ thì $B(x)C(x)$ cũng là một phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , và

$\deg B(x)C(x)=\deg B(x)+\deg C(x).$

Ta quy ước $\deg 0=\infty$ . Sử dụng bậc của một chuỗi lũy thừa hình thức ta có một định nghĩa khác của tính hội tụ của dãy các chuỗi lũy thừa hình thức.

Continue reading →

VMO 2025/1

VMO 2025/1. Xét đa thức $P(x)=x^4-x^3+x$ .
(1) Chứng minh rằng với mỗi số thực dương $a$ , đa thức $P(x)-a$ có duy nhất một nghiệm thực dương.
(2) Xét dãy số $(a_n)_{n\geq 1}$ xác định bởi $a_1=1/3$ và với mỗi số nguyên dương $n$ , $a_{n+1}$ là nghiệm dương của đa thức $P(x)-a_n$ . Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải. Xét một số thực dương $a$ và hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ xác định bởi $f(x)=P(x)-a,\quad\forall x\in\mathbb{R}.$ Hàm số $f$ là một hàm số liên tục trên $(0;+\infty)$ và

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-a<0,\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,$

từ đây theo định lý giá trị trung gian, phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thực dương. Mặt khác, hàm số $f$ đồng biến trên $(0;+\infty)$ vì

$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-3x^2+1=(2x-1)^2\left(x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}>0$

với mọi số thực dương $x$ , suy ra phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm thực dương. Do đó phương trình $P(x)-a=0$ có đúng một nghiệm thực dương. Nghiệm này là nghiệm đơn của đa thức $P(x)-a$ nên ta có ý thứ nhất.

Bây giờ ta đến với ý thứ hai. Từ giả thiết ta có

$a_n-1=(a_{n+1}-1)(a_{n+1}^3+1),\quad\forall n\geq 1,$

sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh được tất cả các số hạng của dãy $(a_n)_{n\geq 1}$ đều thuộc khoảng $(0;1)$ . Suy ra

$a_{n+1}-a_n=a_{n+1}^3(1-a_{n+1})>0,\quad\forall n\geq 1,$

do đó $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số tăng. Dãy số này cũng bị chặn trên bởi $1$ nên nó có giới hạn hữu hạn. Gọi $L$ là giới hạn của dãy số $(a_n)_{n\geq 1}$ . Vì $(a_n)_{n\geq 1}$ tăng và các số hạng đều thuộc khoảng $(0;1)$ , nên $0<L\leq 1$ .

Từ $P(a_{n+1})=a_n$ với mọi số nguyên dương $n$ , ta có $L^4-L^3+L=L,$ suy ra $\lim a_n=L=1$ . $\Box$

IMO Shortlist 2022: Number theory

N1. Một số nguyên dương được gọi là số Na Uy nếu nó có ba ước dương phân biệt có tổng bằng $2022$ . Xác định số Na Uy nhỏ nhất.

N2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>2$ sao cho

$\displaystyle n! \mid \prod_{ p<q\le n,\quad p,q\in\mathbb{P}} (p+q).$

N3. Cho $a > 1$ là một số nguyên dương và $d > 1$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $a$ . Đặt $x_1=1$ và với $k\geq 1$ , $x_{k+1} = x_k + d$ nếu không chia hết $x_k$ , $=x_k/a$ nếu $a$ chia hết $x_k$ . Tìm, theo $a$ và $d$ , số nguyên dương $n$ lớn nhất mà tồn tại chỉ số $k$ sao cho $x_k$ chia hết cho $a^n$ .

N4. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố và $a^p=b!+p.$

(IMO2022/5)

N5. Đối với mỗi $i\in [9]$ và $T\in\mathbb{N}^*$ , ký hiệu $d_i(T)$ là số lần chữ số $i$ xuất hiện khi tất cả các bội của $1829$ trong $[T]$ được viết ra theo cơ số $10$ . Chứng minh rằng có vô số $T\in\mathbb{N}^*$ sao cho có đúng hai giá trị phân biệt trong các số $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

N6. Cho $Q$ là một tập hợp không nhất thiết hữu hạn các số nguyên tố. Đối với một số nguyên dương $n$ , xét phân tích ra thừa số nguyên tố của nó: gọi $p(n)$ là tổng của tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng của các số mũ tương ứng với các số nguyên tố trong $Q$ . Số nguyên dương $n$ được gọi là đặc biệt nếu $p(n)+p(n+1)$ và $q(n)+q(n+1)$ đều là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ không phụ thuộc $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N>100$ , số các số nguyên đặc biệt trong $[N]$ ít nhất là $cN$ .

N7. Gọi $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và đối xứng) để đặt các phần tử của $S$ xung quanh một đường tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$ .