IMO 2026

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 67 năm 2026 vừa khép lại tại Thượng Hải, Trung Quốc. Lần thứ hai đăng cai tổ chức (kể từ năm 1990), nước chủ nhà đã mang đến một sân chơi quy mô và chuyên nghiệp tại Trung tâm Triển lãm và Hội nghị Quốc tế West Bund từ ngày 10/07 đến 21/07. Với sự tham gia của 666 thí sinh đến từ 117 quốc gia và vùng lãnh thổ, IMO 2026 tiếp tục khẳng định sức hút mãnh liệt của vẻ đẹp trí tuệ.

Phổ điểm và những kỷ lục tuyệt đối

Năm nay, mức điểm chuẩn để xét huy chương phản ánh đúng độ khó của cấu trúc đề thi, cụ thể như sau:

Huy chương Vàng: ≥ 29 điểm (55 giải)
Huy chương Bạc: ≥ 23 điểm (105 giải)
Huy chương Đồng: ≥ 16 điểm (189 giải)

Đáng chú ý, kỳ thi ghi nhận 7 thí sinh xuất sắc đạt điểm tuyệt đối 42/42 (giải trọn vẹn cả 6 bài toán). Đó là những cái tên vô cùng ấn tượng: Leyan Deng, Che Liu, Bolun Zhang (Trung Quốc); Hyeonjun Lee (Hàn Quốc); Alex Chui (Vương quốc Anh); Liam Reddy và Alexander Wang (Mỹ).

Niềm tự hào mang tên Việt Nam

Ghi dấu ấn mạnh mẽ nhất với cá nhân tôi chính là thành tích của đội tuyển Việt Nam. Dưới sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Chu Gia Vượng và thầy Lê Bá Khánh Trình, toàn bộ 6/6 em học sinh đều xuất sắc giành huy chương.

Với tổng điểm 168, đoàn Việt Nam đã vươn lên vị trí thứ 5 toàn đoàn (tăng 4 bậc so với năm 2025), chỉ xếp sau các cường quốc Toán học là Trung Quốc, Mỹ, Nga và Singapore.

Bảng vàng thành tích cụ thể của các em:

🥇 Huy chương Vàng:

Nguyễn Đình Tùng – Lớp 12, THPT chuyên KHTN (ĐHQG Hà Nội)
Nguyễn Lê Nhật Nam – Lớp 12, THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

🥈 Huy chương Bạc:

Phạm Đăng Nguyên – Lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Trần Đại Thành Danh – Lớp 12, Phổ thông Năng khiếu (ĐHQG TP.HCM)
Nguyễn Hoàng Phương – Lớp 11, THPT chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An)

🥉 Huy chương Đồng:

Hà Mạnh Hùng – Lớp 11, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Kỳ thi IMO 2026 đã khép lại, nhưng ngọn lửa đam mê Toán học thì vẫn sẽ luôn cháy sáng. Chúc các em học sinh sẽ tiếp tục giữ vững tình yêu với Toán và gặt hái thêm nhiều thành công trên chặng đường phía trước. Kỳ IMO 2027 tới đây sẽ diễn ra tại Budapest, Hungary – cái nôi của nhiều nhà Toán học kiệt xuất. Chúng ta hoàn toàn có quyền kỳ vọng vào những bước tiến xa hơn nữa!

Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết chia sẻ chuyên sâu hơn về các bài toán trong đề thi năm nay.

IMO-2026-problems-vie Download

USAMO 2009, Problem 6: A Collection of 7 Solutions

Trong bài này chúng tôi giới thiệu nhiều lời giải cho bài toán sau:

USAMO 2009/6. Cho $(s_n)_{n\geq 1}$ là một dãy không hằng các số hữu tỉ. Giả sử $(t_n)_{n\geq 1}$ cũng là một dãy không hằng các số hữu tỉ thỏa mãn tính chất $(s_i - s_j)(t_i - t_j)$ là một số nguyên với mọi $i$ và $j$ . Chứng minh rằng tồn tại một số hữu tỉ $r$ khác $0$ sao cho $(s_i - s_j)r$ và $(t_i - t_j)/r$ là các số nguyên với mọi $i$ và $j$ .

usa2009p6 Download

IMO 2025 Shortlisted Problems: Geometry

IMO2025SLGeometry Download

A Proof of Brill’s Theorem via Directional Derivatives

Let $K$ be the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Given a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ . The directional derivative operator with respect to the vector $v$ , denoted by $D_v$ , is a map from the ring $K[x_1, \ldots, x_n]$ to itself, defined by

$\displaystyle D_v(P) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i},$

where $\frac{\partial P}{\partial x_i}$ is the formal partial derivative of the polynomial $P$ with respect to the variable $x_i$ .

Theorem 1. Let $P, Q \in K[x_1, \ldots, x_n]$ , constants $a, b \in K$ , and a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ . The operator $D_v$ has the following properties.

(1) $D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q)$ .

(2) $D_v(PQ) = D_v(P)Q + P D_v(Q)$ .

(3) For any positive integer $k$ , $D_v(P^k) = k P^{k-1} D_v(P)$ .

(4) $D_v(L) = L(v)$ .

Proof. (1) By the definition of the partial derivative of a polynomial, we have

$\displaystyle \frac{\partial (aP + bQ)}{\partial x_i} = a\frac{\partial P}{\partial x_i} + b\frac{\partial Q}{\partial x_i},$

thus we immediately obtain $\displaystyle D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q).$

(2) Since the formal partial derivative obeys the product rule

$\displaystyle \frac{\partial (PQ)}{\partial x_i} = \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i}$ we have

$\displaystyle D_v(PQ) = \sum_{i=1}^n v_i \left( \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i} \right)$

$\displaystyle = \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i} \right) Q + P \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial Q}{\partial x_i} \right) = D_v(P)Q + P D_v(Q).$

(3) We prove this by mathematical induction on $k$ .

For $k=1$ , the formula becomes $D_v(P^1) = 1 \cdot P^0 \cdot D_v(P)$ , which is trivially true.

Suppose the property holds for $k-1$ , that is

$\displaystyle D_v(P^{k-1}) = (k-1)P^{k-2}D_v(P).$

Applying (2), we obtain

$\displaystyle D_v(P^k) = D_v(P)P^{k-1} + P D_v(P^{k-1})$

$=D_v(P)P^{k-1} + P \big( (k-1)P^{k-2}D_v(P) \big)=k P^{k-1} D_v(P).$

By the principle of mathematical induction, the property holds for all positive integers $k$ .

(4) For a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ , we have

$\displaystyle D_v(L) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^n v_i c_i = L(v).$

The theorem is completely proved. $\Box$

Theorem 2 (Brill). Suppose $K$ is the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Let $L_1, L_2, \ldots, L_m$ be $m$ non-zero linear forms in $n$ $(n>1)$ variables that are pairwise non-proportional over $K$ . Then, for any integer $k \ge m-1$ , the set of powers $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent over $K$ .

Proof. We prove the theorem by mathematical induction on the number of linear forms $m$ . For $m=1$ , we have 1 non-zero linear form $L_1$ . For any integer $k \ge 0$ , the polynomial $L_1^k$ is not the zero polynomial, so the set consisting of only one element $\{L_1^k\}$ is trivially linearly independent. Thus, the assertion holds for $m=1$ .

Now suppose the assertion holds for $m-1$ linear forms, for some integer $m > 1$ . Consider $m$ non-zero pairwise non-proportional linear forms $L_1, \ldots, L_m$ and an exponent $k \ge m-1$ .

Consider the linear relation

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i L_i^k = 0$ (1)

where $c_i \in K$ . We need to show that $c_i = 0$ for all $i = 1, \ldots, m$ .

Since $L_m$ is not identically $0$ , the set of points $x \in K^n$ such that $L_m(x) = 0$ is an $(n-1)$ -dimensional vector subspace of the space $K^n$ . At the same time, since $L_i$ is not proportional to $L_m$ for all $i < m$ , the intersection of the two spaces $L_i(x) = 0$ and $L_m(x) = 0$ is an $(n-2)$ -dimensional subspace.

The field $K$ has characteristic $0$ and is therefore an infinite field. A vector space over an infinite field cannot be the union of finitely many proper subspaces (see [1]). Therefore, there exists a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ such that $L_m(v) = 0$ and $\displaystyle L_i(v) \neq 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$

Consider the directional derivative operator with respect to the vector $v$ defined as follows

$\displaystyle D_v = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial}{\partial x_j}.$

When applying $D_v$ to a linear form $\displaystyle L(x) = a_1x_1 + \ldots + a_nx_n,$

we have $\displaystyle D_v(L) = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = L(v).$

When applying this operator to the $k$ -th power of $L$ , we obtain

$\displaystyle D_v(L^k) = k \cdot L^{k-1} \cdot D_v(L) = k \cdot L(v) \cdot L^{k-1}.$

Applying the operator $D_v$ to both sides of equation (1), we have

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i k L_i(v) L_i^{k-1} = 0.$

Since $L_m(v) = 0$ , the $m$ -th term vanishes completely. Since $m \ge 2$ , we have $k \ge m-1 \ge 1$ , so we can divide both sides by $k$ (which is valid since $K$ has characteristic $0$ ) to obtain

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1} \big(c_i L_i(v)\big) L_i^{k-1} = 0.$

Since $k \ge m-1$ , we deduce that $k-1 \ge m-2$ . Applying the inductive hypothesis to $m-1$ linear forms with the exponent $k-1$ , the set of polynomials $\{L_1^{k-1}, \ldots, L_{m-1}^{k-1}\}$ is linearly independent. Therefore, all coefficients in the sum above must be zero. That is,

$\displaystyle c_i L_i(v) = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ But by the choice of the vector $v$ , we already have $L_i(v) \neq 0$ , so we must have $\displaystyle c_i = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ Substituting $c_1 = \ldots = c_{m-1} = 0$ back into (1), we have $c_m L_m^k = 0$ . Since $L_m$ is not zero, $c_m = 0$ .

Thus $c_1 = c_2 = \ldots = c_m = 0$ , and $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent. By the principle of mathematical induction, the theorem is proved. $\Box$

References

[1] https://nttuan.org/2010/02/04/finite-unions-of-proper-subspaces-over-an-infinite-field/

Vietnam Team Selection Test 2026

Day 1 (March 26, 2025)

Time allowed: 270 minutes

Problem 1. For a positive integer $k$ , a set $S$ of positive integers is called a $k$ -Olympic set if it satisfies the following conditions simultaneously:
(i) $S \neq \emptyset$ .
(ii) For every $n \in S$ , all positive divisors of $(25^n - 3^n)k^n$ also belong to $S$ .
Find all positive integers $k$ such that there is exactly one such $k$ -Olympic set.

Problem 2. Let $n$ be a positive integer, and in a country, there are $8n+3$ airports. Between any two airports, there is either a direct flight or not. Given that if there is no direct flight between two airports, the difference in the number of direct flights from these two airports is exactly 2. Determine the minimum possible total number of direct flights.

Problem 3. Let $ABC$ be an acute non-isosceles triangle with altitudes $AD, BE, CF$ . From vertex $A$ , drop perpendiculars to the lines $EF, FD, DE$ , denoted as $X, Y, Z$ respectively. Let the line $BZ$ intersect the circumcircle of triangle $BDY$ again at $P$ , and let the line $CY$ intersect the circumcircle of triangle $CDZ$ again at $Q$ . Prove that point $X$ has the same power with respect to the two circles $(YFP)$ and $(ZEQ)$ .

Day 2 (March 27, 2026)

Time allowed: 270 minutes

Problem 4. Let $ABC$ be a triangle with $O$ being the midpoint of $BC$ . Draw the tangents $AE, AF$ to the circle $(O)$ with diameter $BC$ , where $E, F \in (O)$ . The rays $AE, AF$ intersect $BC$ at points $K, L$ , respectively. Let $KF, LE$ intersect $(O)$ again at points $M, N$ , respectively. The circumcircle of triangle $MON$ intersects the circles with diameters $AB, AC$ again at points $X, Y$ , respectively. Prove that $\angle XAB = \angle YAC$ .

Problem 5. Given positive integers $k, n$ such that $k < n$ . Find all polynomials $P(x)$ with real coefficients of degree $kn$ and leading coefficient $1$ , such that the polynomial

$Q(x) = P(x^{n+1}) - P(x)^n$ has degree at most $kn(n-1)$ .

Problem 6. Let $\mathcal{H}$ be a family of subsets of the set ${1, 2, 3, \ldots, 2027}$ with the following property: for any set $A \in \mathcal{H}$ and any subset $B \subset A$ , we have $B \in \mathcal{H}$ . Let $l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}$ be the number of subsets in $\mathcal{H}$ that have an even number of elements and an odd number of elements, respectively. Prove that $l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le C^{1013}_{2026}$ .