Tag: IMO

Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc


Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle ABCDE là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm \displaystyle O và có \displaystyle AB=AE=CD. Gọi \displaystyle I là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle J là trung điểm của \displaystyle DE, \displaystyle F là trực tâm của tam giác \displaystyle ABE, và \displaystyle G là trọng tâm của tam giác \displaystyle AIJ. \displaystyle CE cắt \displaystyle BD tại \displaystyle H, \displaystyle OG cắt \displaystyle FH tại \displaystyle M. Chứng minh \displaystyle AM\perp CD.
Bài 2. Cho số nguyên \displaystyle n\geq 3. Liệu có vô hạn tập \displaystyle S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace gồm các số nguyên dương sao cho \displaystyle (a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1, \displaystyle \lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n và \displaystyle \lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n là các cấp số cộng, đồng thời \displaystyle \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương \displaystyle n sao cho có \displaystyle n điểm \displaystyle P_1,P_2,\ldots,P_n trên đường tròn đơn vị để \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) \displaystyle k=2018.
b) \displaystyle k=2019.
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương \displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1} được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương \displaystyle m,n khác nhau ta có \displaystyle (m,n) \mid a_m^2 + a_n^2 và \displaystyle (a_m,a_n) \mid m^2 + n^2. Số nguyên dương \displaystyle a được gọi là \displaystyle k-tốt nếu tồn tại dãy tốt \displaystyle \{a_n\} sao cho \displaystyle a_k = a. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle k sao cho có đúng \displaystyle 2019 số nguyên dương \displaystyle k-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sao cho \displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.
Bài 6. Cho số thực dương \displaystyle k. Hai người \displaystyle A và \displaystyle B chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có \displaystyle 80 số \displaystyle 0 đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, \displaystyle A tăng một vài số trong \displaystyle 80 số sao cho tổng các số mới tăng \displaystyle 1. Sau đó, \displaystyle B chọn \displaystyle 10 số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống \displaystyle 0. \displaystyle A thắng nếu sau hữu hạn bước \displaystyle A thu được ít nhất một số không bé hơn \displaystyle k. Tìm tất cả \displaystyle k để \displaystyle A có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. \displaystyle AB và \displaystyle AC là các tiếp tuyến của một đường \displaystyle \omega với tâm \displaystyle O tại \displaystyle B,C. Điểm \displaystyle P di động trên cung nhỏ \displaystyle BC của đường tròn. Tiếp tuyến tại \displaystyle P của \displaystyle \omega cắt \displaystyle AB,AC lần lượt tại \displaystyle D,E. \displaystyle AO cắt \displaystyle BP,CP lần lượt tại \displaystyle U,V. Đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AB cắt \displaystyle DV tại \displaystyle M, đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AC cắt \displaystyle EU tại \displaystyle N. Chứng minh \displaystyle MN đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các bộ \displaystyle 10 số tự nhiên có tổng bằng \displaystyle 2019. Với mỗi phần tử của \displaystyle S, nếu một thành phần của nó không bé hơn \displaystyle 9, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi \displaystyle 9 và cộng các thành phần còn lại thêm \displaystyle 1. Với mỗi \displaystyle A,B\in S, ký hiệu \displaystyle A\rightarrow B nếu ta có thể thu được \displaystyle B từ \displaystyle A sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên \displaystyle k bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong \displaystyle A,B\in S không bé hơn \displaystyle k, thì \displaystyle A\rightarrow B kéo theo \displaystyle B\rightarrow A.
(2) Với số \displaystyle k tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của \displaystyle S sao cho với mỗi \displaystyle A,B khác nhau được chọn, \displaystyle A\not\rightarrow B?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn \displaystyle n. Xét các số thực không âm \displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n có tổng bằng \displaystyle 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập \displaystyle A và \displaystyle B các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: \displaystyle A là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, \displaystyle B là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập \displaystyle A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\} nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n nguyên tố cùng nhau, có \displaystyle x\in A+B để \displaystyle x\equiv n \pmod m?
Bài 5. Cho \displaystyle M là trung điểm của cạnh \displaystyle BC của tam giác \displaystyle ABC. Đường tròn đường kính \displaystyle BC, ký hiệu \displaystyle \omega, cắt \displaystyle AB,AC lần hai tại \displaystyle D,E tương ứng. \displaystyle P nằm trong tam giác \displaystyle ABC sao cho \displaystyle \angle PBA=\angle PAC, \displaystyle \angle PCA=\angle PAB và \displaystyle 2PM\cdot DE=BC^2. Điểm X nằm ngoài \displaystyle \omega sao cho \displaystyle XM\parallel AP và \displaystyle \displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}. Chứng minh rằng \displaystyle \angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \displaystyle p,q>1, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng \displaystyle px+qy (\displaystyle x,y\in\mathbb{N}) là xấu, và ký hiệu \displaystyle S(p,q) là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của \displaystyle 2019. Chứng minh tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle (p-1)(q-1) chia hết \displaystyle nS(p,q) với mọi \displaystyle p,q.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức \displaystyle x,y,z thỏa mãn \displaystyle |x|^2+|y|^2+|z|^2=1. Chứng minh rằng \displaystyle |x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.
Bài 2. Cho \displaystyle S là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \displaystyle n \in S khi và chỉ khi \displaystyle \displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n=2^k \cdot p (k\in\mathbb{N}, \displaystyle p là số nguyên tố lẻ) sao cho \displaystyle \displaystyle \sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc”

IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!

Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

IMO 2019 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2019. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

P. S. Năm nay chuẩn bị 28 bài, cuối cùng dùng có 7. Nhưng tôi vẫn cứ chia sẻ các bác nhé!

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle m. Chứng minh rằng \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.
Bài 2. Cho số nguyên tố lẻ \displaystyle p. Chứng minh rằng nếu \displaystyle g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)} là các căn nguyên thủy \displaystyle\pmod{p} thì \displaystyle \sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.
Bài 3. Cho dãy số \displaystyle(a_n) thỏa mãn \displaystyle \sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle n|a_n. Continue reading “IMO 2019 training (1)”

IMO 2018 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2018. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{2^{2018}} là các số nguyên dương không lớn hơn \displaystyle 2018 sao cho với mỗi \displaystyle n \leq 2^{2018}, \displaystyle a_1a_2 \dots a_{n} +1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại \displaystyle i sao cho \displaystyle a_i=1.
Bài 2. Cho \displaystyle (a_n)_{n\geq 1} là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn
\displaystyle a_{n+1}=[\sqrt{a_n}]+[\sqrt[3]{a_n}]+\cdots+[\sqrt[n+1]{a_n}],\quad \forall n\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố \displaystyle p, có vô hạn các số hạng của dãy chia hết cho \displaystyle p.
Bài 3. Cho số nguyên \displaystyle k>1. Dãy số \displaystyle a_1,a_2, \cdots xác định bởi \displaystyle a_1=1, a_2=k và \displaystyle a_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0,\,\forall n>1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle a_n là một lũy thừa của \displaystyle k.
Bài 4. Hai dãy số \displaystyle \{u_{n}\}, \displaystyle \{v_{n}\} xác định bởi \displaystyle u_{0} =u_{1} =1 ,\displaystyle u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} \displaystyle (n\geq 2), \displaystyle v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,\displaystyle v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} \displaystyle (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương \displaystyle N sao cho với mỗi \displaystyle n> N ta có \displaystyle u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng \displaystyle 3a=2b+c.
Bài 5. Với mỗi số thực \displaystyle x, gọi \displaystyle M(x) là tập tất cả các số nguyên dương \displaystyle q thỏa mãn: tồn tại số nguyên \displaystyle p sao cho \displaystyle \left|x - \dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{10q}. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha và \displaystyle \beta thỏa mãn \displaystyle M(\alpha)=M(\beta) thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên.
Bài 6. Cho \displaystyle M là một tập con của \displaystyle \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a) Với mọi \displaystyle x \in M, n \in \mathbb{Z}, ta có \displaystyle x+n \in M.
b) Với mọi \displaystyle x \in M, ta có \displaystyle -x \in M.
c) \displaystyle M và \displaystyle \mathbb{R}\setminus M chứa một đoạn có độ dài lớn hơn \displaystyle 0.
Với mỗi \displaystyle x, đặt \displaystyle M(x) = \{ n \in \mathbb{Z}^{+} | nx \in M \}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle \alpha,\beta là các số vô tỷ thỏa mãn \displaystyle M(\alpha) = M(\beta) thì \displaystyle \alpha + \beta hoặc \displaystyle \alpha - \beta là số hữu tỷ. Continue reading “IMO 2018 training (1)”

Định lí Dirichlet về các số nguyên tố nằm trong một cấp số cộng


Đây là bản pdf của bài  “Selberg, Atle (1949), An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression,  Annals of Mathematics, 50 (2): 297–304″.

Download

Các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các trường hợp đặc biệt ở đây.

IMO 2014 Shortlist – Number theory


Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n \ge 2, và tập \displaystyle A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}. Xác định số nguyên dương lớn nhất không thể viết thành tổng của một hoặc một vài phần tử (không nhất thiết phân biệt) của \displaystyle A_n.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle \sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ngân hàng phát hành các đồng xu với mệnh giá \displaystyle \frac{1}{n}. Cho một họ hữu hạn các đồng xu như vậy (không nhất thiết các đồng xu có mệnh giá khác nhau) sao cho tổng các mệnh giá của các đồng xu không vượt quá \displaystyle 99+\frac{1}{2}. Chứng minh rằng có thể chia họ này thành không quá \displaystyle 100 nhóm, sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá \displaystyle 1.
Bài 4. Cho số nguyên \displaystyle n > 1 và dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} xác định bởi \displaystyle a_k=\left[\frac{n^k}{k}\right],\,\,\forall k\geq 1. Chứng minh rằng dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} chứa vô hạn số hạng lẻ.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố \displaystyle p và các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle x^{p -1} + y và \displaystyle x + y^ {p -1} đều là các lũy thừa của \displaystyle p.
Bài 6. Cho \displaystyle a_1 < a_2 < \cdots <a_n là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle a_1 là số nguyên tố và \displaystyle a_1 \ge n + 2. Trên đoạn \displaystyle I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ] của trục số, đánh dấu tất cả các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong các số \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle \ldots, \displaystyle a_n. Các điểm này chia \displaystyle I thành các đoạn nhỏ hơn. Chứng minh rằng tổng bình phương của các độ dài của các đoạn đó chia hết cho \displaystyle a_1. Continue reading “IMO 2014 Shortlist – Number theory”

IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a và \displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}} và \displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1 và \displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m và \displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha và \displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017


Bài 1. Cho các số nguyên dương a,b và c. Chứng minh rằng [a,b]\not= [a+c,b+c].
Bài 2. Cho số nguyên dương N và các số nguyên dương a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N} sao cho không có số nào là bội của 2^{N+1}. Với mỗi số nguyên n\geq N+1, xác định a_{n} như sau: Nếu dư khi chia a_{k} cho 2^{n} là bé nhất trong các dư khi chia a_{1},\cdots, a_{n-1} cho 2^{n}, thì a_{n}=2a_{k} (nếu có nhiều số k thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương M sao cho a_{n}=a_{M} với mọi n\geq M.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với tâm ngoại tiếp O. Gọi D,E và F lần lượt là chân các đường cao qua A,B và C, và M là trung điểm của BC. AD cắt EF tại X, AO cắt BC tại Y, và Z là trung điểm của XY. Chứng minh A,Z và M thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên n thỏa mãn n \geq 3. Có n người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ n, mỗi cặp trong n người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”