A Proof of Brill’s Theorem via Directional Derivatives

Let $K$ be the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Given a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ . The directional derivative operator with respect to the vector $v$ , denoted by $D_v$ , is a map from the ring $K[x_1, \ldots, x_n]$ to itself, defined by

$\displaystyle D_v(P) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i},$

where $\frac{\partial P}{\partial x_i}$ is the formal partial derivative of the polynomial $P$ with respect to the variable $x_i$ .

Theorem 1. Let $P, Q \in K[x_1, \ldots, x_n]$ , constants $a, b \in K$ , and a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ . The operator $D_v$ has the following properties.

(1) $D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q)$ .

(2) $D_v(PQ) = D_v(P)Q + P D_v(Q)$ .

(3) For any positive integer $k$ , $D_v(P^k) = k P^{k-1} D_v(P)$ .

(4) $D_v(L) = L(v)$ .

Proof. (1) By the definition of the partial derivative of a polynomial, we have

$\displaystyle \frac{\partial (aP + bQ)}{\partial x_i} = a\frac{\partial P}{\partial x_i} + b\frac{\partial Q}{\partial x_i},$

thus we immediately obtain $\displaystyle D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q).$

(2) Since the formal partial derivative obeys the product rule

$\displaystyle \frac{\partial (PQ)}{\partial x_i} = \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i}$ we have

$\displaystyle D_v(PQ) = \sum_{i=1}^n v_i \left( \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i} \right)$

$\displaystyle = \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i} \right) Q + P \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial Q}{\partial x_i} \right) = D_v(P)Q + P D_v(Q).$

(3) We prove this by mathematical induction on $k$ .

For $k=1$ , the formula becomes $D_v(P^1) = 1 \cdot P^0 \cdot D_v(P)$ , which is trivially true.

Suppose the property holds for $k-1$ , that is

$\displaystyle D_v(P^{k-1}) = (k-1)P^{k-2}D_v(P).$

Applying (2), we obtain

$\displaystyle D_v(P^k) = D_v(P)P^{k-1} + P D_v(P^{k-1})$

$=D_v(P)P^{k-1} + P \big( (k-1)P^{k-2}D_v(P) \big)=k P^{k-1} D_v(P).$

By the principle of mathematical induction, the property holds for all positive integers $k$ .

(4) For a linear form $L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n$ , we have

$\displaystyle D_v(L) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^n v_i c_i = L(v).$

The theorem is completely proved. $\Box$

Theorem 2 (Brill). Suppose $K$ is the field of real numbers $\mathbb{R}$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$ . Let $L_1, L_2, \ldots, L_m$ be $m$ non-zero linear forms in $n$ $(n>1)$ variables that are pairwise non-proportional over $K$ . Then, for any integer $k \ge m-1$ , the set of powers $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent over $K$ .

Proof. We prove the theorem by mathematical induction on the number of linear forms $m$ . For $m=1$ , we have 1 non-zero linear form $L_1$ . For any integer $k \ge 0$ , the polynomial $L_1^k$ is not the zero polynomial, so the set consisting of only one element $\{L_1^k\}$ is trivially linearly independent. Thus, the assertion holds for $m=1$ .

Now suppose the assertion holds for $m-1$ linear forms, for some integer $m > 1$ . Consider $m$ non-zero pairwise non-proportional linear forms $L_1, \ldots, L_m$ and an exponent $k \ge m-1$ .

Consider the linear relation

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i L_i^k = 0$ (1)

where $c_i \in K$ . We need to show that $c_i = 0$ for all $i = 1, \ldots, m$ .

Since $L_m$ is not identically $0$ , the set of points $x \in K^n$ such that $L_m(x) = 0$ is an $(n-1)$ -dimensional vector subspace of the space $K^n$ . At the same time, since $L_i$ is not proportional to $L_m$ for all $i < m$ , the intersection of the two spaces $L_i(x) = 0$ and $L_m(x) = 0$ is an $(n-2)$ -dimensional subspace.

The field $K$ has characteristic $0$ and is therefore an infinite field. A vector space over an infinite field cannot be the union of finitely many proper subspaces (see [1]). Therefore, there exists a vector $v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n$ such that $L_m(v) = 0$ and $\displaystyle L_i(v) \neq 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$

Consider the directional derivative operator with respect to the vector $v$ defined as follows

$\displaystyle D_v = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial}{\partial x_j}.$

When applying $D_v$ to a linear form $\displaystyle L(x) = a_1x_1 + \ldots + a_nx_n,$

we have $\displaystyle D_v(L) = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = L(v).$

When applying this operator to the $k$ -th power of $L$ , we obtain

$\displaystyle D_v(L^k) = k \cdot L^{k-1} \cdot D_v(L) = k \cdot L(v) \cdot L^{k-1}.$

Applying the operator $D_v$ to both sides of equation (1), we have

$\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i k L_i(v) L_i^{k-1} = 0.$

Since $L_m(v) = 0$ , the $m$ -th term vanishes completely. Since $m \ge 2$ , we have $k \ge m-1 \ge 1$ , so we can divide both sides by $k$ (which is valid since $K$ has characteristic $0$ ) to obtain

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1} \big(c_i L_i(v)\big) L_i^{k-1} = 0.$

Since $k \ge m-1$ , we deduce that $k-1 \ge m-2$ . Applying the inductive hypothesis to $m-1$ linear forms with the exponent $k-1$ , the set of polynomials $\{L_1^{k-1}, \ldots, L_{m-1}^{k-1}\}$ is linearly independent. Therefore, all coefficients in the sum above must be zero. That is,

$\displaystyle c_i L_i(v) = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ But by the choice of the vector $v$ , we already have $L_i(v) \neq 0$ , so we must have $\displaystyle c_i = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.$ Substituting $c_1 = \ldots = c_{m-1} = 0$ back into (1), we have $c_m L_m^k = 0$ . Since $L_m$ is not zero, $c_m = 0$ .

Thus $c_1 = c_2 = \ldots = c_m = 0$ , and $\{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\}$ is linearly independent. By the principle of mathematical induction, the theorem is proved. $\Box$

References

[1] https://nttuan.org/2010/02/04/finite-unions-of-proper-subspaces-over-an-infinite-field/

Vietnam Team Selection Test 2026

Day 1 (March 26, 2025)

Time allowed: 270 minutes

Problem 1. For a positive integer $k$ , a set $S$ of positive integers is called a $k$ -Olympic set if it satisfies the following conditions simultaneously:
(i) $S \neq \emptyset$ .
(ii) For every $n \in S$ , all positive divisors of $(25^n - 3^n)k^n$ also belong to $S$ .
Find all positive integers $k$ such that there is exactly one such $k$ -Olympic set.

Problem 2. Let $n$ be a positive integer, and in a country, there are $8n+3$ airports. Between any two airports, there is either a direct flight or not. Given that if there is no direct flight between two airports, the difference in the number of direct flights from these two airports is exactly 2. Determine the minimum possible total number of direct flights.

Problem 3. Let $ABC$ be an acute non-isosceles triangle with altitudes $AD, BE, CF$ . From vertex $A$ , drop perpendiculars to the lines $EF, FD, DE$ , denoted as $X, Y, Z$ respectively. Let the line $BZ$ intersect the circumcircle of triangle $BDY$ again at $P$ , and let the line $CY$ intersect the circumcircle of triangle $CDZ$ again at $Q$ . Prove that point $X$ has the same power with respect to the two circles $(YFP)$ and $(ZEQ)$ .

Day 2 (March 27, 2026)

Time allowed: 270 minutes

Problem 4. Let $ABC$ be a triangle with $O$ being the midpoint of $BC$ . Draw the tangents $AE, AF$ to the circle $(O)$ with diameter $BC$ , where $E, F \in (O)$ . The rays $AE, AF$ intersect $BC$ at points $K, L$ , respectively. Let $KF, LE$ intersect $(O)$ again at points $M, N$ , respectively. The circumcircle of triangle $MON$ intersects the circles with diameters $AB, AC$ again at points $X, Y$ , respectively. Prove that $\angle XAB = \angle YAC$ .

Problem 5. Given positive integers $k, n$ such that $k < n$ . Find all polynomials $P(x)$ with real coefficients of degree $kn$ and leading coefficient $1$ , such that the polynomial

$Q(x) = P(x^{n+1}) - P(x)^n$ has degree at most $kn(n-1)$ .

Problem 6. Let $\mathcal{H}$ be a family of subsets of the set ${1, 2, 3, \ldots, 2027}$ with the following property: for any set $A \in \mathcal{H}$ and any subset $B \subset A$ , we have $B \in \mathcal{H}$ . Let $l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}$ be the number of subsets in $\mathcal{H}$ that have an even number of elements and an odd number of elements, respectively. Prove that $l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le C^{1013}_{2026}$ .

China Team Selection Test 2026

China TST 2026 gồm 2 vòng, mỗi vòng 12 bài toán (chia làm 4 bài kiểm tra).

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790830p37427165
Cho ${F_n}$ là dãy Fibonacci, trong đó $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , và định nghĩa $F_{-1}, F_{-2}, \ldots$ bằng hệ thức truy hồi. Ban đầu, cặp số $(0,0)$ được viết trên bảng. Trong mỗi thao tác, ta xóa cặp số $(x, y)$ hiện tại và viết lên bảng cặp $(x + F_k, y + F_{k+1})$ hoặc $(x - F_k, y - F_{k+1})$ , trong đó $k$ là một số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ sao cho với mọi số nguyên dương $p, q$ , ta có thể thu được cặp $(p, q)$ trong không quá $C \ln(p+q)$ thao tác.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790832p37427170
Cho đường tròn $\Omega$ , hai điểm $A, B$ nằm trên $\Omega$ , và điểm $C$ nằm trong đường tròn sao cho $\angle ACB = 90^\circ$ và $AC < BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , và $P$ là một điểm di động trên cung lớn $AB$ sao cho $\angle CMP > 90^\circ$ . Điểm $Q$ được xác định sao cho $CQ \parallel PM$ và $\angle QPM = \angle MCP$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $K$ trong mặt phẳng sao cho ta luôn có $\angle PQK = \angle PCK$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790834p37427176
Cho các số nguyên $n > k > 1$ , và $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là các số phức có mô-đun không vượt quá 1. Chứng minh rằng

$\displaystyle\left| \binom{n}{k} - \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_k} \right| \le \binom{n-1}{k-1} \left| n - \sum_{i=1}^n z_i \right|,$

và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791580p37437300
Cho $G = (V, E)$ là một đồ thị đơn, trong đó tập đỉnh $V = {(x, y, z) \mid 1 \leq x, y, z \leq 2026}$ và hai đỉnh $(x, y, z)$ và $(x', y', z')$ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi $|x - x'| + |y - y'| + |z - z'| = 1$ . Mỗi đỉnh $v$ được gán một nhãn là số thực $f(v)$ sao cho tổng của tất cả các nhãn bằng $0$ . Với một cạnh $e \in E$ , gọi $g(e)$ là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các nhãn của hai đỉnh đầu mút của cạnh $e$ . Chứng minh rằng, với mọi số thực $p \geq 1$ , ta có

$\displaystyle\sum_{v \in V} |f(v)|^p \leq 6677^p \cdot \sum_{e \in E} g(e)^p.$

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791579p37437230
Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho các cạnh của đồ thị đầy đủ $K_{2026}$ có thể được gán nhãn bởi các số $1, 2, \dots, \binom{2026}{2}$ , mỗi số được sử dụng đúng một lần, sao cho giữa hai đỉnh bất kỳ, luôn tồn tại một đường đi mà tổng các nhãn trên các cạnh của nó không vượt quá $k$ .

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791554p37436766
Cho dãy số ${a_n}$ thỏa mãn $a_1 = 2$ , và với $n \geq 2$ , $a_n$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước của $\prod_{k=1}^{n-1} (a_k + n - k)$ . Với một số nguyên tố $p$ , gọi $f(p)$ là số lần $p$ xuất hiện trong dãy này. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ và $m$ số nguyên tố phân biệt bất kỳ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ , ta có

$\displaystyle\sum_{i=1}^m f(p_i) \leq \frac{1}{2} \left( \max_{1 \leq i \leq m} p_i + \sum_{i=1}^m p_i \right).$

Bài 7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794581p37485265
Với một tập hợp hữu hạn $X$ và một số nguyên $t$ , định nghĩa $X + t = {x + t \mid x \in X}$ , và gọi $\sigma(X)$ là tổng các phần tử của $X$ . Khẳng định sau đúng hay sai: với mọi số nguyên $m \geq 2$ , luôn tồn tại một tập $A$ gồm $m$ số nguyên dương và $m$ số nguyên phân biệt từng đôi một $t_1, t_2, \dots, t_m$ sao cho

$\sigma(A \cup (A + t_1)) = \sigma(A \cup (A + t_2)) = \dots = \sigma(A \cup (A + t_m))$ ?

Bài 8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794611p37485578
Cho các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $n > 2m > 2$ . Có một nhóm gồm $n$ thành viên, và một số cặp thành viên là bạn bè của nhau, với tình bạn là hai chiều. Họ sẽ được chia thành $m$ ủy ban, mỗi thành viên tham gia đúng vào một ủy ban. Đầu tiên, chủ tịch và phó chủ tịch của mỗi ủy ban được xác định. Tại thời điểm này, người ta nhận thấy rằng có đúng một cách để phân công $n - 2m$ thành viên còn lại vào các ủy ban sao cho trong mỗi ủy ban, tất cả các thành viên (bao gồm cả chủ tịch và phó chủ tịch) đều là bạn bè của nhau từng đôi một. Cho phép một ủy ban chỉ gồm chủ tịch và phó chủ tịch. Tìm số lớn nhất có thể của các cặp bạn bè (không có thứ tự) trong số $n$ thành viên.

Bài 9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794555p37484599
Cho $m, n$ là các số nguyên dương, $P_1, P_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $m$ biến với hệ số nguyên, và $Q_1, Q_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $n$ biến với hệ số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ sao cho $P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) \neq Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ , thì phân thức

$\displaystyle\frac{P_2(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_2(b_1, b_2, \cdots, b_n)}{P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)}$

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức một biến $R(x)$ với hệ số hữu tỉ, sao cho $P_2 = R(P_1)$ và $Q_2 = R(P_2)$ .

Bài 10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795189p37495113
Cho số nguyên $n > 1$ . Với một số nguyên dương $k$ , gọi $d_k$ là số lượng các ước số của $n$ nằm trong đoạn $[1, n^{\frac 1k}]$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 2$ , ta có $d_{k + 1} \geq \sqrt{2d_k} - k - \frac 12$ .

Bài 11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795164p37494678
Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ lần lượt tại $S$ và $T$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $U$ và $V$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle CDA$ tiếp xúc với $CD$ và $DA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $Z$ và $W$ ; đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ ; và đường tròn bàng tiếp góc $C$ của $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Chứng minh rằng nếu tứ giác tạo bởi các đường thẳng $SY, TX, UW$ và $VZ$ là tứ giác nội tiếp, thì $E, F, G$ và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 12. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795181p37494888
Cho $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử, $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $A$ , sao cho hợp của tất cả các tập hợp trong $\mathcal{F}$ là $A$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathcal{G}$ của $\mathcal{F}$ , sao cho có một tập con $T$ của $A$ , thỏa mãn:
(i) $|T| \ge \frac{n}{1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n}$ ;
(ii) $T$ được chứa trong hợp của tất cả các tập hợp thuộc $\mathcal{G}$ ;
(iii) $X \cap Y \cap T = \varnothing$ với mọi cặp tập hợp $X, Y$ phân biệt thuộc $\mathcal{G}$ .

Continue reading →

USA TST Selection Test 2025

1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601239p35223673

Trong một nhóm hữu hạn người, một số cặp là bạn bè (tình bạn là tương hỗ). Mỗi người $p$ có một danh sách $f_1(p),f_2(p),\dots, f_{d(p)}(p)$ gồm những người bạn của mình, trong đó $d(p)$ là số lượng bạn bè khác nhau mà $p$ có. Ngoài ra, bất kỳ hai người nào cũng được kết nối bởi một chuỗi các mối quan hệ bạn bè. Mỗi người cũng có một quả bóng nước. Trò chơi sau được chơi cho đến khi ai đó có nhiều hơn một quả bóng nước: ở vòng $r$ , mỗi người $p$ ném quả bóng nước hiện có của mình cho người bạn $f_s(p)$ sao cho $d(p)$ chia hết $r-s$ . Chứng minh rằng nếu trò chơi không bao giờ kết thúc, thì mọi người đều có cùng số lượng bạn bè.

2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601242p35223679

Tìm tất cả các tập hợp $S\subseteq \mathbb{Z}$ sao cho tồn tại một hàm $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ để
$f(x-y) - 2f(x) + f(x+y) \geq -1$ với mọi $x, y\in \mathbb{R}$ , và $S$ là tập giá trị của $f$ .

3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601245p35223695

Cho $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ là các số nguyên dương với $r$ và $s$ là số lẻ. Dãy $a_1, a_2, a_3, \dots$ được định nghĩa bởi $a_{n+2} = ra_{n+1} + sa_n$ với mọi $n \ge 1$ . Xác định số lượng lớn nhất có thể các chỉ số $1 \le \ell \le 2025$ sao cho $a_\ell$ chia hết $a_{\ell+1}$ , trên tất cả các lựa chọn có thể có của $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ .

4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601254p35223710

Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương. Cho $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_n$ là một dãy các số nguyên dương sao cho $(a_1,a_2),(a_2,a_3),\,\dots,(a_{n-1},a_n)$ là một dãy tăng nghiêm ngặt. Hãy tìm, theo $n$ , giá trị lớn nhất có thể của $\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}$ trên tất cả các dãy như vậy.

5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601256p35223717

Một tứ diện $ABCD$ được gọi là tứ diện thiên thần nếu nó có thể tích khác không và thỏa mãn:

$\angle BAC + \angle CAD + \angle DAB = \angle ABC + \angle CBD + \angle DBA$

và $\angle ACB + \angle BCD + \angle DCA = \angle ADB + \angle BDC + \angle CDA.$

Trong tất cả các tứ diện thiên thần, số lượng độ dài khác nhau tối đa có thể xuất hiện trong tập hợp $\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}$ là bao nhiêu?

6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601258p35223726

Alice và Bob chơi một trò chơi trên $n$ đỉnh được đánh số $1, 2, \dots, n$ . Họ lần lượt thêm các cạnh $\{i, j\}$ , Alice đi trước. Không người chơi nào được phép thực hiện nước đi tạo thành chu trình, và trò chơi kết thúc sau tổng cộng $n-1$ lượt. Gọi trọng lượng của cạnh $\{i, j\}$ là $|i - j|$ , và $W$ là tổng trọng lượng của tất cả các cạnh khi kết thúc trò chơi. Alice chơi để tối đa hóa $W$ và Bob chơi để tối thiểu hóa $W$ . Nếu cả hai đều chơi tối ưu, thì $W$ sẽ là bao nhiêu?

7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601260p35223735

Với một số thực dương $c$ , dãy $a_1, a_2, \dots$ các số thực được định nghĩa như sau. Cho $a_1=c$ , và với $n \geq 2$ , đặt $a_n = \sum_{i=1}^{n-1} (a_i)^{n-i+1}$ . Tìm tất cả các số thực dương $c$ sao cho $a_i>a_{i+1}$ với mọi số nguyên dương $i$ .

8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601261p35223743

Tìm tất cả các đa thức $f$ có hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $n$ , $n$ chia hết $\underbrace{f(f(\dots(f(0))\dots )}_{n+1\ f\text{'s}} - 1.$

9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601262p35223748

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $B_1$ , $C_1$ , $B_2$ , và $C_2$ là các điểm thẳng hàng lần lượt nằm trên $AB$ , $AC$ , $BH$ , và $CH$ . Gọi $\omega_B$ và $\omega_C$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ . Chứng minh rằng trục đẳng phương của $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt đường thẳng qua tâm của chúng trên đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$ .

2026 USA IMO Team Selection Test

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733926p36710571

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô màu các hệ số khác không của đa thức

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{k=0}^{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-k)$

bằng $2^n-1$ màu sao cho tổng các hệ số của mỗi màu bằng $0$ , và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733954p36710650

Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $p$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\sum_{k=1}^{b}(-1)^{\lfloor(a-1)k/p\rfloor+\lfloor ak/p\rfloor}\ge0.$

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733942p36710611

Chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp con $S$ nào của $\mathbb{R}^{2}$ , tồn tại một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$ mà phần trong của nó chứa hoặc $0$ điểm, hoặc nhiều hơn $2025$ điểm của $S$ .