Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Cho là một tập hợp gồm
điểm trong mặt phẳng. Gọi
là dãy giảm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm thuộc
và
lần lượt là bội của chúng.
1) Chứng minh rằng
2) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì số đường chéo dài nhất của đa giác này không vượt quá
3) Chứng minh rằng
4) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì
Khi
là số lẻ và có đẳng thức, chứng minh đa giác là
giác đều.
5) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì
6) Chứng minh rằng
IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.
I. Danh sách đội tuyển Việt Nam
Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)
Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)
Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)
Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)
Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.
II. Đề thi và đáp án
Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂
III. Kết quả
Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?
Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.
I) Danh sách đội tuyển Việt Nam
Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.
Dưới đây là danh sách 6 học sinh:
1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN
2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN
3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam
4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN
5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM
6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
II) Đề thi – Đáp án
Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.
III) Kết quả
Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm
và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm
Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!
HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.
Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.
Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.
Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.
IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.
Hình tạo bởi một đường gấp khúc đóng và không tự cắt được gọi là đa giác đơn. Một tam giác cơ bản là một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là các điểm nguyên đồng thời trên biên và phần trong của nó không còn điểm nguyên nào khác. Định lí Pick cho một cách đơn giản tính diện tích đa giác đơn có các đỉnh nguyên.
Trong chứng minh định lí Pick ta cần dùng công thức tích diện tích của tam giác trong mặt phẳng tọa độ.
Định lí 1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác
Khi đó diện tích của tam giác
bằng
Nói riêng, với mỗi hai điểm
và
ta có diện tích của tam giác
bằng
Định lí 2. Mọi tam giác cơ bản đều có diện tích bằng
Chứng minh. Giả sử là một tam giác cơ bản bất kỳ. Không mất tính tổng quát, xem
trùng với gốc tọa độ
Ta cần chứng minh
với
và
lần lượt là tọa độ của
và
Gọi là điểm sao cho
là hình bình hành. Giả sử
là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên biên hình bình hành sao cho
khác các đỉnh. Khi đó
thuộc tam giác
và điểm
đối xứng với
qua tâm hình bình hành là điểm nguyên thuộc tam giác
nhưng khác các đỉnh, không thể xảy ra điều này do
là một tam giác cơ bản. Như vậy hình bình hành
không chứa điểm nguyên nào khác bốn đỉnh của nó.
Giả sử là một điểm nguyên bất kỳ. Vì
và
là hai vector không cùng phương nên tồn tại cặp số thực
để
Gọi
là điểm xác định bởi
Vì
và
thuộc
nên
thuộc hình bình hành
, nhưng
lại là một điểm nguyên, suy ra
phải là một trong bốn đỉnh của hình bình hành. Dễ thấy
và do đó
và
là hai số nguyên.
Gọi và
lần lượt là các vector đơn vị đặt trên
và
. Khi đó theo lập luận trên, tồn tại các cặp số nguyên
và
để
và
Từ hai đẳng thức này ta có
và
suy ra
và
trong đó
do
và
không thẳng hàng. Vì
và
là các số nguyên nên
và
đều là bội của
, do đó
và bởi thế,
Định lí Pick. Cho là một đa giác đơn có các đỉnh là các điểm nguyên,
là số điểm nguyên nằm trong và
là số điểm nguyên nằm trên biên của
. Khi đó ta có đẳng thức
Chứng minh. Chia thành
tam giác cơ bản. Gọi
là tổng các góc trong của tất cả các tam giác cơ bản đó. Ta sẽ tính
theo hai cách. Vì số tam giác là
nên
Tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trong bằng
, tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trên biên của
nhưng không phải đỉnh của
bằng
và tổng của tất cả các góc có đỉnh là đỉnh của
bằng
, ở đây
là số đỉnh của
. Do đó
.
Suy ra , mà
, suy ra điều phải chứng minh.
Trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 của Hà Nội, đội tuyển này sẽ tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia cùng năm.
USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.
USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.
Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.
Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.