Tag: IMO

Một số sách về Olympic Toán


Chào các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic Toán, trong tài liệu này tôi sẽ giới thiệu một số sách các em nên có. Trước tiên các em cần có bộ sách “Tài liệu giáo khoa Chuyên Toán” lớp 10,11,12. Dưới đây là vài cuốn khác.

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

A1. Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm.
A2. Jean-Marie Monier, Giải tích 1.
A3. Phạm Kim Hùng, Secrets In Inequalities (Vol 1 and Vol 2).
A4. Nguyễn Hữu Điển, Đa thức.
A5. Titu Andreescu, Navid Safaei, and Alessandro Ventullo, 117 Polynomial Problems.
A6. T. Andreescu, V. Cartoaje, G. Dospinescu, and M. Lascu, Old and New Inequalities.
A7. E.J. Barbeau, Polynomials.
A8. T. Andreescu and D. Andrica, Complex Numbers from A to Z.
A9. Titu Andreescu, Iurie Boreico, Oleg Mushkarov, and Nikolai Nikolov, Topics in Functional Equations.
A10. B. J. Venkatachala, Functional Equations.

TỔ HỢP

C1. C. Chuan-Chong and K. Khee-Meng, Principles and Techiques in Combinatorics.
C2. T. Andreescu and Z. Feng, 102 Combinatorial Problems.
C3. Vũ Đình Hòa, Hình học tổ hợp.
C4. Vũ Đình Hòa, Graph.
C5. T. Andreescu and Z. Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates.
C6. H.S. Wilf, Generatingfunctionology.
C7. Pranav A. Sriram, Olympiad combinatorics.
C8. R. Brualdi, Introductory Combinatorics.

HÌNH HỌC

G1. Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 10.
G2. Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.
G3. I.M. Yaglom, Geometric Transformations.
G4. T. Andreescu, O. Mushkarov, and L. Stoyanov, Geometric Problems on Maxima and Minima.
G5. Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry.

SỐ HỌC

N1. Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, và Vũ Kim Thủy, Bài giảng số học.
N2. D. Burton, Elementary Number Theory.
N3. Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations.
N4. T. Andreescu, D. Andrica, and Z. Feng, 104 Number Theory Problems.
N5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.

ĐỀ THI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

M1. Lê Anh Vinh (chủ biên), Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán.
M2. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, and Nikola Petrovic, The IMO Compendium. Continue reading “Một số sách về Olympic Toán”

Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc


Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle ABCDE là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm \displaystyle O và có \displaystyle AB=AE=CD. Gọi \displaystyle I là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle J là trung điểm của \displaystyle DE, \displaystyle F là trực tâm của tam giác \displaystyle ABE, và \displaystyle G là trọng tâm của tam giác \displaystyle AIJ. \displaystyle CE cắt \displaystyle BD tại \displaystyle H, \displaystyle OG cắt \displaystyle FH tại \displaystyle M. Chứng minh \displaystyle AM\perp CD.
Bài 2. Cho số nguyên \displaystyle n\geq 3. Liệu có vô hạn tập \displaystyle S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace gồm các số nguyên dương sao cho \displaystyle (a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1, \displaystyle \lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n và \displaystyle \lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n là các cấp số cộng, đồng thời \displaystyle \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương \displaystyle n sao cho có \displaystyle n điểm \displaystyle P_1,P_2,\ldots,P_n trên đường tròn đơn vị để \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) \displaystyle k=2018.
b) \displaystyle k=2019.
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương \displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1} được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương \displaystyle m,n khác nhau ta có \displaystyle (m,n) \mid a_m^2 + a_n^2 và \displaystyle (a_m,a_n) \mid m^2 + n^2. Số nguyên dương \displaystyle a được gọi là \displaystyle k-tốt nếu tồn tại dãy tốt \displaystyle \{a_n\} sao cho \displaystyle a_k = a. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle k sao cho có đúng \displaystyle 2019 số nguyên dương \displaystyle k-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sao cho \displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.
Bài 6. Cho số thực dương \displaystyle k. Hai người \displaystyle A và \displaystyle B chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có \displaystyle 80 số \displaystyle 0 đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, \displaystyle A tăng một vài số trong \displaystyle 80 số sao cho tổng các số mới tăng \displaystyle 1. Sau đó, \displaystyle B chọn \displaystyle 10 số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống \displaystyle 0. \displaystyle A thắng nếu sau hữu hạn bước \displaystyle A thu được ít nhất một số không bé hơn \displaystyle k. Tìm tất cả \displaystyle k để \displaystyle A có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. \displaystyle AB và \displaystyle AC là các tiếp tuyến của một đường \displaystyle \omega với tâm \displaystyle O tại \displaystyle B,C. Điểm \displaystyle P di động trên cung nhỏ \displaystyle BC của đường tròn. Tiếp tuyến tại \displaystyle P của \displaystyle \omega cắt \displaystyle AB,AC lần lượt tại \displaystyle D,E. \displaystyle AO cắt \displaystyle BP,CP lần lượt tại \displaystyle U,V. Đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AB cắt \displaystyle DV tại \displaystyle M, đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AC cắt \displaystyle EU tại \displaystyle N. Chứng minh \displaystyle MN đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các bộ \displaystyle 10 số tự nhiên có tổng bằng \displaystyle 2019. Với mỗi phần tử của \displaystyle S, nếu một thành phần của nó không bé hơn \displaystyle 9, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi \displaystyle 9 và cộng các thành phần còn lại thêm \displaystyle 1. Với mỗi \displaystyle A,B\in S, ký hiệu \displaystyle A\rightarrow B nếu ta có thể thu được \displaystyle B từ \displaystyle A sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên \displaystyle k bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong \displaystyle A,B\in S không bé hơn \displaystyle k, thì \displaystyle A\rightarrow B kéo theo \displaystyle B\rightarrow A.
(2) Với số \displaystyle k tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của \displaystyle S sao cho với mỗi \displaystyle A,B khác nhau được chọn, \displaystyle A\not\rightarrow B?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn \displaystyle n. Xét các số thực không âm \displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n có tổng bằng \displaystyle 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập \displaystyle A và \displaystyle B các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: \displaystyle A là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, \displaystyle B là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập \displaystyle A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\} nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n nguyên tố cùng nhau, có \displaystyle x\in A+B để \displaystyle x\equiv n \pmod m?
Bài 5. Cho \displaystyle M là trung điểm của cạnh \displaystyle BC của tam giác \displaystyle ABC. Đường tròn đường kính \displaystyle BC, ký hiệu \displaystyle \omega, cắt \displaystyle AB,AC lần hai tại \displaystyle D,E tương ứng. \displaystyle P nằm trong tam giác \displaystyle ABC sao cho \displaystyle \angle PBA=\angle PAC, \displaystyle \angle PCA=\angle PAB và \displaystyle 2PM\cdot DE=BC^2. Điểm X nằm ngoài \displaystyle \omega sao cho \displaystyle XM\parallel AP và \displaystyle \displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}. Chứng minh rằng \displaystyle \angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \displaystyle p,q>1, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng \displaystyle px+qy (\displaystyle x,y\in\mathbb{N}) là xấu, và ký hiệu \displaystyle S(p,q) là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của \displaystyle 2019. Chứng minh tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle (p-1)(q-1) chia hết \displaystyle nS(p,q) với mọi \displaystyle p,q.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức \displaystyle x,y,z thỏa mãn \displaystyle |x|^2+|y|^2+|z|^2=1. Chứng minh rằng \displaystyle |x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.
Bài 2. Cho \displaystyle S là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \displaystyle n \in S khi và chỉ khi \displaystyle \displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n=2^k \cdot p (k\in\mathbb{N}, \displaystyle p là số nguyên tố lẻ) sao cho \displaystyle \displaystyle \sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc”

IMO 2019 – Problems and Solutions


Mời các bạn tải về dùng cho tiện.

  1. Đề thi IMO 2019 Download -IMO2019 Vie
  2. IMO Shortlist 2018 (Chính thức) Download – IMO2018SL
  3. Đáp án được tổng hợp bởi Evan Chen Download – IMO2019sol
  4. Đáp án chính thức IMO2019 – solutions
  5. Link thảo luận các bài toán IMO 2019 trên AoPS:

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876068

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876070

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876067

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876742

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876772

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6t360f6h1876745

Các em học sinh tải đề về làm thử, khoảng 1 tuần sau (hoặc lâu hơn) vào 6 links trên để thảo luận nhé!

Tham khảo:

[1] https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=2019

[2] http://web.evanchen.cc/problems.html

[3] https://artofproblemsolving.com/

[4] https://www.imo2019.uk/

Định lí Dirichlet về các số nguyên tố nằm trong một cấp số cộng


Đây là bản pdf của bài  “Selberg, Atle (1949), An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression,  Annals of Mathematics, 50 (2): 297–304″.

Download

Các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các trường hợp đặc biệt ở đây.

IMO 2014 Shortlist – Number theory


Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n \ge 2, và tập \displaystyle A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}. Xác định số nguyên dương lớn nhất không thể viết thành tổng của một hoặc một vài phần tử (không nhất thiết phân biệt) của \displaystyle A_n.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle \sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ngân hàng phát hành các đồng xu với mệnh giá \displaystyle \frac{1}{n}. Cho một họ hữu hạn các đồng xu như vậy (không nhất thiết các đồng xu có mệnh giá khác nhau) sao cho tổng các mệnh giá của các đồng xu không vượt quá \displaystyle 99+\frac{1}{2}. Chứng minh rằng có thể chia họ này thành không quá \displaystyle 100 nhóm, sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá \displaystyle 1.
Bài 4. Cho số nguyên \displaystyle n > 1 và dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} xác định bởi \displaystyle a_k=\left[\frac{n^k}{k}\right],\,\,\forall k\geq 1. Chứng minh rằng dãy số \displaystyle (a_k )_{k\ge 1} chứa vô hạn số hạng lẻ.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố \displaystyle p và các cặp số nguyên dương \displaystyle (x, y) sao cho \displaystyle x^{p -1} + y và \displaystyle x + y^ {p -1} đều là các lũy thừa của \displaystyle p.
Bài 6. Cho \displaystyle a_1 < a_2 < \cdots <a_n là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle a_1 là số nguyên tố và \displaystyle a_1 \ge n + 2. Trên đoạn \displaystyle I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ] của trục số, đánh dấu tất cả các số nguyên chia hết cho ít nhất một trong các số \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle \ldots, \displaystyle a_n. Các điểm này chia \displaystyle I thành các đoạn nhỏ hơn. Chứng minh rằng tổng bình phương của các độ dài của các đoạn đó chia hết cho \displaystyle a_1. Continue reading “IMO 2014 Shortlist – Number theory”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017


Bài 1. Cho các số nguyên dương a,b và c. Chứng minh rằng [a,b]\not= [a+c,b+c].
Bài 2. Cho số nguyên dương N và các số nguyên dương a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N} sao cho không có số nào là bội của 2^{N+1}. Với mỗi số nguyên n\geq N+1, xác định a_{n} như sau: Nếu dư khi chia a_{k} cho 2^{n} là bé nhất trong các dư khi chia a_{1},\cdots, a_{n-1} cho 2^{n}, thì a_{n}=2a_{k} (nếu có nhiều số k thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương M sao cho a_{n}=a_{M} với mọi n\geq M.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với tâm ngoại tiếp O. Gọi D,E và F lần lượt là chân các đường cao qua A,B và C, và M là trung điểm của BC. AD cắt EF tại X, AO cắt BC tại Y, và Z là trung điểm của XY. Chứng minh A,Z và M thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên n thỏa mãn n \geq 3. Có n người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ n, mỗi cặp trong n người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2016 Shortlist – Geometry


Các bạn có thể xem các phần trước ở các link dưới đây:
https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
https://nttuan.org/2017/07/23/imo-2016-shortlist-combinatorics/
——–
G1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FB và F nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DC và AC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=ED và AD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FX và ME đồng quy.
G2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, tâm nội tiếp I. Gọi M là trung điểm của BC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho ID \perp BC, IE\perp AI, IF\perp AI. Biết (AEF) cắt \Gamma tại hai điểm phân biệt X và A. Chứng minh XD và AM cắt nhau trên \Gamma.
G3. Cho B = (-1, 0) và C = (1, 0). Một tập con S khác rỗng và bị chặn của mặt phẳng được gọi là tốt nếu
\text{(i)} có T trong S sao cho với mỗi Q trong S, đoạn TQ nằm trong S; và
\text{(ii)} với mỗi tam giác P_1P_2P_3, tồn tại duy nhất A trong S và hoán vị \sigma của \{1, 2, 3\} để ABC và P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} đồng dạng.
Chứng minh tồn tại hai tập con tốt khác nhau S và S' của \{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\} thỏa mãn: nếu A \in S và A' \in S' là các điểm tồn tại duy nhất trong \text{(ii)}, thì BA \cdot BA' là hằng số không phụ thuộc tam giác P_1P_2P_3. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Geometry”

IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n và \displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M và \displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”