Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho trước là số nguyên dương và dãy số nguyên dương
. Trong các tập con của tập hợp
, gọi
là một tập sao cho
là nhỏ nhất. Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương
sao cho
.
Bài 2. Cho tam giác nhọn, không cân nội tiếp đường tròn
, có đường tròn nội tiếp
tiếp xúc với các cạnh
lần lượt ở
Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
1) Chứng minh rằng các đường thẳng qua lần lượt song song với
đồng quy.
2) Gọi lần lượt là điểm chính giữa các cung lớn
của
Chứng minh rằng đường thẳng qua
và song song với
cũng đồng quy.
Bài 3. Với số nguyên dương cho trước, xét một giải bóng đá có
đội bóng được tổ chức thi đấu với nhau qua các lượt trận. Ở mỗi lượt trận, người ta chia
đội bóng thành
cặp thi đấu với nhau. Biết rằng sau giải đấu thì hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá một lần. Tìm số nguyên dương
nhỏ nhất để có thể sắp xếp một lịch thi đấu gồm
lượt trận thỏa mãn điều kiện trên và sau
lượt thi đấu đó, với mọi cách chia các đội bóng thành
cặp thì luôn có ít nhất một cặp đã thi đấu với nhau.
Ngày thứ hai
Bài 4. Với là số nguyên dương, xét bảng ô vuông
và ban đầu, mỗi ô có tô màu trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, nếu số ô trắng ít hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô trắng (nếu có) và ngược lại; nếu số ô trắng nhiều hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô đen. Gọi
là số ô đen,
là số ô trắng và
là số ô được đánh dấu. Chứng minh rằng
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại hữu hạn số nguyên dương
lẻ thỏa mãn
Bài 6. Cho tam giác nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn
có các đường cao
đồng quy tại trực tâm
Gọi
là điểm đối xứng với
qua
Kẻ các đường kính
theo thứ tự của các đường tròn
1) Giả sử lần lượt cắt
ở
Chứng minh rằng
song song với
2) Gọi là giao điểm hai tiếp tuyến của
ở
Gọi
là giao điểm của
Gọi
là hình chiếu của
lên các đường thẳng
Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.