IMO 2026

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 67 năm 2026 vừa khép lại tại Thượng Hải, Trung Quốc. Lần thứ hai đăng cai tổ chức (kể từ năm 1990), nước chủ nhà đã mang đến một sân chơi quy mô và chuyên nghiệp tại Trung tâm Triển lãm và Hội nghị Quốc tế West Bund từ ngày 10/07 đến 21/07. Với sự tham gia của 666 thí sinh đến từ 117 quốc gia và vùng lãnh thổ, IMO 2026 tiếp tục khẳng định sức hút mãnh liệt của vẻ đẹp trí tuệ.

Phổ điểm và những kỷ lục tuyệt đối

Năm nay, mức điểm chuẩn để xét huy chương phản ánh đúng độ khó của cấu trúc đề thi, cụ thể như sau:

Huy chương Vàng: ≥ 29 điểm (55 giải)
Huy chương Bạc: ≥ 23 điểm (105 giải)
Huy chương Đồng: ≥ 16 điểm (189 giải)

Đáng chú ý, kỳ thi ghi nhận 7 thí sinh xuất sắc đạt điểm tuyệt đối 42/42 (giải trọn vẹn cả 6 bài toán). Đó là những cái tên vô cùng ấn tượng: Leyan Deng, Che Liu, Bolun Zhang (Trung Quốc); Hyeonjun Lee (Hàn Quốc); Alex Chui (Vương quốc Anh); Liam Reddy và Alexander Wang (Mỹ).

Niềm tự hào mang tên Việt Nam

Ghi dấu ấn mạnh mẽ nhất với cá nhân tôi chính là thành tích của đội tuyển Việt Nam. Dưới sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Chu Gia Vượng và thầy Lê Bá Khánh Trình, toàn bộ 6/6 em học sinh đều xuất sắc giành huy chương.

Với tổng điểm 168, đoàn Việt Nam đã vươn lên vị trí thứ 5 toàn đoàn (tăng 4 bậc so với năm 2025), chỉ xếp sau các cường quốc Toán học là Trung Quốc, Mỹ, Nga và Singapore.

Bảng vàng thành tích cụ thể của các em:

🥇 Huy chương Vàng:

Nguyễn Đình Tùng – Lớp 12, THPT chuyên KHTN (ĐHQG Hà Nội)
Nguyễn Lê Nhật Nam – Lớp 12, THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

🥈 Huy chương Bạc:

Phạm Đăng Nguyên – Lớp 12, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam
Trần Đại Thành Danh – Lớp 12, Phổ thông Năng khiếu (ĐHQG TP.HCM)
Nguyễn Hoàng Phương – Lớp 11, THPT chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An)

🥉 Huy chương Đồng:

Hà Mạnh Hùng – Lớp 11, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam

Kỳ thi IMO 2026 đã khép lại, nhưng ngọn lửa đam mê Toán học thì vẫn sẽ luôn cháy sáng. Chúc các em học sinh sẽ tiếp tục giữ vững tình yêu với Toán và gặt hái thêm nhiều thành công trên chặng đường phía trước. Kỳ IMO 2027 tới đây sẽ diễn ra tại Budapest, Hungary – cái nôi của nhiều nhà Toán học kiệt xuất. Chúng ta hoàn toàn có quyền kỳ vọng vào những bước tiến xa hơn nữa!

Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết chia sẻ chuyên sâu hơn về các bài toán trong đề thi năm nay.

IMO-2026-problems-vie Download

China Team Selection Test 2026

China TST 2026 gồm 2 vòng, mỗi vòng 12 bài toán (chia làm 4 bài kiểm tra).

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790830p37427165
Cho ${F_n}$ là dãy Fibonacci, trong đó $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , và định nghĩa $F_{-1}, F_{-2}, \ldots$ bằng hệ thức truy hồi. Ban đầu, cặp số $(0,0)$ được viết trên bảng. Trong mỗi thao tác, ta xóa cặp số $(x, y)$ hiện tại và viết lên bảng cặp $(x + F_k, y + F_{k+1})$ hoặc $(x - F_k, y - F_{k+1})$ , trong đó $k$ là một số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ sao cho với mọi số nguyên dương $p, q$ , ta có thể thu được cặp $(p, q)$ trong không quá $C \ln(p+q)$ thao tác.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790832p37427170
Cho đường tròn $\Omega$ , hai điểm $A, B$ nằm trên $\Omega$ , và điểm $C$ nằm trong đường tròn sao cho $\angle ACB = 90^\circ$ và $AC < BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , và $P$ là một điểm di động trên cung lớn $AB$ sao cho $\angle CMP > 90^\circ$ . Điểm $Q$ được xác định sao cho $CQ \parallel PM$ và $\angle QPM = \angle MCP$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $K$ trong mặt phẳng sao cho ta luôn có $\angle PQK = \angle PCK$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790834p37427176
Cho các số nguyên $n > k > 1$ , và $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là các số phức có mô-đun không vượt quá 1. Chứng minh rằng

$\displaystyle\left| \binom{n}{k} - \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_k} \right| \le \binom{n-1}{k-1} \left| n - \sum_{i=1}^n z_i \right|,$

và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791580p37437300
Cho $G = (V, E)$ là một đồ thị đơn, trong đó tập đỉnh $V = {(x, y, z) \mid 1 \leq x, y, z \leq 2026}$ và hai đỉnh $(x, y, z)$ và $(x', y', z')$ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi $|x - x'| + |y - y'| + |z - z'| = 1$ . Mỗi đỉnh $v$ được gán một nhãn là số thực $f(v)$ sao cho tổng của tất cả các nhãn bằng $0$ . Với một cạnh $e \in E$ , gọi $g(e)$ là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các nhãn của hai đỉnh đầu mút của cạnh $e$ . Chứng minh rằng, với mọi số thực $p \geq 1$ , ta có

$\displaystyle\sum_{v \in V} |f(v)|^p \leq 6677^p \cdot \sum_{e \in E} g(e)^p.$

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791579p37437230
Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho các cạnh của đồ thị đầy đủ $K_{2026}$ có thể được gán nhãn bởi các số $1, 2, \dots, \binom{2026}{2}$ , mỗi số được sử dụng đúng một lần, sao cho giữa hai đỉnh bất kỳ, luôn tồn tại một đường đi mà tổng các nhãn trên các cạnh của nó không vượt quá $k$ .

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791554p37436766
Cho dãy số ${a_n}$ thỏa mãn $a_1 = 2$ , và với $n \geq 2$ , $a_n$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước của $\prod_{k=1}^{n-1} (a_k + n - k)$ . Với một số nguyên tố $p$ , gọi $f(p)$ là số lần $p$ xuất hiện trong dãy này. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ và $m$ số nguyên tố phân biệt bất kỳ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ , ta có

$\displaystyle\sum_{i=1}^m f(p_i) \leq \frac{1}{2} \left( \max_{1 \leq i \leq m} p_i + \sum_{i=1}^m p_i \right).$

Bài 7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794581p37485265
Với một tập hợp hữu hạn $X$ và một số nguyên $t$ , định nghĩa $X + t = {x + t \mid x \in X}$ , và gọi $\sigma(X)$ là tổng các phần tử của $X$ . Khẳng định sau đúng hay sai: với mọi số nguyên $m \geq 2$ , luôn tồn tại một tập $A$ gồm $m$ số nguyên dương và $m$ số nguyên phân biệt từng đôi một $t_1, t_2, \dots, t_m$ sao cho

$\sigma(A \cup (A + t_1)) = \sigma(A \cup (A + t_2)) = \dots = \sigma(A \cup (A + t_m))$ ?

Bài 8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794611p37485578
Cho các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $n > 2m > 2$ . Có một nhóm gồm $n$ thành viên, và một số cặp thành viên là bạn bè của nhau, với tình bạn là hai chiều. Họ sẽ được chia thành $m$ ủy ban, mỗi thành viên tham gia đúng vào một ủy ban. Đầu tiên, chủ tịch và phó chủ tịch của mỗi ủy ban được xác định. Tại thời điểm này, người ta nhận thấy rằng có đúng một cách để phân công $n - 2m$ thành viên còn lại vào các ủy ban sao cho trong mỗi ủy ban, tất cả các thành viên (bao gồm cả chủ tịch và phó chủ tịch) đều là bạn bè của nhau từng đôi một. Cho phép một ủy ban chỉ gồm chủ tịch và phó chủ tịch. Tìm số lớn nhất có thể của các cặp bạn bè (không có thứ tự) trong số $n$ thành viên.

Bài 9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794555p37484599
Cho $m, n$ là các số nguyên dương, $P_1, P_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $m$ biến với hệ số nguyên, và $Q_1, Q_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $n$ biến với hệ số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ sao cho $P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) \neq Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ , thì phân thức

$\displaystyle\frac{P_2(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_2(b_1, b_2, \cdots, b_n)}{P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)}$

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức một biến $R(x)$ với hệ số hữu tỉ, sao cho $P_2 = R(P_1)$ và $Q_2 = R(P_2)$ .

Bài 10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795189p37495113
Cho số nguyên $n > 1$ . Với một số nguyên dương $k$ , gọi $d_k$ là số lượng các ước số của $n$ nằm trong đoạn $[1, n^{\frac 1k}]$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 2$ , ta có $d_{k + 1} \geq \sqrt{2d_k} - k - \frac 12$ .

Bài 11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795164p37494678
Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ lần lượt tại $S$ và $T$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $U$ và $V$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle CDA$ tiếp xúc với $CD$ và $DA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $Z$ và $W$ ; đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ ; và đường tròn bàng tiếp góc $C$ của $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Chứng minh rằng nếu tứ giác tạo bởi các đường thẳng $SY, TX, UW$ và $VZ$ là tứ giác nội tiếp, thì $E, F, G$ và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 12. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795181p37494888
Cho $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử, $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $A$ , sao cho hợp của tất cả các tập hợp trong $\mathcal{F}$ là $A$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathcal{G}$ của $\mathcal{F}$ , sao cho có một tập con $T$ của $A$ , thỏa mãn:
(i) $|T| \ge \frac{n}{1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n}$ ;
(ii) $T$ được chứa trong hợp của tất cả các tập hợp thuộc $\mathcal{G}$ ;
(iii) $X \cap Y \cap T = \varnothing$ với mọi cặp tập hợp $X, Y$ phân biệt thuộc $\mathcal{G}$ .

Continue reading →

2026 USA IMO Team Selection Test

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733926p36710571

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô màu các hệ số khác không của đa thức

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{k=0}^{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-k)$

bằng $2^n-1$ màu sao cho tổng các hệ số của mỗi màu bằng $0$ , và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733954p36710650

Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $p$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\sum_{k=1}^{b}(-1)^{\lfloor(a-1)k/p\rfloor+\lfloor ak/p\rfloor}\ge0.$

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733942p36710611

Chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp con $S$ nào của $\mathbb{R}^{2}$ , tồn tại một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$ mà phần trong của nó chứa hoặc $0$ điểm, hoặc nhiều hơn $2025$ điểm của $S$ .