Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

Bankan MO 2017


Bài 1. Giải phương trình x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\quad (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC\omega là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi t_Bt_C là hai tiếp tuyến của \omega tại BC tương ứng, và L là giao điểm của chúng. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt t_C tại D. Đường thẳng qua C và song song với AB cắt t_B tại E. (BDC) cắt đoạn AC tại T. (BEC) cắt AB tại S sao cho B nằm giữa SA. Chứng minh rằng ST, ALBC đồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{N}^* sao cho

n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*. Continue reading “Bankan MO 2017”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”

APMO 2017


Bài 1. Ta gọi một bộ 5 số nguyên là sắp xếp được nếu có thể đánh số chúng thành a, b, c, d, e để a-b+c-d+e=29. Tìm tất cả các bộ 2017 số nguyên (n_1, n_2, . . . , n_{2017}) sao cho khi ta đặt chúng lên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ, mỗi 5 số liên tiếp trên đường tròn tạo thành một bộ sắp xếp được.

Bài 2. Cho tam giác ABCAB < AC. Gọi D là giao điểm của phân giác trong của \widehat{BAC} và đường tròn (ABC). Gọi Z là giao điểm của trung trực của AC với phân giác ngoài của \widehat{BAC}. Chứng minh rằng trung điểm của AB nằm trên đường tròn (ADZ).

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi A(n) là số các dãy a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k các số nguyên dương thỏa mãn a_1+\cdots{}+a_k = na_i +1 là một lũy thừa của 2 với mỗi i = 1,2,\cdots{},k, B(n) là số các dãy b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m các số nguyên dương sao cho b_1+\cdots{}+b_m =nb_j\ge 2b_{j+1} với mỗi j=1,2,\cdots{}, m-1. Chứng minh rằng A(n) = B(n),\quad\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 4. Một số hữu tỷ r được gọi là tốt nếu r=\dfrac{p^k}{q} với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau p, q và số nguyên k >1. Cho a, b, c là các số hữu tỷ dương sao cho abc = 1. Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho a^x + b^y + c^z là số nguyên. Chứng minh rằng cả a, b, c là tốt. Continue reading “APMO 2017”

Canada MO 2017


Bài 1. Cho a,b,c là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2.

Bài 2. Cho hàm f(n) từ tập các số nguyên dương đến chính nó sao cho f(f(n)) là số ước dương của n. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì f(p) là số nguyên tố.

Bài 3. Cho số nguyên dương n. Một tập con khác rỗng T_n của [n] được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng các phần tử của T_n bằng trung gian của T_n. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, số tập con cân bằng của [n] là lẻ. Continue reading “Canada MO 2017”