Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Hãy giải bài toán sau theo ít nhất cách:
Bài toán. Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương
sao cho với mỗi số nguyên dương
, ta có
Cho là một tập hợp gồm
điểm trong mặt phẳng. Gọi
là dãy giảm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm thuộc
và
lần lượt là bội của chúng.
1) Chứng minh rằng
2) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì số đường chéo dài nhất của đa giác này không vượt quá
3) Chứng minh rằng
4) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì
Khi
là số lẻ và có đẳng thức, chứng minh đa giác là
giác đều.
5) Chứng minh rằng nếu các phần tử của là các đỉnh của một
giác lồi thì
6) Chứng minh rằng
Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề luyện tập cho học sinh lớp 10 Chuyên toán năm học 2022-2023.
Đây là bài trả lời cho câu hỏi: Em mới vào lớp 10 Chuyên toán, em nên có những cuốn sách nào?
0) Tài liệu giáo khoa Chuyên toán lớp 10 (gồm cả SBT).
1) Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates
2) Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems
3) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
4) Titu Andreescu, Sam Korsky, and Cosmin Pohoata, Lemmas in Olympiad Geometry.
5) Các bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng.
6) David Burton, Elementary Number Theory.
7) Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức (Tập 1 và 2).
IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.
I. Danh sách đội tuyển Việt Nam
Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)
Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)
Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)
Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)
Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)
Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.
II. Đề thi và đáp án
Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂
III. Kết quả
Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?
Trong kì thi chọn HSG QG của Trung Quốc năm 2016 có bài toán dưới đây:
Bài toán (CMO 2016/3). Cho số nguyên tố lẻ và các số nguyên
. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc
với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,
Ở đây chỉ số được mở rộng theo
Bài toán tổng quát. Cho số nguyên tố lẻ số nguyên dương
và các số nguyên
. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương:
1) Tồn tại đa thức bậc
với hệ số nguyên sao cho
2) Với mỗi số nguyên dương ,
Ở đây chỉ số được mở rộng theo
Chúng ta đã biết là với mỗi số nguyên dương dãy Fibonacci modulo
là một dãy tuần hoàn. Với mọi số nguyên dương
gọi
là chu kỳ cơ sở của dãy đó. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh cho kết quả sau:
Định lí (D. D. Wall, 1960). Với mọi số nguyên
là một số chẵn.
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương cố định nó. Gọi
là số nguyên dương bé nhất sao cho
chia hết cho
và
là tỷ số vàng.
Vì nên
do đó
Từ kết quả trên ta có suy ra
Bây giờ trong ta có
suy ra
nhưng ta biết
do đó
Nếu
không phải là số chẵn thì
và
là số lẻ. Khi đó từ
ta được
suy ra
Kết hợp điều này với
ta thu được
vô lý.
Một chứng minh khác có trong bài của Wall ở AMM, Vol 67, trang 525.
Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.
I) Danh sách đội tuyển Việt Nam
Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.
Dưới đây là danh sách 6 học sinh:
1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN
2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN
3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam
4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN
5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM
6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
II) Đề thi – Đáp án
Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.
III) Kết quả
Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm
và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm
Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!
HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với số điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.
Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.
Chỉ có đúng 1 thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.
Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.
IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.
Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một số đề luyện tập cho học sinh lớp 9 năm học 2021-2022.
Continue reading “Lớp 9 năm học 2021-2022: Một số đề luyện tập”