Một mô hình của OpenAI đã bác bỏ một giả thuyết trung tâm trong hình học rời rạc

Bài từ OpenAI, dịch bởi Gemini.

Trong gần 80 năm qua, các nhà toán học đã nghiên cứu một câu hỏi tưởng chừng đơn giản: nếu bạn đặt $n$ điểm trên mặt phẳng, có bao nhiêu cặp điểm có khoảng cách bằng đúng 1?

Đây là bài toán khoảng cách đơn vị trên mặt phẳng, được Paul Erdős đề xuất lần đầu tiên vào năm 1946. Nó là một trong những câu hỏi nổi tiếng nhất trong hình học tổ hợp, dễ phát biểu nhưng lại đặc biệt khó giải quyết. Cuốn sách năm 2005 Research Problems in Discrete Geometry (Các vấn đề nghiên cứu trong Hình học Rời rạc) của Brass, Moser và Pach, gọi nó là “có lẽ là bài toán được biết đến nhiều nhất (và dễ giải thích nhất) trong hình học tổ hợp.” Noga Alon, một chuyên gia hàng đầu về tổ hợp tại Đại học Princeton, mô tả đây là “một trong những bài toán yêu thích của Erdős.” Erdős thậm chí còn từng treo thưởng tiền mặt cho ai giải quyết được bài toán này.

Hôm nay, chúng tôi chia sẻ một bước đột phá về bài toán khoảng cách đơn vị. Kể từ công trình nguyên bản của Erdős, niềm tin phổ biến luôn là các cấu hình “lưới vuông” về cơ bản đã là tối ưu nhất để tối đa hóa số lượng các cặp có khoảng cách bằng 1. Một mô hình nội bộ của OpenAI đã bác bỏ giả thuyết tồn tại từ lâu này, cung cấp một họ vô hạn các ví dụ mang lại sự cải thiện theo đa thức (polynomial improvement). Lời chứng minh này đã được kiểm tra bởi một nhóm các nhà toán học độc lập bên ngoài. Họ cũng đã viết một bài báo đồng hành giải thích lập luận, đồng thời cung cấp thêm kiến thức nền và bối cảnh cho tầm quan trọng của kết quả này.

Kết quả này cũng đáng chú ý ở chính cách nó được tìm ra. Lời chứng minh xuất phát từ một mô hình suy luận đa dụng mới, thay vì một hệ thống được huấn luyện chuyên biệt cho toán học, hay được thiết kế thuật toán tìm kiếm qua các chiến lược chứng minh, hoặc nhắm mục tiêu cụ thể vào bài toán khoảng cách đơn vị. Là một phần của nỗ lực rộng lớn hơn nhằm kiểm tra xem các mô hình tiên tiến có thể đóng góp cho nghiên cứu tuyến đầu hay không, chúng tôi đã đánh giá nó trên một tập hợp các bài toán của Erdős. Trong trường hợp này, nó đã đưa ra một lời giải chứng minh trọn vẹn bài toán mở này.

Chứng minh này là một cột mốc quan trọng đối với cả cộng đồng toán học và AI. Nó đánh dấu lần đầu tiên một bài toán mở nổi bật, mang tính trọng tâm của một phân ngành toán học, được giải quyết một cách tự động bởi AI. Nó cũng chứng minh chiều sâu suy luận mà các hệ thống này hiện có thể hỗ trợ. Toán học cung cấp một nền tảng thử nghiệm đặc biệt rõ ràng cho khả năng suy luận: các bài toán rất chính xác, các chứng minh tiềm năng có thể được kiểm tra, và một lập luận dài chỉ có giá trị nếu logic được kết nối chặt chẽ từ đầu đến cuối. Phương pháp giải quyết bài toán cũng rất đáng chú ý. Lời giải đã mang những ý tưởng phức tạp, bất ngờ từ lý thuyết số đại số (algebraic number theory) để áp dụng vào một câu hỏi hình học sơ cấp.

Chủ nhân huy chương Fields Tim Gowers, viết trong bài báo đồng hành, gọi kết quả này là “một cột mốc trong toán học AI.” Theo nhà lý thuyết số hàng đầu Arul Shankar, “Theo ý kiến của tôi, bài báo này chứng minh rằng các mô hình AI hiện tại không chỉ dừng lại ở vai trò trợ lý cho các nhà toán học con người – chúng có khả năng tạo ra những ý tưởng nguyên bản đầy khéo léo, và sau đó đưa chúng đến thành quả cuối cùng”.

Ý kiến của các nhà toán học về kết quả này:

Noga Alon: “Đây là một trong những bài toán yêu thích của Erdős, chính tôi đã nghe ông nhắc đến bài toán này nhiều lần trong các bài giảng của mình. Tôi tin rằng có thể nói công bằng rằng mọi nhà toán học làm việc trong lĩnh vực Hình học Tổ hợp đều đã từng nghĩ về bài toán này, và rất nhiều nhà toán học làm việc ở các lĩnh vực khác cũng đã dành ít nhất một chút thời gian để suy nghĩ về nó… Giải pháp cho bài toán từ mô hình nội bộ của Open AI, theo ý kiến của tôi, là một thành tựu xuất sắc, giải quyết dứt điểm một bài toán mở đã tồn tại từ lâu. Việc đáp án đúng không phải là $n^{1+o(1)}$ là một điều đáng ngạc nhiên, và cách xây dựng cấu hình cùng phân tích của nó đã áp dụng các công cụ khá phức tạp từ lý thuyết số đại số một cách thanh lịch và thông minh.”
Tim Gowers: “Không có nghi ngờ gì rằng giải pháp cho bài toán khoảng cách đơn vị là một cột mốc trong toán học AI: nếu một con người viết bài báo này và gửi cho tờ Annals of Mathematics và tôi được yêu cầu đưa ra ý kiến nhanh, tôi sẽ đề nghị chấp nhận mà không hề do dự. Chưa có chứng minh nào do AI tạo ra trước đây có thể tiến gần đến mức đó.”
Arul Shankar: “Chuỗi suy luận (CoT) của mô hình cực kỳ thú vị. Đáng chú ý là phần lớn các luồng suy nghĩ đều cố gắng xây dựng một phản ví dụ cho giới hạn trên (upper bound) vốn được nhiều người tin tưởng, thay vì cố gắng chứng minh nó. Điều này lập luận rằng mô hình có sự kết hợp của trực giác tốt, sự sẵn sàng thử các phương pháp tiếp cận mà cộng đồng coi là ‘mò kim đáy bể’ (long-shot), và một thiên hướng nỗ lực xây dựng các cấu hình… Theo ý kiến của tôi, bài báo này chứng minh rằng các mô hình AI hiện tại không chỉ là những người trợ lý cho các nhà toán học con người – chúng có khả năng có những ý tưởng nguyên bản khéo léo, và đưa chúng đến kết quả cuối cùng.”
Jacob Tsimerman: “Đây là một tác phẩm thực sự ấn tượng, và tôi sẽ chấp nhận nó cho bất kỳ tạp chí nào mà không ngần ngại. Tôi thực sự đã từng nghiên cứu bài toán này một thời gian ngắn và cố gắng tạo ra một phản ví dụ, nhưng không tiến triển được… Chắc chắn đây là một cấu hình rất đáng sợ để đọc hiểu ngay cả khi bạn biết những gì đang diễn ra, và thậm chí còn khó hơn nhiều để tự mình triển khai.”

Bài toán khoảng cách đơn vị

Cho $u(n)$ là số lượng lớn nhất có thể của các cặp khoảng cách đơn vị trong số $n$ điểm trên mặt phẳng. Rất dễ để xây dựng các ví dụ đạt được tốc độ tăng trưởng tuyến tính: đặt $n$ điểm trên một đường thẳng sẽ cho $n-1$ cặp, trong khi một lưới vuông cho khoảng $2n$ cặp. Cấu hình tốt nhất được biết đến trước đây, xuất phát từ một lưới vuông được thu phóng, hóa ra lại cho nhiều hơn thế: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ với $C$ là một hằng số. Vì $\log \log(n)$ tiến đến vô cùng theo $n$ , nên số hạng bổ sung trong số mũ tiến đến 0, có nghĩa là các cấu hình này đạt được tốc độ tăng trưởng chỉ nhanh hơn tuyến tính một chút. Trong nhiều thập kỷ, người ta tin rộng rãi rằng tốc độ này về cơ bản là tốt nhất có thể, và không có cấu hình nào có thể cải thiện đáng kể so với lưới vuông. Về mặt kỹ thuật, Erdős phỏng đoán một giới hạn trên là $n^{1+o(1)}$ trong đó $o(1)$ chỉ ra một số hạng tiến tới 0 theo $n$ .

Kết quả mới của chúng tôi đã bác bỏ giả thuyết này. Chính xác hơn, với vô hạn giá trị của $n$ , lời chứng minh xây dựng các cấu hình gồm $n$ điểm với ít nhất $n^{1+\delta}$ cặp khoảng cách đơn vị, với một số mũ cố định $\delta > 0$ . (Lời chứng minh AI gốc không đưa ra một $\delta$ cụ thể, nhưng một tinh chỉnh sắp tới do giáo sư toán học Will Sawin của Princeton thực hiện đã chỉ ra rằng người ta có thể lấy $\delta=0.014$ ).

Lịch sử của bài toán giúp chúng ta thấy tại sao kết quả này lại đáng kinh ngạc. Giới hạn dưới (lower bound) tốt nhất được biết đến về cơ bản đã không thay đổi kể từ cấu hình nguyên bản năm 1946 của Erdős. Giới hạn trên tốt nhất, $O(n^{4/3})$ , có từ công trình của Spencer, Szemerédi, và Trotter năm 1984, và mặc dù sau đó có những tinh chỉnh và công trình cấu trúc liên quan của Székely, Katz và Silier, Pach, Raz, và Solymosi cùng những người khác, giới hạn trên này về cơ bản vẫn không thay đổi. Như một bằng chứng ủng hộ cho giả thuyết, Matoušek và Alon-Bucić-Sauermann đã nghiên cứu bài toán với các khoảng cách phi Euclid trên mặt phẳng, và chứng minh rằng “phần lớn” các khoảng cách phi Euclid này tuân theo giả thuyết theo một nghĩa nào đó.

Đáng ngạc nhiên là, các thành phần cốt lõi của cấu hình lại đến từ một phần rất khác của toán học được gọi là lý thuyết số đại số, nghiên cứu các khái niệm như phân tích nhân tử trong các phần mở rộng của số nguyên được gọi là các trường số đại số (algebraic number fields).

Những kỹ thuật mới từ lý thuyết số đại số

Ở mức độ tổng quan, lời chứng minh bắt đầu với một ý tưởng hình học quen thuộc và đẩy nó theo một hướng bất ngờ.

Giới hạn dưới ban đầu của Erdős có thể được hiểu thông qua các số nguyên Gauss (Gaussian integers): các số có dạng $a+bi$ , trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên và $i$ là căn bậc hai của $-1$ . Số nguyên Gauss mở rộng các số nguyên thông thường và, giống như chúng, có được các đặc tính như phân tích duy nhất thành các số nguyên tố. Những sự mở rộng như vậy của số nguyên hoặc số hữu tỉ thông thường được gọi là các trường số đại số. Lập luận mới thay thế các số nguyên Gauss bằng các dạng tổng quát hóa phức tạp hơn từ lý thuyết số đại số với các tính đối xứng phong phú hơn, có thể tạo ra nhiều hơn đáng kể các hiệu số có độ dài bằng đơn vị.

Lập luận chính xác sử dụng các công cụ như tháp trường lớp vô hạn (infinite class field towers) và lý thuyết Golod–Shafarevich để chứng minh rằng các trường số cần thiết cho lập luận thực sự tồn tại. Những ý tưởng này rất quen thuộc đối với các nhà lý thuyết số đại số, nhưng thật là một bất ngờ lớn khi những khái niệm này lại có ý nghĩa đối với các câu hỏi hình học trong mặt phẳng Euclid.

Ý nghĩa của điều này đối với toán học

Kết quả này đánh dấu một khoảnh khắc quan trọng trong sự tương tác giữa AI và toán học: một hệ thống AI đã tự động giải quyết một bài toán mở tồn tại từ lâu, đóng vai trò trung tâm của một lĩnh vực đang hoạt động tích cực. Nó cũng mang đến cái nhìn thoáng qua sớm về một kiểu hợp tác mới giữa AI và các nhà toán học con người. Trong trường hợp này, công trình đồng hành của các nhà toán học bên ngoài đã vẽ nên một bức tranh phong phú hơn rất nhiều so với chỉ riêng lời giải nguyên bản.

Như Thomas Bloom viết trong ghi chú đồng hành:

“Khi đánh giá tầm quan trọng và sự ảnh hưởng của một chứng minh do AI tạo ra, câu hỏi tôi tự đặt ra cho mình là: điều này có dạy chúng ta điều gì mới về bài toán không? Hiện tại chúng ta có hiểu hình học rời rạc tốt hơn không? Tôi nghĩ câu trả lời là một từ ‘có’ có chừng mực: điều này cho thấy rằng các cấu hình lý thuyết số có nhiều điều để nói về những dạng câu hỏi này hơn chúng ta tưởng; hơn nữa, phần lý thuyết số được yêu cầu có thể rất sâu sắc. Không nghi ngờ gì nữa, nhiều nhà lý thuyết số đại số sẽ xem xét kỹ lưỡng các bài toán mở khác trong hình học rời rạc trong những tháng tới.”

Sự kết nối bất ngờ giữa lý thuyết số đại số và hình học rời rạc được bộc lộ bởi lời giải là một phần khiến kết quả này trở nên đáng chú ý. Nó không đơn thuần giải quyết một giả thuyết cụ thể, mà còn có thể cung cấp cho các nhà toán học một cây cầu để bắt đầu khám phá thêm các bài toán liên quan khác.

Bloom cũng hướng tới một khả năng rộng lớn hơn:

“Ranh giới của tri thức phát triển như những mũi nhọn (rất không đồng đều), và không có gì phải nghi ngờ rằng trong những tháng và năm tới sẽ chứng kiến những thành công tương tự trong nhiều lĩnh vực toán học khác, nơi các bài toán mở tồn tại từ lâu được giải quyết bởi một AI bộc lộ những kết nối bất ngờ và đẩy bộ máy kỹ thuật hiện tại đến giới hạn của nó. AI đang giúp chúng ta khám phá trọn vẹn hơn thánh đường toán học mà chúng ta đã xây dựng qua nhiều thế kỷ; những kỳ quan chưa từng thấy nào khác đang chực chờ phía sau cánh gà?”

Kết quả này cung cấp một ví dụ đầy hứa hẹn: AI không chỉ đóng góp một lời giải, mà còn là một sự khám phá toán học mà ý nghĩa của nó trở nên rõ ràng và phong phú hơn thông qua sự thấu hiểu tiếp nối của con người.

Tại sao điều này lại quan trọng

Bài học rút ra còn lớn hơn kết quả cụ thể này. Khả năng suy luận toán học tốt hơn có thể biến AI thành một đối tác nghiên cứu mạnh mẽ hơn: một thứ có thể gắn kết các luồng tư duy khó nhằn lại với nhau, kết nối các ý tưởng giữa các mảng kiến thức xa lạ, phát hiện ra các con đường đầy hứa hẹn mà các chuyên gia có thể chưa ưu tiên, và giúp các nhà nghiên cứu đạt được tiến bộ trên những bài toán mà nếu không có nó, sẽ quá phức tạp hoặc tốn nhiều thời gian để giải quyết.

Những khả năng đó quan trọng vượt ra ngoài toán học. Nếu một mô hình có thể giữ cho một lập luận phức tạp mạch lạc, kết nối các ý tưởng qua các vùng tri thức xa lạ và tạo ra những công trình vượt qua được sự giám sát của chuyên gia, thì đó cũng là những khả năng hữu ích trong sinh học, vật lý, khoa học vật liệu, kỹ thuật và y học. Và chúng là một phần trong lộ trình dài hạn của chúng tôi hướng tới những nghiên cứu tự động hóa hơn: các hệ thống có thể giúp các nhà khoa học và kỹ sư khám phá nhiều ý tưởng hơn và theo đuổi các câu hỏi kỹ thuật hóc búa hơn.

AI sắp sửa bắt đầu đảm nhận một vai trò rất nghiêm túc trong các phần sáng tạo của nghiên cứu, và quan trọng nhất là trong chính nghiên cứu về AI. Dù tiến bộ này không nằm ngoài dự đoán, nó củng cố thêm tính cấp bách mà chúng tôi cảm nhận được về việc cần phải thấu hiểu giai đoạn phát triển tiếp theo này của AI, những thách thức của việc hiệu chỉnh (aligning) các hệ thống siêu thông minh, và tương lai của sự hợp tác giữa con người và AI.

Tương lai đó vẫn phụ thuộc vào phán đoán của con người. Chuyên môn hóa trở nên có giá trị hơn chứ không phải kém đi. AI có thể giúp tìm kiếm, đề xuất và xác minh. Con người sẽ chọn những bài toán quan trọng, diễn giải các kết quả và quyết định những câu hỏi nào sẽ theo đuổi tiếp theo.

Các đường dẫn tham khảo

[1] https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

[2] Will Sawin, An explicit lower bound for the unit distance problem: https://arxiv.org/abs/2605.20579

[3] Noga Alon, Thomas F. Bloom, W. T. Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang, Melanie Matchett Wood Remarks on the disproof of the unit distance conjecture: https://arxiv.org/abs/2605.20695

Đài Loan Cân Nhắc Đưa Bitcoin Vào Quỹ Dự Trữ Ngoại Hối 602 Tỷ USD

Vào ngày 29/04/2026, Tiến sĩ Ko Ju-Chun – một nhà lập pháp tại Đài Loan – đã chính thức đệ trình đề xuất lên Thủ tướng và Thống đốc Ngân hàng Trung ương nước này về việc đưa Bitcoin vào quỹ dự trữ ngoại hối quốc gia. Động thái này không đơn thuần là một xu hướng đầu tư mang tính phong trào, mà xuất phát từ những bài toán địa chính trị và an ninh tài chính rất thực tế.

Theo số liệu từ Viện Chính sách Bitcoin (Bitcoin Policy Institute), Đài Loan hiện đang nắm giữ quỹ dự trữ ngoại hối khổng lồ lên tới 602 tỷ USD. Điểm đáng lo ngại là hơn 80% trong số đó là các tài sản định giá bằng đồng USD.

Sự tập trung quá mức này tạo ra một rủi ro kép (unique convergence of geopolitical risk and reserve concentration). Nếu đồng bạc xanh suy yếu hoặc các căng thẳng địa chính trị leo thang dẫn đến các lệnh trừng phạt hoặc phong tỏa tài chính, nền kinh tế Đài Loan sẽ bị ảnh hưởng nghiêm trọng.

Trong bối cảnh đó, Tiến sĩ Ko Ju-Chun và các nhà nghiên cứu lập luận rằng Bitcoin sở hữu những đặc tính chiến lược mà các tài sản truyền thống không có:

Tính phi tập trung: Không bị kiểm soát, đóng băng hay tịch thu bởi bất kỳ quốc gia hay tổ chức trung ương nào.
Tính cơ động tuyệt đối: Trong kịch bản dòng tiền quốc tế bị kiểm soát nghiêm ngặt hoặc tài sản vật chất (như vàng) không thể di chuyển, Bitcoin vẫn có thể được truy cập và giao dịch ở bất cứ đâu chỉ cần có mạng internet.

Đề xuất này hiện đã được chuyển giao cho cơ quan hành pháp và Ngân hàng Trung ương Đài Loan (CBC) để đánh giá. Trước đây (vào cuối năm 2025), Ngân hàng Trung ương Đài Loan từng tỏ ra e ngại việc sử dụng Bitcoin làm tài sản dự trữ do các vấn đề liên quan đến tính thanh khoản, lưu ký và biến động giá. Tuy nhiên, với áp lực đổi mới, CBC đã bắt đầu có những bước thử nghiệm nhỏ bằng việc đưa 210 Bitcoin (từ các vụ tịch thu) vào quy trình giám sát thử nghiệm.

Tiến sĩ Ko cũng yêu cầu Ngân hàng Trung ương phải đưa ra một báo cáo chi tiết về tiền mã hóa và stablecoin trong vòng 1 tháng tới.

Sự kiện này đánh dấu một bước chuyển mình quan trọng: Bitcoin đang dần bước ra khỏi khuôn khổ của một loại tài sản đầu cơ rủi ro cá nhân để được thảo luận nghiêm túc như một “công cụ an ninh quốc gia”. Dù Ngân hàng Trung ương Đài Loan có quyết định phân bổ tỷ trọng hay không, việc Bitcoin len lỏi vào nghị sự cấp cao nhất của các chính phủ cho thấy tài sản số này đang dần củng cố vị thế vững chắc của mình trên bản đồ tài chính thế giới.

Và đôi khi, việc quan sát cách các quốc gia đa dạng hóa rủi ro cũng mang lại cho chúng ta những bài học tư duy sắc bén trong việc quản trị rủi ro danh mục của chính mình.

Tài liệu tham khảo:

PR Newswire (29/04/2026): “Taiwan Legislator Delivers Bitcoin Policy Institute Report on Bitcoin Reserve to Premier and Central Bank Governor”https://www.prnewswire.com/news-releases/taiwan-legislator-delivers-bitcoin-policy-institute-report-on-bitcoin-reserve-to-premier-and-central-bank-governor-302758193.html
Binance News (01/05/2026): “Taiwanese Legislator Proposes Bitcoin Allocation from Foreign Exchange Reserves”https://www.binance.com/en/square/post/05-02-2026-taiwanese-legislator-proposes-bitcoin-allocation-from-foreign-exchange-reserves-318686837668642
TradingView News (01/05/2026): “Taiwan Pushes Bitcoin Reserve Strategy to Reduce Dollar Dependence”https://www.tradingview.com/news/coinpedia:a9a9e53fb094b:0-taiwan-pushes-bitcoin-reserve-strategy-to-reduce-dollar-dependence/
Video Toàn cảnh buổi điều trần trên YouTube: Đài truyền hình hoặc kênh tin tức lưu trữ lại phần trình bày đề xuất tại Viện Lập Pháp.https://www.youtube.com/watch?v=0IvteOZA6t4 (Tiêu đề: Taiwan Legislator Delivers Bitcoin Policy Institute Report on Bitcoin Reserve)

European Mathematical Olympiad 2026

Cộng đồng Toán học vừa đón nhận một thông tin vô cùng thú vị: sự ra đời của Kỳ thi Olympic Toán Châu Âu (European Mathematical Olympiad – EMO). Lần tổ chức đầu tiên (EMO 2026) sẽ do Lithuania và Ukraine đồng đăng cai.

Khác với cấu trúc 3 bài/ngày quen thuộc của IMO, EMO yêu cầu thí sinh giải quyết 4 bài toán mỗi ngày trong vòng 4,5 giờ. Hai ngày thi đồng nghĩa với 8 bài toán, phủ đều 4 phân môn kinh điển: Đại số, Hình học, Tổ hợp và Số học.

Sự thay đổi này đòi hỏi các em học sinh không chỉ có nền tảng kiến thức toàn diện ở mọi phân môn mà còn phải có chiến thuật phân bổ thời gian cực kỳ hợp lý, rèn luyện một sức bền tư duy đáng nể. Điểm tối đa cho một bài toán trọn vẹn vẫn là 7 điểm.

Mỗi quốc gia hoặc vùng lãnh thổ được mời sẽ cử một đội tuyển gồm tối đa 6 học sinh, 1 Trưởng đoàn (Leader) và 1 Phó đoàn (Deputy Leader). Các thí sinh phải vượt qua kỳ thi tuyển chọn quốc gia và nằm trong độ tuổi quy định (sinh từ 1/7/2006 trở về sau đối với kỳ thi năm 2026). Đặc biệt, nước chủ nhà sẽ được quyền cử tối đa hai đội tham gia cọ xát.

EMO duy trì tính cạnh tranh cao với việc giới hạn tổng số giải thưởng không vượt quá 50% tổng số thí sinh, chia theo tỉ lệ Nhất : Nhì : Ba xấp xỉ 1:2:3. Tuy nhiên, kỳ thi vẫn giữ truyền thống trao Bằng danh dự (Honourable Mention) cho bất kỳ thí sinh nào không đạt huy chương nhưng giành trọn vẹn 7 điểm ở ít nhất một bài toán. Ban tổ chức cũng hé lộ sẽ có các giải thưởng đặc biệt dành cho những lời giải xuất sắc, sáng tạo và độc đáo nhất.

Bên cạnh các định lý và những lời giải đẹp, quy chế của EMO 2026 nhấn mạnh rất rõ vào giá trị giao lưu văn hóa và tinh thần fair-play. Kỳ thi cam kết tạo ra một môi trường tôn trọng, tuyệt đối không có sự phân biệt đối xử, hướng tới tình hữu nghị giữa các nhà toán học trẻ. Mảng hoạt động ngoại khóa, văn hóa và trao đổi phương pháp giảng dạy giữa các chuyên gia cũng được xem là một trụ cột quan trọng của kỳ thi.

Dưới đây là đề thi EMO 2026:

EMO2026_Day1 Download

EMO2026_Day2 Download

Nguồn: https://emo2026.lt/

Vietnam Team Selection Test 2026

Day 1 (March 26, 2025)

Time allowed: 270 minutes

Problem 1. For a positive integer $k$ , a set $S$ of positive integers is called a $k$ -Olympic set if it satisfies the following conditions simultaneously:
(i) $S \neq \emptyset$ .
(ii) For every $n \in S$ , all positive divisors of $(25^n - 3^n)k^n$ also belong to $S$ .
Find all positive integers $k$ such that there is exactly one such $k$ -Olympic set.

Problem 2. Let $n$ be a positive integer, and in a country, there are $8n+3$ airports. Between any two airports, there is either a direct flight or not. Given that if there is no direct flight between two airports, the difference in the number of direct flights from these two airports is exactly 2. Determine the minimum possible total number of direct flights.

Problem 3. Let $ABC$ be an acute non-isosceles triangle with altitudes $AD, BE, CF$ . From vertex $A$ , drop perpendiculars to the lines $EF, FD, DE$ , denoted as $X, Y, Z$ respectively. Let the line $BZ$ intersect the circumcircle of triangle $BDY$ again at $P$ , and let the line $CY$ intersect the circumcircle of triangle $CDZ$ again at $Q$ . Prove that point $X$ has the same power with respect to the two circles $(YFP)$ and $(ZEQ)$ .

Day 2 (March 27, 2026)

Time allowed: 270 minutes

Problem 4. Let $ABC$ be a triangle with $O$ being the midpoint of $BC$ . Draw the tangents $AE, AF$ to the circle $(O)$ with diameter $BC$ , where $E, F \in (O)$ . The rays $AE, AF$ intersect $BC$ at points $K, L$ , respectively. Let $KF, LE$ intersect $(O)$ again at points $M, N$ , respectively. The circumcircle of triangle $MON$ intersects the circles with diameters $AB, AC$ again at points $X, Y$ , respectively. Prove that $\angle XAB = \angle YAC$ .

Problem 5. Given positive integers $k, n$ such that $k < n$ . Find all polynomials $P(x)$ with real coefficients of degree $kn$ and leading coefficient $1$ , such that the polynomial

$Q(x) = P(x^{n+1}) - P(x)^n$ has degree at most $kn(n-1)$ .

Problem 6. Let $\mathcal{H}$ be a family of subsets of the set ${1, 2, 3, \ldots, 2027}$ with the following property: for any set $A \in \mathcal{H}$ and any subset $B \subset A$ , we have $B \in \mathcal{H}$ . Let $l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}$ be the number of subsets in $\mathcal{H}$ that have an even number of elements and an odd number of elements, respectively. Prove that $l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le C^{1013}_{2026}$ .

China Team Selection Test 2026

China TST 2026 gồm 2 vòng, mỗi vòng 12 bài toán (chia làm 4 bài kiểm tra).

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790830p37427165
Cho ${F_n}$ là dãy Fibonacci, trong đó $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , và định nghĩa $F_{-1}, F_{-2}, \ldots$ bằng hệ thức truy hồi. Ban đầu, cặp số $(0,0)$ được viết trên bảng. Trong mỗi thao tác, ta xóa cặp số $(x, y)$ hiện tại và viết lên bảng cặp $(x + F_k, y + F_{k+1})$ hoặc $(x - F_k, y - F_{k+1})$ , trong đó $k$ là một số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ sao cho với mọi số nguyên dương $p, q$ , ta có thể thu được cặp $(p, q)$ trong không quá $C \ln(p+q)$ thao tác.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790832p37427170
Cho đường tròn $\Omega$ , hai điểm $A, B$ nằm trên $\Omega$ , và điểm $C$ nằm trong đường tròn sao cho $\angle ACB = 90^\circ$ và $AC < BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , và $P$ là một điểm di động trên cung lớn $AB$ sao cho $\angle CMP > 90^\circ$ . Điểm $Q$ được xác định sao cho $CQ \parallel PM$ và $\angle QPM = \angle MCP$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $K$ trong mặt phẳng sao cho ta luôn có $\angle PQK = \angle PCK$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790834p37427176
Cho các số nguyên $n > k > 1$ , và $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là các số phức có mô-đun không vượt quá 1. Chứng minh rằng

$\displaystyle\left| \binom{n}{k} - \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_k} \right| \le \binom{n-1}{k-1} \left| n - \sum_{i=1}^n z_i \right|,$

và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791580p37437300
Cho $G = (V, E)$ là một đồ thị đơn, trong đó tập đỉnh $V = {(x, y, z) \mid 1 \leq x, y, z \leq 2026}$ và hai đỉnh $(x, y, z)$ và $(x', y', z')$ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi $|x - x'| + |y - y'| + |z - z'| = 1$ . Mỗi đỉnh $v$ được gán một nhãn là số thực $f(v)$ sao cho tổng của tất cả các nhãn bằng $0$ . Với một cạnh $e \in E$ , gọi $g(e)$ là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các nhãn của hai đỉnh đầu mút của cạnh $e$ . Chứng minh rằng, với mọi số thực $p \geq 1$ , ta có

$\displaystyle\sum_{v \in V} |f(v)|^p \leq 6677^p \cdot \sum_{e \in E} g(e)^p.$

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791579p37437230
Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho các cạnh của đồ thị đầy đủ $K_{2026}$ có thể được gán nhãn bởi các số $1, 2, \dots, \binom{2026}{2}$ , mỗi số được sử dụng đúng một lần, sao cho giữa hai đỉnh bất kỳ, luôn tồn tại một đường đi mà tổng các nhãn trên các cạnh của nó không vượt quá $k$ .

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791554p37436766
Cho dãy số ${a_n}$ thỏa mãn $a_1 = 2$ , và với $n \geq 2$ , $a_n$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước của $\prod_{k=1}^{n-1} (a_k + n - k)$ . Với một số nguyên tố $p$ , gọi $f(p)$ là số lần $p$ xuất hiện trong dãy này. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ và $m$ số nguyên tố phân biệt bất kỳ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ , ta có

$\displaystyle\sum_{i=1}^m f(p_i) \leq \frac{1}{2} \left( \max_{1 \leq i \leq m} p_i + \sum_{i=1}^m p_i \right).$

Bài 7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794581p37485265
Với một tập hợp hữu hạn $X$ và một số nguyên $t$ , định nghĩa $X + t = {x + t \mid x \in X}$ , và gọi $\sigma(X)$ là tổng các phần tử của $X$ . Khẳng định sau đúng hay sai: với mọi số nguyên $m \geq 2$ , luôn tồn tại một tập $A$ gồm $m$ số nguyên dương và $m$ số nguyên phân biệt từng đôi một $t_1, t_2, \dots, t_m$ sao cho

$\sigma(A \cup (A + t_1)) = \sigma(A \cup (A + t_2)) = \dots = \sigma(A \cup (A + t_m))$ ?

Bài 8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794611p37485578
Cho các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $n > 2m > 2$ . Có một nhóm gồm $n$ thành viên, và một số cặp thành viên là bạn bè của nhau, với tình bạn là hai chiều. Họ sẽ được chia thành $m$ ủy ban, mỗi thành viên tham gia đúng vào một ủy ban. Đầu tiên, chủ tịch và phó chủ tịch của mỗi ủy ban được xác định. Tại thời điểm này, người ta nhận thấy rằng có đúng một cách để phân công $n - 2m$ thành viên còn lại vào các ủy ban sao cho trong mỗi ủy ban, tất cả các thành viên (bao gồm cả chủ tịch và phó chủ tịch) đều là bạn bè của nhau từng đôi một. Cho phép một ủy ban chỉ gồm chủ tịch và phó chủ tịch. Tìm số lớn nhất có thể của các cặp bạn bè (không có thứ tự) trong số $n$ thành viên.

Bài 9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794555p37484599
Cho $m, n$ là các số nguyên dương, $P_1, P_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $m$ biến với hệ số nguyên, và $Q_1, Q_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $n$ biến với hệ số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ sao cho $P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) \neq Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ , thì phân thức

$\displaystyle\frac{P_2(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_2(b_1, b_2, \cdots, b_n)}{P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)}$

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức một biến $R(x)$ với hệ số hữu tỉ, sao cho $P_2 = R(P_1)$ và $Q_2 = R(P_2)$ .

Bài 10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795189p37495113
Cho số nguyên $n > 1$ . Với một số nguyên dương $k$ , gọi $d_k$ là số lượng các ước số của $n$ nằm trong đoạn $[1, n^{\frac 1k}]$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 2$ , ta có $d_{k + 1} \geq \sqrt{2d_k} - k - \frac 12$ .

Bài 11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795164p37494678
Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ lần lượt tại $S$ và $T$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $U$ và $V$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle CDA$ tiếp xúc với $CD$ và $DA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $Z$ và $W$ ; đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ ; và đường tròn bàng tiếp góc $C$ của $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Chứng minh rằng nếu tứ giác tạo bởi các đường thẳng $SY, TX, UW$ và $VZ$ là tứ giác nội tiếp, thì $E, F, G$ và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 12. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795181p37494888
Cho $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử, $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $A$ , sao cho hợp của tất cả các tập hợp trong $\mathcal{F}$ là $A$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathcal{G}$ của $\mathcal{F}$ , sao cho có một tập con $T$ của $A$ , thỏa mãn:
(i) $|T| \ge \frac{n}{1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n}$ ;
(ii) $T$ được chứa trong hợp của tất cả các tập hợp thuộc $\mathcal{G}$ ;
(iii) $X \cap Y \cap T = \varnothing$ với mọi cặp tập hợp $X, Y$ phân biệt thuộc $\mathcal{G}$ .

Continue reading →