VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|. Continue reading “VMO training 2017 – Part 3”

VMO training 2017 – Part 2


Link Part 1: https://nttuan.org/2016/11/08/topic-831/


Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi u_1=2

u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy số \left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác 0.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có AC > BC. Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB tại điểm thứ hai E. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với DO cắt BC tại F. Chứng minh rằng H, EF thẳng hàng.  Continue reading “VMO training 2017 – Part 2”

Chính phương và chính phương mod p


Một số chính phương đương nhiên là chính phương modulo mọi số nguyên tố, nhưng ngược lại có đúng không? Dưới đây là một số link liên quan:

1) http://mathoverflow.net/questions/135820/does-there-exist-a-non-square-number-which-is-the-quadratic-residue-of-every-pri

2) http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h64322

3) http://artofproblemsolving.com/community/c6h388566p2158819

4) http://www.artofproblemsolving.com/community/c7h34935p239819

 

Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai


Bài 1. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a) x^2-2mx+5m-4=0;

b) mx^2+mx+3=0.

Bài 2. Tìm m để phương trình (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0

a) Một nghiệm;

b) Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c) Hai nghiệm âm phân biệt.

Bài 3. Tìm m để phương trình (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0

a) Hai nghiệm cùng dấu;

b) Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c) Đúng một nghiệm dương.

Continue reading “Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”

Ôn thi học kì 1 – Lớp 12


CHƯƠNG II – HÌNH HỌC

Bài 1. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A ta lấy một điểm S tùy ý (S khác A) và dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D'.

1) Chứng minh rằng A,B,C,D,B',C',D' cùng thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó;

2) Tìm vị trí của S trên d sao cho khối chóp C'.ABCD có thể tích lớn nhất.

Bài 2.  Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để:

a) Diện tích toàn phần nhỏ nhất;

b) Diện tích xung quanh cộng diện tích một mặt đáy đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3. Trên các đường tròn đáy của một hình trụ có chiều cao h và bán kính R, ta lấy lần lượt hai điểm AB. Xác định khoảng cách giữa AB và trục của của hình trụ trong các trường hợp:

1) AB=\dfrac{3h}{2};

2) Góc giữa đáy và AB bằng \alpha.

Continue reading “Ôn thi học kì 1 – Lớp 12”

Ôn thi học kì 1 – Lớp 10


DÙNG TÍCH VÔ HƯỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1.  Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,CD. Chứng minh rằng AM\bot BN.

Bài 2. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AD=h và hai đáy AB=a,CD=b.

1) Tìm điều kiện của a,bh để AC\bot BD;

2) Gọi M là trung điểm của BC. Tìm điều kiện của a,bh để AM\bot BD.

Bài 3. Chứng minh rằng với bốn điểm A,B,C,D bất kỳ ta có

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0. Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,AC dựng ra phía ngoài các tam giác ABE,ACF vuông cân tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AI\bot EF.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH,CK là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng OA\bot HK.

Bài 6. Cho 4 điểm A,B,CD. Chứng minh rằng AB\bot CD\Leftrightarrow AC^2+BD^2=CB^2+DA^2.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A với O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của ABE là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE\bot CD.

Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác khi và chỉ khi \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.

Bài 9. Cho tứ giác lồi ABCD với X là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H,K tương ứng là trực tâm của các tam giác XAB,XCD. Gọi I,J tương ứng là trung điểm của BC,DA. Chứng minh rằng HK\bot IJ.

Bài 10. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,BC. Chứng minh rằng IE\bot CD\Leftrightarrow IF\bot AD.

Bài 11. Cho góc vuông xSy và đường tròn (O) cắt Sx tại A,BSy tại C,D. Chứng minh rằng trung tuyến vẽ từ S của tam giác SAC vuông góc với BD.

Bài 12. Cho tam giác không cân ABC. Hỏi tam giác phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng Euler của nó vuông góc với trung tuyến qua A?

Bài 13. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện. Chứng minh rằng nếu 3 trong số các đường đó đồng quy thì cả 4 đường thẳng đồng quy.

Continue reading “Ôn thi học kì 1 – Lớp 10”

Real roots of a polynomial


Cách đây vài tháng tôi có đưa lên blog này một số bài toán về nghiệm thực của đa thức, cụ thể ở các link sau:

Dưới đây là file pdf tổng hợp các bài trên sau khi nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

Continue reading “Real roots of a polynomial”

Lagrange’s interpolation polynomial (4)


Part 3’s link https://nttuan.org/2016/11/14/topic-833/


Problem 17. Prove that, for infinitely many positive integers n, there exists a polynomial P of degree n with real coefficients such that P(1),P(2),\cdots, P(n+2) are different whole powers of 2.

Problem 18. Suppose q_{0}, \, q_{1}, \, q_{2}, \ldots \; \, is an infinite sequence of integers satisfying the following two conditions:

(i)  m-n \, divides q_{m}-q_{n} for m > n \geq 0,

(ii) there is a polynomial P such that |q_{n}| < P(n) \, for all n

Prove that there is a polynomial Q such that q_{n}= Q(n) for all n.

Problem 19. Let P\in\mathbb{R}[x] such that for infty of integer number c : Equation P(x)=c has more than one integer root. Prove that P(x)=Q((x-a)^{2}), where a\in\mathbb R and Q is a polynomial.

Problem 20. Find all the polynomials P(x) with odd degree such that

P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.

Problem 21. Suppose p(x) is a polynomial  with integer coefficients assumes at n distinct integral values of x that are different form 0 and in absolute value less than  \dfrac{(n-[\frac n2])!}{2^{n-[\frac n2]}} . Prove that p(x) is irreducible.

Prove that the bound may be replaced by (\dfrac d2)^{n-[\frac n2]}(n-[\frac n2])! where d is minimum distance between any two of the n integral values of x where p(x) assumes the integral values considered.

Continue reading “Lagrange’s interpolation polynomial (4)”

Lagrange’s interpolation polynomial (3)


Part 2’s link https://nttuan.org/2016/11/13/topic-832/


Problem 9. Let t and n be fixed integers each at least 2. Find the largest positive integer m for which there exists a polynomial P, of degree n and with rational coefficients, such that the following property holds: exactly one of  \displaystyle\frac{P(k)}{t^k} \text{ and } \frac{P(k)}{t^{k+1}}  is an integer for each k = 0,1, ..., m.

Problem 10. Let f\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_{1}x+a_{0} be a polynomial. Prove that we have an \displaystyle i\in \left \{ 1,2,...,n \right \}\mid  \left | f\left ( i \right ) \right |\geq \frac{n!}{\binom{n}{i}}.

Problem 11.  Let (F_n)_{n\geq 1} be the Fibonacci sequence F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1), and P(x) the polynomial of degree 990 satisfying

P(k) = F_k, \qquad \text{ for } k = 992, . . . , 1982. Prove that P(1983) = F_{1983} - 1.

Continue reading “Lagrange’s interpolation polynomial (3)”