IMO Shortlist 2015 – Geometry


Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!

G1. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Gọi G là điểm sao cho ABGH là một hình bình hành. Gọi I là điểm trên đường thẳng GH sao cho AC chia đôi HI. Giả sử đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GCI tại CJ. Chứng minh IJ = AH.

G2. Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Một đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn BC tại DE sao cho B, D, E, và C khác nhau và nằm trên BC theo thứ tự này. Cho FG là giao điểm của \Gamma\Omega sao cho A, F, B, C, và G nằm trên \Omega theo thứ tự này. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn CA. Giả sử FKGL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X thuộc AO.

G3. Cho tam giác ABC với \angle{C} = 90^{\circ}, và H là chân đường cao qua C. Chọn điểm D bên trong tam giác CBH sao cho CH chia đôi AD. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BDCH. Gọi \omega là nửa đường tròn đường kính BD cắt đoạn CB tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua P tiếp xúc với \omega tại Q. Chứng minh CQAD cắt nhau trên \omega.

G4. Cho tam giác nhọn ABCM là trung điểm của AC. Một đường tròn \omega qua BM cắt các cạnh ABBC lần lượt tại PQ. Gọi T là điểm sao cho BPTQ là một hình bình hành. Giả sử rằng T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \dfrac{BT}{BM}.

G5. Cho tam giác ABC với CA \neq CB. Gọi D, F, và G lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC. Một đường tròn \Gamma qua C và tiếp xúc với AB tại D cắt đoạn AF và đoạn BG lần lượt tại HI. Các điểm H'I' đối xứng với HI qua FG, tương ứng. Đường thẳng H'I' cắt CDFG lần lượt tại QM. Đường thẳng CM cắt \Gamma lần hai tại P. Chứng minh CQ = QP.

G6. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, và F là chân đường cao qua A của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm trên \Gamma sao cho \angle HQA = 90^{\circ}K là điểm trên \Gamma sao cho \angle HKQ = 90^{\circ}. Giả sử rằng A, B, C, KQ khác nhau và nằm trên \Gamma theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác FKM. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Geometry”

IMO Shortlist 2015 – Combinatorics


Mọi người xem phần đầu ở đây nhé: Algebra https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/. Dưới đây là phần Tổ hợp.

C1. Ở Lineland có n\geq1 thị trấn, được sắp xếp dọc một con đường từ trái sang phải. Mỗi thị trấn có một xe ủi trái (đặt bên trái của thị trấn và hướng sang trái) và một xe ủi phải (đặt bên phải của thị trấn và hướng sang phải). Kích thước của 2n xe ủi là đôi một khác nhau. Tại mỗi thời điểm khi một xe ủi trái đối diện một xe ủi phải, xe lớn hơn sẽ đẩy xe nhỏ hơn ra khỏi đường. Mặt khác, các xe ủi sẽ không được bảo vệ đằng sau; vì vậy, nếu một xe ủi húc vào đuôi của xe khác thì nó sẽ đẩy xe bị húc ra khỏi đường. Cho AB là hai thị trấn, với B nằm bên phải A. Ta nói A có thể quét B biến mất nếu xe ủi phải của A có thể di chuyển đến B và đẩy tất cả xe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Tương tự, B có thể quét A biến mất nếu xe ủi trái của B có thể di chuyển tới A và đẩy tất cả xe ủi mà nó gặp ra khỏi đường. Chứng minh rằng có đúng một thị trấn không bị quét biến mất bởi mỗi thì trấn còn lại.

C2. Ta nói tập hữu hạn \mathcal{S} các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu với mỗi hai điểm khác nhau AB trong \mathcal{S}, tồn tại C trong \mathcal{S} sao cho AC=BC. Ta nói \mathcal{S}không tâm nếu với mỗi ba điểm phân biệt A, BC của \mathcal{S}, không tồn tại P trong \mathcal{S} sao cho PA=PB=PC.

(a) Chứng minh rằng với mỗi n\ge 3, tồn tại tập cân bằng chứa n điểm.

(b) Xác định tất cả n\ge 3 sao cho tồn tại tập cân bằng và không tâm chứa n điểm.

C3. Với tập hữu hạn các số nguyên dương A, một phân hoạch của A thành hai tập con khác rỗng A_1, A_2 được gọi là tốt nếu bội chung nhỏ nhất của các phần tử trong A_1 bằng ước chung lớn nhất của các phần tử trong A_2. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại tập gồm n số nguyên dương với đúng 2015 phân hoạch tốt.

C4. Cho số nguyên dương n. Hai người chơi AB chơi một trò chơi chọn các số nguyên dương k \le n. Luật chơi là:

(i) Người chơi không được chọn số đã được chọn ở các bước trước.

(ii) Người chơi không được chọn số liên tiếp với các số đã được người đó chọn ở các bước trước.

(iii) Trò chơi sẽ kết thúc với kết quả hòa nếu không còn số nào để chọn; trong trường hợp còn lại, ai không chọn được sẽ thua.

A đi trước. Xác định kết quả của trò chơi, giả sử rằng cả hai cùng chơi giỏi.

C5. Cho dãy các số nguyên a_1,a_2,\dots thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

(i) 1\le a_j\le2015 với mỗi j\ge1,

(ii) k+a_k\neq \ell+a_\ell với mỗi 1\le k<\ell.

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bN sao cho

\displaystyle \left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2 với mỗi hai số mn thỏa mãn n>m\ge N. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Combinatorics”

Sum and product


Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi

a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.

b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.

c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 2. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1. Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

Bài 4. Cho dãy số dương \{a_n\} xác định bởi a_{1}=1,\,\,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}.

Bài 5. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 6. Cho dãy \{x_n\} được xác định bởi \displaystyle x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng dãy (y_n) xác định bởi y_n=x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn.

Bài 7. Tồn tại hay không dãy \{x_{n}\} các số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i) |x_{n}|\leq 0,666 với mỗi n=1,2,...;

ii) |x_{m}-x_{n}|\geq \dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{m(m+1)} với mỗi m\not = n? Continue reading “Sum and product”

Functional inequalities (1)


Problem 1. Find all functions f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} such that

\displaystyle \frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xz)-f(x)f(yz)\geq\frac{1}{4}\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.

Problem 2. Let f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) be a function such that

f(2x)\geq x+f(f(x))\,\,\forall x\in (0;+\infty). Prove that f(x)\geq x\,\,\forall x\in (0;+\infty).

Problem 3. Let f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} be a function such that

f(x+19)-19\leq f(x)\leq f(x+94)-94\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Prove that f(x+1)=f(x)+1\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Problem 4. Find all functions f:[1;+\infty)\to [1;+\infty) such that

f(x)\leq 2x+2\,\,\text{and}\,\, xf(x+1)=f^2(x)-1\,\,\forall x\in [1;+\infty).

Problem 5. Find all functions f:\mathbb{N}\to \mathbb{N} such that

mf(n)+nf(m)=(m+n)f(m^2+n^2)\,\,\forall m,n\in \mathbb{N}.

Problem 6. Find all injective mappings f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* such that for all positive integers n the following relation holds: f(f(n)) \leq \dfrac {n+f(n)}{2}.

Problem 7. Find all surjective mappings f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* such that for all positive integers n the following relation holds: f(n) \geq n+(-1)^n. Continue reading “Functional inequalities (1)”

Analyzing Squares (1)


Problem 1. Let a,b,c be positive real numbers. Prove that

\displaystyle\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2c^2}+\frac{c^3}{c^2+2a^2}\geq \frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}.

Problem 2. Let a,b,c be positive real numbers such that a^2+b^2+c^2=1. Prove that \displaystyle a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}.

Problem 3. Let a,b,c be non-negative real nunbers. Prove that

\displaystyle a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab\sqrt{2a^2+2b^2}+bc\sqrt{2b^2+2c^2}+ca\sqrt{2c^2+2a^2}.

Problem 4. Let a,b,c be positive real nunbers such that abc=1. Prove that \displaystyle \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1.

Problem 5. Let a,b,c be real numbers such that a,b,c\geq 1 and a+b+c=9. Prove that \sqrt{ab+bc+ca}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}. Continue reading “Analyzing Squares (1)”

IMO Shortlist 2015 – Algebra


Trong topic này và 3 topic sau tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO Shortlist 2015.

A1. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn

a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

A2. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} sao cho

f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\,\,\forall x,y\in\mathbb{Z}.

A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của

\displaystyle\sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, ở đây -1 \le x_i \le 1 với mỗi i = 1, \cdots 2n.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Kí hiệu 2\mathbb{Z} + 1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z} + 1 sao cho

f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{Z}. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Algebra”

APMO 2016


APMO = Asian Pacific Mathematics Olympiad là một cuộc thi Toán của các nước thuộc vùng Châu Á Thái Bình Dương và một số nước khác (như Mĩ chẳng hạn),  kỳ thi đầu tiên diễn ra vào năm 1989.

Mục đích của APMO là:

– phát hiện và động viên các tài năng toán học thuộc các nước Châu Á Thái Bình Dương;

– tạo các mối quan hệ và hợp tác giữa các học sinh và giáo viên trong khu vực;

– tạo cơ hội để các học sinh và giáo viên trao đổi về cách học và cách dạy;

– khuyến khích và hỗ trợ sự tham gia của Toán học vào các hoạt động kiểu Olimpic, không chỉ ở các nước tham dự APMO.

Mỗi thí sinh tham dự APMO sẽ phải giải 5 bài toán trong 4 giờ, mỗi bài được tối đa 7 điểm. Họ phải ít hơn 20 tuổi vào ngày 1/7 của năm thi và chưa học Đại học. Hàng năm, APMO được tổ chức vào chiều thứ Hai thứ hai của tháng 3 đối với các nước Bắc và Nam Mỹ, và vào sáng thứ Ba thứ hai của tháng 3 đối với các nước thuộc Tây Thái Bình Dương và Châu Á. Đề thi sẽ được giữ bí mật cho đến khi Ban tổ chức đăng lên trang chính thức của kì thi, trong đề thi sẽ nhắc thí sinh không được thảo luận về các bài toán trên internet sau khi thi.

Các thí sinh sẽ nhận được giấy chứng nhận giải thưởng hoặc bằng khen. Số lớn nhất các thí sinh được nhận giấy chứng nhận giải thưởng bằng \left[\dfrac{n+1}{2}\right], ở đây n là số thí sinh tham gia thi.

Điểm của các thí sinh được giải Vàng sẽ không bé hơn m+\sigma, giải Bạc sẽ không bé hơn m+\dfrac{1}{3}\sigma, giải Đồng sẽ không bé hơn m-\dfrac{1}{3}\sigma.

Ở đây m là điểm trung bình của các thí sinh và \sigma là độ lệch chuẩn.  Đối với mỗi đội thì số giải Vàng =1, số giải Vàng+số giải Bạc=3, và số giải Vàng+số giải Bạc+số giải Đồng=7.

Mỗi năm thì điều kiện để nhận Bằng khen lại khác: Có thể là giải trọn vẹn 1 bài toán, có thể là giải 2 bài không trọn vẹn có số điểm ít nhất là 5 hoặc 6,… Việt Nam không tham gia APMO đã hơn 10 năm, nhưng có thể 2017 sẽ tham gia. Dưới đây là đề APMO 2016.

Continue reading “APMO 2016”

IMO training 2016 (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

trong topic này tôi tiếp tục chia sẻ các bài toán tôi đã dùng cho đợt luyện đội IMO 2016 vừa rồi. Mọi người có thể xem phần đầu ở link  https://nttuan.org/2016/07/22/topic-804/

—–

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi f(n) là chữ số khác 0 cuối cùng trong biểu diễn thập phân của n!. Chứng minh rằng f(625n)=f(n)\,\,\forall n>1.

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với vô hạn số nguyên dương a ta có a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên a>1 sao cho

a^n+a^{n-1}+\cdots+1|a^{n!}+a^{(n-1)!}+\cdots+a^{1!}+1.

Bài 3. Cho số nguyên tố p>3. Với mỗi tập S\subset\mathbb{Z}a\in \mathbb{Z}, định nghĩa

S_{a}= \{x\in \{0,1,2,\ldots,p-1\} \mid (\exists s \in S) x\equiv a \cdot s \pmod{p} \}.

(i) Có bao nhiêu tập S\subset \{ 1,2,\ldots,p-1 \} sao cho dãy S_{1},S_{2},...,S_{p-1} chứa đúng 2 phần tử khác nhau?

(ii) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại S\subset \{1,2,3,\ldots,p-1\} để dãy S_{1},S_{2},\ldots,S_{p-1} chứa đúng k phần tử khác nhau.

Bài 4. Cho số nguyên n\ge 2, một hàm f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\} được gọi là tốt, nếu với mỗi số nguyên k,1\le k\le n-1 tồn tại số nguyên j sao cho với mỗi số nguyên m ta có

f(m+j)\equiv f(m+k)-f(m) \pmod{n+1}. Tìm số hàm tốt.

Bài 5. Cho số nguyên tố p. Chứng minh rằng

a) Nếu p>5k là số tự nhiên thỏa mãn 3<k<p thì kpA_{k-1}-2A_k chia hết cho p^4;

b) Nếu p>3 thì p^2A_{p-1}-2A_p chia hết cho p^5.

Ở đây A_i=1^i+2^i+\cdots+(p-1)^i\,\,\forall i\in\mathbb{N}. Continue reading “IMO training 2016 (2)”

Lời xin lỗi của một nhà Toán học (5)


Giờ sẽ là lúc chúng ta cùng nghĩ về câu hỏi thứ nhất mà tôi đưa ra ở mục 3, câu hỏi khó hơn nhiều so với câu thứ hai. Liệu toán học, toán học theo đúng nghĩa tôi và những nhà toán học khác vẫn quan niệm, có đáng để nghiên cứu, và nếu như vậy thì tại sao?

Tôi đã xem lại những trang đầu trong bài giảng đầu tiên của tôi ở Oxford vào năm 1920, trong đó có một chút tóm lược cho một lời xin lỗi cho toán học. Nó không thỏa đáng lắm (chỉ một vài trang), và được viết theo kiểu mà tôi không mấy tự hào (tôi nghĩ, nó như một bài luận đầu tiên mà tôi cho là “văn phong” của Oxford); nhưng tôi vẫn cảm thấy rằng, dù có phát triển thế nào đi nữa, thì nó cũng chứa đựng những phần thiết yếu của vấn đề. Tôi sẽ đề cập lại ở đây, coi như là mở đầu cho một cuộc thảo luận hoàn chỉnh.

(I) Tôi bắt đầu bằng việc nhấn mạnh tính vô hại của toán học – ”việc nghiên cứu toán học là một nghề hoàn toàn vô hại và không có ích”. Tôi vẫn nghĩ như vậy, nhưng hiển nhiên sẽ phải có một sự phát triển và giải thích hợp lý.

Liệu toán học đúng là không hề có ích? Về một mặt nào đó, đơn giản là nó không phải như vậy; ví dụ như, nó đem lại nhiều điều thú vị cho rất nhiều người. Dù vậy, tôi đang nghĩ về ”lợi ích” theo một nghĩa khá hẹp. Liệu toán học có ích, trực tiếp có ích, như các ngành khoa học khác như hóa học hay sinh lý học? Câu hỏi này nhìn chung không dễ nhưng cũng không phải là đầy tranh cãi và tôi sẽ trả lời ngay lập tức là Không, dù một số nhà toán học khác, và hầu hết những người ngoài cuộc sẽ không nghi ngờ mà trả lời Có. Toán học có ”vô hại” không? Một lần nữa, câu trả lời cũng không phải là hiển nhiên, và tôi bằng cách nào đó vẫn thích tránh trả lời, vì nó sẽ đưa ra cả một vấn đề lớn về tác động của khoa học tới chiến tranh. Toán học liệu có vô hại, theo nghĩa, ví dụ như hóa học đơn giản là không? Tôi sẽ quay trở lại cả hai câu hỏi này ở phần sau. Continue reading “Lời xin lỗi của một nhà Toán học (5)”

Lời xin lỗi của một nhà Toán học (3)


Một người đã định giải thích cho sự tồn tại và việc làm của mình thường phân biệt hai câu hỏi khác nhau. Câu đầu tiên là công việc mà anh ta đang làm liệu có đáng giá không; và điều thứ hai, tại sao anh ta lại làm việc đó, không kể đến giá trị của nó là như thế nào. Câu hỏi đầu thường rất khó và dễ làm nản lòng, trong khi đó câu thứ hai lại khá đơn giản. Một cách trung thực, câu trả lời cho chúng thường ở một trong hai thể loại; và loại thứ hai thường chỉ là một biến hình của loại thứ nhất, câu trả lời mà chúng ta thực sự quan tâm.

(I) ”Tôi làm cái tôi làm vì đó là một và cũng là cái duy nhất tôi có thể làm tốt. Tôi là một luật sư, một người buôn bán chứng khoán, hay một cầu thủ cricket chuyên nghiệp bởi vì tôi có năng khiếu thực sự cho công việc đó. Tôi là một luật sư vì tôi có một giọng lưỡi trôi chảy và tôi thích sự tinh tế của môn luật; tôi là một người buôn bán chứng khoán vì sự phán đoán thị trường của tôi rất tinh tế và nhanh nhạy; tôi là một cầu thủ cricket chuyên nghiệp vì tôi chơi tốt không thể tưởng tượng được. Tôi cũng đồng ý có lẽ sẽ tốt hơn nếu như tôi trở thành một nhà thơ, hay một nhà toán học, nhưng rất tiếc tôi lại không hề có một tý tài năng cho những môn như vậy.”

Tôi không cho rằng đây là lời bảo vệ của đa số người, vì rất nhiều người không thể làm bất cứ cái gì tốt cả. Nhưng chắc chắn đó là câu trả lời hợp lý, dù chỉ cho một phần nhỏ đại diện: có lẽ 5 hay 10% số người có thể làm một việc gì đó tốt hơn hẳn. Nó còn là một phần nhỏ hơn nhiều nữa cho những người có thể làm một việc gì đó “cực” tốt, và số người có thể làm hai việc tốt liền là không đáng kể. Nếu một người nào đó có một chút ít tài năng , anh ta nên sẵn sàng hy sinh tất cả để theo đuổi nó đến cùng. Continue reading “Lời xin lỗi của một nhà Toán học (3)”