A Proof of Karamata’s Inequality

Bất đẳng thức Karamata là một trong những công cụ mạnh mẽ và kinh điển nhất khi xử lý các bài toán Bất đẳng thức Olympic. Trong tài liệu ngắn này, chúng tôi trình bày một chứng minh chi tiết và tự nhiên cho định lý này, sử dụng “Bổ đề làm đều hai số” kết hợp với phương pháp quy nạp toán học dựa trên quan hệ trội.

Karamata Download

Convex function

Để tiện theo dõi, các bạn đọc lại bài sau

Convex set

Cho $C$ là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng không nhất thiết bị chặn.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1].$

Như vậy $f$ là lồi nếu mọi đoạn có các đầu mút thuộc đồ thị đều không nằm dưới đồ thị.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi nghiêm ngặt trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)< (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1]$ thỏa mãn $x\not=y$ và $0<\lambda<1.$

Hàm số $f$ được gọi là lõm (lõm nghiêm ngặt) nếu hàm $-f$ lồi (lồi nghiêm ngặt).

Hàm lồi nghiêm ngặt là hàm lồi, ngược lại nói chung không đúng. Các hàm số $y=ax+b,y=\mid x\mid$ và $y=x^2$ đều lồi trên $\mathbb{R}.$ Hàm cuối cùng là hàm lồi nghiêm ngặt trên $\mathbb{R}.$

Định lí 1. Cho hàm số $f:[a;b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên $[a;b]$ và lồi trên $(a;b).$ Khi đó $f$ lồi trên $[a;b].$

Định lí 2. Hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C$ nếu và chỉ nếu tập hợp $\text{epi}\, f=\{(x;y)\in C\times \mathbb{R}\mid f(x)\leq y\}$ là tập hợp lồi. Tập hợp này được gọi là bia của $f.$

Nếu một hàm số lồi trên một khoảng thì nó liên tục trên khoảng đó. Để chứng minh kết quả này ta cần bổ đề sau.

Bổ đề. Cho hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C.$ Khi đó $\displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}$ với mọi $x,y,z\in C$ thỏa mãn $x<y<z.$

Định lí 3. Nếu $f:(a;b)\to\mathbb{R}$ lồi trên $(a;b)$ thì $f$ liên tục trên $(a;b).$

Nếu thay miền xác định của $f$ bởi đoạn thì khẳng định không còn đúng. Chẳng hạn hàm số $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}1,\quad x=0\\ 0,\quad 0<x\leq 1\end{cases}$ là hàm số lồi trên $[0;1]$ nhưng không liên tục trên $[0;1].$

Sau đây là tiêu chuẩn lồi với các hàm có đạo hàm cấp hai.

Continue reading →

Convex set

Trong bài này, $\mathbb{R}^1,$ $\mathbb{R}^2$ và $\mathbb{R}^3$ lần lượt là tập các điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng và không gian.

Cho số nguyên dương $d\leq 3.$ Một tập hợp $C\subset \mathbb{R}^d$ được gọi là tập hợp lồi nếu với mỗi hai điểm $A$ và $B$ thuộc $C,$ cả đoạn thẳng $AB$ cũng nằm trong $C.$

Dễ thấy giao của một họ bất kỳ các tập hợp lồi là một tập hợp lồi. Vì thế ta có thể định nghĩa bao lồi của một tập hợp $X\subset \mathbb{R}^d$ là giao của tất cả các tập hợp lồi trong $\mathbb{R}^d$ chứa $X.$ Như vậy bao lồi của một tập hợp là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa nó.

Nếu $A$ và $B$ là hai điểm khác nhau thì bao lồi của tập hợp $\{A,B\}$ là đoạn thẳng $AB.$ Nếu $A,B$ và $C$ là ba điểm không thẳng hàng thì bao lồi của tập $\{A,B,C\}$ là tam giác $ABC$ (phần trong và biên).

Dùng tổ hợp lồi ta có một mô tả khác của bao lồi.

Định lí 1. Cho $X$ là một tập hợp con khác rỗng của $\mathbb{R}^2.$ Khi đó điểm $x$ thuộc bao lồi của $X$ khi và chỉ khi tồn tại các điểm $x_1,x_2,\ldots,x_n\in X$ và các số thực không âm $t_1,t_2,\ldots,t_n$ thỏa mãn $\sum t_i=1$ và $x=\sum t_ix_i.$

Biểu diễn $\sum t_ix_i$ như trong định lí trên được gọi là tổ hợp lồi của các điểm $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n.$

Với tập hợp hữu hạn trong mặt phẳng ta có kết quả sau, kết quả này được dùng nhiều trong các bài toán thi chọn học sinh giỏi.

Định lí 2. Cho số nguyên $n>2$ và $n$ điểm $A_1,A_2,\ldots,A_n$ trong $\mathbb{R}^2.$ Khi đó bao lồi của tập $\{A_i\}$ là đa giác lồi có tập đỉnh là tập con của tập $\{A_i\}.$

Trong định lí trên một đoạn thẳng được xem là một đa giác lồi với hai đỉnh là các đầu mút.

Định lí Helly là một kết quả cơ bản trong hình học tổ hợp về giao của các tập hợp lồi. Nó được Eduard Helly phát hiện vào năm 1913, nhưng mãi đến năm 1923 ông mới công bố, lúc đó các chứng minh của Radon (1921) và Konig (1922) đã xuất hiện.

Định lí 3 (Helly). Cho số nguyên $n>3$ và $n$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ trong $\mathbb{R}^2.$ Khi đó nếu mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng thì cả $n$ tập có giao khác rỗng.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo $n.$ Đầu tiên ta xét $n=4.$ Giả sử bốn tập hợp lồi $X_1,$ $X_2,$ $X_3$ và $X_4$ trong $\mathbb{R}^2$ có tính chất: mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng. Lấy bốn điểm $A_1,$ $A_2,$ $A_3$ và $A_4$ sao cho $A_i$ thuộc $\displaystyle \bigcap_{j\not=i}A_j$ với mỗi $i.$

Nếu bốn điểm $A_1,$ $A_2,$ $A_3$ và $A_4$ thẳng hàng theo thứ tự đó thì $A_2$ thuộc cả bốn tập lồi. Nếu bao lồi của $\{A_i\}$ là một tam giác thì điểm còn lại không phải là đỉnh của bao lồi sẽ thuộc cả bốn tập lồi. Nếu bao lồi của $\{A_i\}$ là một tứ giác thì giao điểm của hai đường chéo tứ giác sẽ thuộc cả bốn tập lồi.

Vậy khẳng định đúng với $n=4.$ Bây giờ ta giả sử khẳng định đúng với $n\, (n\geq 4),$ và đi chứng minh nó đúng với $n+1.$ Xét $n+1$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_{n+1}$ trong $\mathbb{R}^2$ có tính chất: mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng. Dùng giả thiết quy nạp cho $n$ tập hợp lồi $X_1\cap X_{n+1},X_2\cap X_{n+1},\ldots,X_n\cap X_{n+1}$ ta có điều cần chứng minh. $\Box$

Một cách tổng quát ta có kết quả sau, chứng minh được thực hiện tương tự như trên.

Cho số nguyên $n>d+1$ và $n$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ trong $\mathbb{R}^d.$ Khi đó nếu mỗi $d+1$ tập trong chúng có giao khác rỗng thì cả $n$ tập có giao khác rỗng.