Một chứng minh của định lí Fermat nhỏ


Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của định lí Fermat nhỏ, chứng minh này của Euler.

Định lí. Cho số nguyên tố p và số nguyên a không chia hết cho p. Khi đó a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.

Chứng minh. Vì có hai trong các số a^1,a^2,\ldots,a^p có cùng số dư khi chia cho p nên tồn tại số nguyên dương k sao cho k<pa^{k}\equiv 1\pmod{p}, chọn k nhỏ nhất có tính chất này. Nếu k=p-1 thì ta có điều cần chứng minh, sau đây ta xét trường hợp k<p-1. Continue reading “Một chứng minh của định lí Fermat nhỏ”

Một chứng minh của định lí Pick


Hình tạo bởi một đường gấp khúc đóng và không tự cắt được gọi là đa giác đơn. Một tam giác cơ bản là một tam giác trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh là các điểm nguyên đồng thời trên biên và phần trong của nó không còn điểm nguyên nào khác. Định lí Pick cho một cách đơn giản tính diện tích đa giác đơn có các đỉnh nguyên.

Trong chứng minh định lí Pick ta cần dùng công thức tích diện tích của tam giác trong mặt phẳng tọa độ.

Định lí 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng \displaystyle \frac{1}{2}\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|. Nói riêng, với mỗi hai điểm MN ta có diện tích của tam giác OMN bằng \dfrac{1}{2}\mid x_My_N-y_Mx_N\mid.

Định lí 2. Mọi tam giác cơ bản đều có diện tích bằng \dfrac{1}{2}.

Chứng minh. Giả sử TAB là một tam giác cơ bản bất kỳ. Không mất tính tổng quát, xem T trùng với gốc tọa độ O. Ta cần chứng minh \mid x_1y_2-x_2y_1\mid =1, với (x_1;y_1)(x_2;y_2) lần lượt là tọa độ của AB.

Gọi K là điểm sao cho OAKB là hình bình hành. Giả sử M là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên biên hình bình hành sao cho M khác các đỉnh. Khi đó M thuộc tam giác ABK và điểm N đối xứng với M qua tâm hình bình hành là điểm nguyên thuộc tam giác OAB nhưng khác các đỉnh, không thể xảy ra điều này do OAB là một tam giác cơ bản. Như vậy hình bình hành OAKB không chứa điểm nguyên nào khác bốn đỉnh của nó.

Giả sử P là một điểm nguyên bất kỳ. Vì \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} là hai vector không cùng phương nên tồn tại cặp số thực (\alpha,\beta) để \overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}. Gọi P' là điểm xác định bởi \overrightarrow{OP'}=\{\alpha\} \overrightarrow{OA}+\{\beta\} \overrightarrow{OB}.\{\alpha\}\{\beta\} thuộc [0;1) nên P' thuộc hình bình hành OAKB, nhưng P' lại là một điểm nguyên, suy ra P' phải là một trong bốn đỉnh của hình bình hành. Dễ thấy P'\equiv O và do đó \alpha\beta là hai số nguyên.

Gọi \overrightarrow{i}\overrightarrow{j} lần lượt là các vector đơn vị đặt trên OxOy. Khi đó theo lập luận trên, tồn tại các cặp số nguyên (u,v)(u',v') để \overrightarrow{i}=u \overrightarrow{OA}+v \overrightarrow{OB}\overrightarrow{j}=u' \overrightarrow{OA}+v' \overrightarrow{OB}. Từ hai đẳng thức này ta có \begin{cases} 1=ux_1+vx_2\\ 0=uy_1+vy_2\end{cases}\begin{cases}0=u'x_1+v'x_2\\ 1=u'y_1+v'y_2,\end{cases} suy ra \displaystyle u=\frac{y_2}{D},v=-\frac{y_1}{D},u'=-\frac{x_2}{D}\displaystyle v'=\frac{x_1}{D}, trong đó D=x_1y_2-x_2y_1\not =0 do O,AB không thẳng hàng. Vì u, v, u'v' là các số nguyên nên x_1,x_2,y_1y_2 đều là bội của D, do đó D^2\mid D và bởi thế, D=\pm 1.

Định lí Pick. Cho P là một đa giác đơn có các đỉnh là các điểm nguyên, I là số điểm nguyên nằm trong và B là số điểm nguyên nằm trên biên của P. Khi đó ta có đẳng thức \displaystyle S_P=I+\frac{1}{2}B-1.

Chứng minh. Chia P thành N tam giác cơ bản. Gọi S là tổng các góc trong của tất cả các tam giác cơ bản đó. Ta sẽ tính S theo hai cách. Vì số tam giác là N nên S=N\pi.

Tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trong P bằng 2\pi, tổng tất cả các góc có đỉnh là một điểm nguyên nằm trên biên của P nhưng không phải đỉnh của P bằng \pi và tổng của tất cả các góc có đỉnh là đỉnh của P bằng (n-2)\pi, ở đây n là số đỉnh của P. Do đó S=2\pi I+\pi B-2\pi.

Suy ra N\pi=2\pi I+\pi B-2\pi\Rightarrow N=2I+B-2, mà S_P=\dfrac{1}{2}N, suy ra điều phải chứng minh.

APMO 2020


Olympic Toán học châu Á Thái Bình Dương (APMO) là cuộc thi toán học dành cho các quốc gia trong Khu vực Vành đai Thái Bình Dương.

APMO được tổ chức hàng năm. Mỗi quốc gia tham gia có một đại diện phụ trách tổ chức APMO tại địa phương. Một ủy ban chọn một đề thi với 5 câu hỏi được giải trong 4 giờ, gửi đáp án và biểu điểm và xác định các thi sinh đạt giải.

APMO được tổ chức lần đầu năm 1989. Các mục tiêu của nó là:

1) Phát hiện, khuyến khích và thử thách các học sinh trung học có năng khiếu toán.

2) Thúc đẩy quan hệ và hợp tác giữa học sinh và giáo viên trong khu vực.

3) Tạo cơ hội cho việc trao đổi thông tin về giáo trình ở các nhà trường.

4) Khuyến khích và hỗ trợ  phong trào Olympic toán ở các nước tham gia và các nước khác trong khu vực.

Website chính thức của kỳ thi: http://www.apmo-official.org/.

Dưới đây là đề thi năm 2020.

Continue reading “APMO 2020”

USEMO – United States Ersatz Math Olympiad


USEMO là một cuộc thi toán dành cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ. Giống như nhiều cuộc thi, mục tiêu của nó là phát triển sự quan tâm và khả năng trong toán học (chứ không phải là đo lường nó). Tuy nhiên, đây là một trong số ít các cuộc thi cho tất cả học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông Hoa Kỳ.

USEMO được lưu trữ trên trang AoPS. Cuộc thi này không được tài trợ bởi MAA.

Độ khó của các bài toán của cuộc thi tương tự như IMO.

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về cuộc thi ở đây, hoặc download.

Sau đây là đề thi của USEMO lần thứ nhất.

USEMO 2019-2020

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Một đường tròn tâm O qua BD cắt lại BABC lần lượt tại EF (khác A,B,C). Gọi H là trực tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng nếu AC, DO, EF đồng quy thì hai tam giác ABCEHF đồng dạng.
Bài 2. Tìm tất cả các ánh xạ \theta : \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) \forall p, q \in \mathbb{Z}[x], \quad \theta(p + q) = \theta(p) + \theta(q).
2) với mỗi p \in \mathbb{Z}[x], p có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \theta(p) có nghiệm nguyên.
Bài 3. Xét một lưới vô hạn \mathcal G các ô vuông đơn vị. Một đa giác bàn cờ là một đa giác đơn có các cạnh nằm dọc theo đường lưới của \mathcal G.
Nikolai chọn một đa giác bàn cờ F và đố bạn tô một số ô của \mathcal G màu xanh, sao cho bất kỳ đa giác bàn cờ nào bằng F đều có ít nhất 1 ô xanh nhưng nhiều nhất là 2020. Hỏi Nikolai có thể chọn F để bạn không thể thực hiện được công việc?

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p, tồn tại số nguyên dương n sao cho 1^n+2^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+n^1\equiv 2020\pmod{p}.

Bài 5. Cho \mathcal{P} là một đa giác đều và \mathcal{V} là tập đỉnh của nó. Mỗi điểm trong \mathcal{V} được tô màu đỏ, trắng hoặc xanh. Một tập hợp con của \mathcal{V} được gọi là yêu nước nếu nó chứa một số điểm bằng nhau mang mỗi màu và một cạnh của \mathcal{P} được gọi là chói nếu các đầu mút của nó có màu khác nhau.
Giả sử \mathcal{V} yêu nước và số cạnh chói của \mathcal{P} là chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng không đi qua bất kỳ điểm nào trong \mathcal{V} và chia \mathcal{V} thành hai tập con yêu nước khác rỗng.
Bài 6. Cho ABC là một tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O và các đường cao AD, BE, CF. Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của AD, BE, CF. AD cắt YZ tại P, BE cắt ZX tại Q, CF cắt XY tại R.
Giả sử YZ cắt BC tại A', QR cắt EF tại D'. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A, B, C, O lần lượt vuông góc với QR, RP, PQ, A'D' đồng quy.

Iran TST 2020 – Test 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho một đồ thị đủ có trọng số với các trọng số dương và đôi một khác nhau. Giả sử rằng mọi tam giác đều suy biến, nghĩa là trọng số của một cạnh bằng tổng hai trọng số của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng có thể gán số cho mỗi đỉnh của đồ thị này sao cho trọng số của mỗi cạnh bằng hiệu hai số được gán trên hai đầu mút của cạnh đó.
Bài 2. Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D,E lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AC,AB. Lấy các điểm P,Q,R,S nằm trên mặt phẳng sao cho P,CR,C nằm về hai phía khác nhau của AB, Q,BS,B nằm trên hai phía khác nhau của AC, và R,S lần lượt thuộc (DAP),(EAQ), \triangle BCE \sim \triangle ADQ , \triangle CBD \sim \triangle AEP, \angle ARE=\angle ASD=\angle BAC. Chứng minh rằng nếu RS|| PQ thì RE ,DS cắt nhau trên AO.
Bài 3. Ta gọi số nguyên dương n là tốt nếu với mỗi hoán vị \sigma của [n], tồn tại các đa thức P_1, P_2,\ldots , P_n với hệ số thực và \epsilon > 0 để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) P_1(0)=P_2(0)=\ldots =P_n(0).
2) P_1(x)>P_2(x)>\ldots >P_n(x) với -\epsilon<x<0.
3) P_{\sigma (1)} (x)>P_{\sigma (2)}(x)> \ldots >P_{\sigma (n)} (x) với 0<x<\epsilon.
Tìm tất cả số tốt.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho g:[0,1] \to \mathbb{R} có tính chất: Với mọi cách chia đoạn [0,1] thành hai tập khác rỗng AB, \exists x \in A,\, g(x) \in B hoặc \exists x \in B,\, g(x) \in Ag(x)>x với mọi x \in [0,1]. Chứng minh có vô hạn x \in [0,1] để g(x)=1.
Bài 5. Cho số nguyên k. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên dương (m,n) để n+s(2n)=m+s(2m)kn+s(n^2)=km+s(m^2).
Bài 6. Cho số nguyên dương nn số dương. Liệu có thể tìm một (n+3)-giác lồi và một cách tam giác hóa nó sao cho các đường kính trong phép tam giác hóa là n số đã cho?