Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2017-Bảng PT


Nguồn: http://www.vms.org.vn/index.php?lang=en (Hội Toán học Việt Nam).

Continue reading “Đề thi Olympic Toán sinh viên học sinh năm 2017-Bảng PT”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn (OAB), gọi là O_1, và đường tròn (OAC), gọi là O_2, cắt lại BC tại D\, ( \not=B )E\, ( \not= C ) tương ứng. Trung trực của BC cắt AC tại F. Chứng minh rằng tâm của (ADE) nằm trên AC khi và chỉ khi các tâm của O_1, O_2F thẳng hàng.

Bài 2. Cho số nguyên dương n(a_0, a_1, \cdots , a_n) là một bộ các số nguyên. Với k=0, 1, \cdots , n, gọi b_k  là số các k trong (a_0, a_1, \cdots ,a_n). Với k = 0,1, \cdots , n, gọi c_k là số các k trong (b_0, b_1, \cdots ,b_n). Tìm tất cả (a_0, a_1, \cdots ,a_n) sao cho a_0 = c_0, a_1=c_1, \cdots, a_n=c_n.

Bài 3. Cho dãy số (c_n) xác định bởi c_n=2017^n,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Xét các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325),\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*.

2) 0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Chứng minh rằng tồn tại dãy số a_1, a_2, \cdots sao cho với mọi n, k thỏa mãn a_k<n, ta có f(n)^{c_k} < f(c_k)^n.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho n>1 số a_1, a_2, \cdots ,a_n thỏa mãn a_1 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

\displaystyle a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1},\quad (k=2,3, \cdots n).

(a) Chứng minh rằng a_1, a_2, \cdots a_n là các số nguyên.

(b) Chứng minh rằng có đúng một số trong a_1, a_2, \cdots a_n không chia hết cho 2n-1 và đúng một số trong đó không chia hết cho 2n+1 nếu và chỉ nếu 2n-12n+1 là các số nguyên tố. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/09/topic-879/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n \geq 4. Xét các số thực không âm x_1,\ldots,x_n thỏa mãn x_1 + \cdots + x_n = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của A trên BC,BD,CDP,Q,R tương ứng, ở đây P,Q nằm trên cạnh BC,BD còn R nằm ngoài cạnh CD. Gọi hình chiếu vuông góc của D trên AC,BC,ABX,Y,Z tương ứng, ở đây X,Y nằm trên cạnh AC,BC còn Z nằm ngoài cạnh BA. Gọi trực tâm của tam giác ABDH. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQRXYZ chia đôi BH.

Bài 3. Cho X là tập có 100 phần tử. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi dãy n tập con của X, A_1,A_2,\ldots,A_n, tồn tại 1 \leq i < j < k \leq n sao cho A_i \subseteq A_j \subseteq A_k hoặc A_i \supseteq A_j \supseteq A_k.

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58} sao cho nó có đúng 29 nghiệm thực dương, có đúng 29 nghiệm thực âm và \log_{2017} |a_i| là số nguyên dương với mọi 1 \leq i \leq 58. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần 1 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/06/topic-878/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi D_n là tập tất cả các ước của nf(n) là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho các phần tử của D_n đôi một khác nhau theo modulo m. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n \geq N, ta có f(n) \leq n^{0.01}.

Bài 2. 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

a) Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;

b) Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.

Chứng minh rằng tồn tại 673 kỹ sư sao cho mỗi hai người trong họ đã thảo luận với nhau bằng tiếng Trung.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng l. Biết l cắt các đường thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD lần lượt tại X, X', Y, Y', Z, Z' và sáu điểm này nằm trên l theo thứ tự X, Y, Z, X', Y', Z'. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính XX', YY', ZZ' đồng trục.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập \{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}, tồn tại các số tự nhiên x,y không đồng thời bằng 0 sao cho 2n|ax+byx+y\leq m. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho hình bát diện đều T. Từ một điểm bên ngoài T có thể nhìn thấy nhiều nhất bao nhiêu cạnh của T? (Từ điểm P nhìn thấy được cạnh AB nếu giao của T và tam giác không suy biến PAB là đoạn AB).

Bài 2. Cho số thực x>1 và số nguyên dương n. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}.

Bài 3. Cho S=\{1,2,3,...,2017\}. Với mọi tập con A của S, xác định số thực f(A)\geq 0 sao cho:

(1) Với mọi A,B\subset S, f(A\bigcup B)+f(A\bigcap B)\leq f(A)+f(B);

(2) Với mọi A\subset B\subset S, f(A)\leq f(B);

(3) Với mọi k,j\in S, f(\{1,2,...,k+1\})\geq f(\{1,2,...,k\}\bigcup \{j\});

(4) f(\varnothing)=0.

Chứng minh rằng với mọi tập con T có ba phần tử của S, ta có f(T)\leq \dfrac{27}{19}f(\{1,2,3\}).

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho tồn tại hai đa thức monic P(x)Q(x), với \deg{P}=m, \deg{Q}=nP(Q(t))\not=Q(P(t)),\quad\forall t\in\mathbb{R}. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1”

USA TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/02/05/topic-859/

Bài 4. Bạn đang gian lận ở một cuộc thi đố. Với mỗi câu hỏi, bạn có thể nhìn trộm câu trả lời của n>1 người khác trước khi viết ra câu trả lời của bạn. Với mỗi câu hỏi, sau khi tất cả các câu trả lời được viết, người dẫn chương trình công bố câu trả lời đúng. Một câu trả lời đúng được 0 điểm, sai được -2 điểm, nhưng chỉ có -1 điểm cho bạn, vì bạn đã hack hệ thống tính điểm. Sau khi công bố câu trả lời đúng, người dẫn chương trình đọc câu hỏi tiếp theo. Chứng minh rằng nếu bạn đang dẫn đầu bởi 2^{n-1} điểm tại bất cứ lúc nào, thì bạn chắc chắn giành vị trí đầu tiên.

Bài 5. Cho tam giác ABC với đường cao AE. Đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC tại D, và cắt đường tròn ngoại tiếp tại FG. Chứng minh rằng có thể chọn các điểm VN trên các đường thẳng DGDF tương ứng sao cho EVAN là hình thoi.

Bài 6. Chứng minh rằng có vô hạn các bộ ba (a, b, p) các số nguyên dương sao cho p là số nguyên tố, a < p, b < p, và (a + b)^p - a^p - b^p chia hết cho p^3.

Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2017


Theo fb của thầy Nguyễn Khắc Minh.

1. Lê Quang Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá.
2. Phạm Nam Khánh, THPT chuyên Hà Nội – Amsterđam, Tp. Hà Nội.
3. Nguyễn Cảnh Hoàng, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An.
4. Phan Nhật Duy, THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
5. Hoàng Hữu Quốc Huy, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu.
6. Đỗ Văn Quyết, THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc.

(Danh sách trên được liệt kê theo thứ tự điểm từ cao xuống thấp)


Các bạn có thể xem đề chọn đội IMO 2017 ở link https://nttuan.org/2017/03/27/topic-874/

Mở đầu về đa thức


Trong bài này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

1. Hệ số và bậc

Định nghĩa 1. Một tổng hình thức a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, ở đây n\in\mathbb{N}, a_i\in \mathbb{K}\,\forall i được gọi là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}.

Như vậy mỗi phần tử của \mathbb{K} là một đa thức với hệ số trong \mathbb{K}, chúng được gọi là các đa thức hằng. Số 0\in\mathbb{K} ứng với đa thức không và cũng được ký hiệu bởi 0.

Tập các đa thức với hệ số trong \mathbb{K} được ký hiệu là \mathbb{K}[x].

Định nghĩa 2. Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f(x), a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f(x) được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f(x), ký hiệu \deg f(x)=n.

Quy ước. Bậc của đa thức 0 bằng -\infty.

Định nghĩa 3. Hai đa thức f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, ký hiệu f(x)=g(x) hay f(x)\equiv g(x), nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f(x)=\deg g(x) và các hệ số tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng và hệ số cao nhất của các đa thức sau

a) 3x^4-3x^2+1;

b) 6x^2.

Ví dụ 2. Tìm

a) Một đa thức monic có bậc 12;

b) Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic;

c) Một đa thức có bậc 0.

2. Các phép toán

Định nghĩa 4. Xét hai đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0, ở đây a_i,b_j là các phần tử của \mathbb{K}a_n,b_m không cần phải khác 0 (sau này nếu không quan tâm đến bậc của đa thức thì ta cũng dùng biểu diễn này cho tiện).

Tổng của hai đa thức trên, ký hiệu f(x)+g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots

Tích của f(x)g(x), ký hiệu f(x)g(x), là đa thức xác định bởi

f(x)g(x)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\cdots

Ta dễ dàng chứng minh được các kết quả sau:

Định lí 1.

1) f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

2) f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\,\,\forall f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)+0=0+f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) Với mỗi f(x)\in\mathbb{K}[x] có duy nhất g(x)\in\mathbb{K}[x] thỏa mãn f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=0.

Đa thức g(x) sẽ được kí hiệu bởi -f(x) và được gọi là đa thức đối của đa thức f(x). Từ đây với mỗi f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] ta có thể định nghĩa hiệu của f(x)g(x), kí hiệu f(x)-g(x), bởi f(x)+(-g(x)).

Định lí 2.

1) f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Với đa thức f(x) và số nguyên dương n, đa thức f(x)f(x)\cdots f(x) (n chữ f) sẽ được ký hiệu bởi f^n(x) hoặc (f(x))^n.

2) f(x)g(x)=g(x)f(x)\,\,\forall f,g\in\mathbb{K}[x].

3) f(x)1=1f(x)=f(x)\,\,\forall f(x)\in\mathbb{K}[x].

4) f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)\,\,\forall f(x),g(x),h(x)\in\mathbb{K}[x].

Xét hai đa thức f(x)g(x) với f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, khi đó đa thức

a_n(g(x))^n+a_{n-1}(g(x))^{n-1}+\cdots+a_1g(x)+a_0 sẽ được ký hiệu bởi f(g(x)).

Ví dụ 3. Cho hai đa thức P(x)=x^2-2x+11Q(x)=2x^2-3x+5. Tìm các đa thức P(x)+Q(x),P(x)-Q(x),P(x)Q(x),P(Q(x))Q(P(x)).

Định lí 3. Cho P(x),Q(x) là các đa thức khác hằng. Khi đó

1) \deg (P(x)+Q(x))\leq\max (\deg P(x),\deg Q(x)).

2) \deg (P(x)Q(x))=\deg P(x)+\deg Q(x).

3) \deg (P(Q(x))=\deg (Q(P(x))=\deg P\deg Q.

3. Bài tập

Bài 1.  Tìm tất cả các số thực a,b sao cho đa thức x^4+4x^3+ax^2+bx+1 là bình phương của một đa thức với hệ số thực.

Bài 2. Cho P là một đa thức với hệ số thực thỏa mãn P^2 là đa thức của x^2. Chứng minh rằng P hoặc P/x cũng là đa thức của x^2.

Bài 3. Cho số nguyên dương n và đa thức f(x)=\sum a_ix^i có bậc n. Lập đa thức (x-b)f(x)=\sum c_ix^i với b là số thực nào đấy. Chứng minh rằng A\leq (n+1)C, ở đây A=\max |a_i|C=\max |c_i|.

Bài 4. Cho PQ là các đa thức monic với hệ số thực thỏa mãn P(P(x))=Q(Q(x)). Chứng minh rằng P=Q.

Continue reading “Mở đầu về đa thức”

Vietnam TST 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho 44 cái lỗ trên một cái rãnh là một đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên 1 cái lỗ và đi đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và |T| \le 45. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt x_n = C_{2n}^n.

a) Chứng minh rằng nếu \dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k với k là số nguyên dương nào đó thì x_n là bội của 2017. b) Tìm tất cả số nguyên dương h > 1 để tồn tại các số nguyên dương N,T sao cho với mọi n>N thì x_n là dãy số tuần hoàn theo modulo h với chu kỳ T.

Bài 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I)(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi I_b, I_c lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm I_bE, I_cF. Giả sử (PAC) cắt AB tại R(QAB) cắt AC tại S.

a) Chứng minh rằng PR, QS, AI đồng quy.

b) DE, DF lần lượt cắt I_bI_c tại K, J. EJ cắt FK tại MPE, QF cắt (PAC),(QAB) lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng BY, CX, AM đồng quy.

Continue reading “Vietnam TST 2017”

Luyện tập về phương trình bậc hai (2)


Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/03/07/topic-868/

Bài 16. Cho phương trình x^2-2mx+m^2-m+1=0.

a/. Giải phương trình với m=1;

b/. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2;

c/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để A=x_1x_2-x_1-x_2 đạt giá trị bé nhất;

d/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để x_1+3x_2=4.

Bài 17. Cho phương trình x^2-2mx-1=0.

a/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

b/. Tìm m để hai nghiệm x_1,x_2 của phương trình thỏa mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7.

Bài 18. Cho phương trình x^2+2mx+m-1=0.

a/. Giải phương trình khi m=2;

b/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

c/. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Continue reading “Luyện tập về phương trình bậc hai (2)”