IMO 2016 Shortlist – Algebra


A1. Cho \displaystyle a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \displaystyle \min\{ab,bc,ca\}\geq 1. Chứng minh rằng
\displaystyle \sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2+1.
A2. Tìm hằng số thực \displaystyle C nhỏ nhất sao cho: Với mỗi \displaystyle 5 số thực dương (không cần phân biệt) \displaystyle a_1, \displaystyle a_2, \displaystyle a_3, \displaystyle a_4\displaystyle a_5, tồn tại các chỉ số \displaystyle i, \displaystyle j, \displaystyle k\displaystyle l đôi một khác nhau để \displaystyle \left|\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_k}{a_l}\right|\leq C.
A3. Tìm tất cả các số nguyên \displaystyle n>2 có tính chất: với mỗi \displaystyle 2n số thực \displaystyle a_1, \displaystyle a_2,\cdots, \displaystyle a_n; \displaystyle b_1, \displaystyle b_2,\cdots, \displaystyle b_n thỏa mãn \displaystyle |a_k|+|b_k|=1\,\forall k=1,2,\cdots,n, tồn tại \displaystyle n số \displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n\in\{-1;1\} sao cho \displaystyle \left|\sum_{k=1}^nx_ka_k\right|+\left|\sum_{k=1}^nx_kb_k\right|\leq 1.
A4. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle xf(x^2)f(f(y))+f(yf(x))=f(xy)(f(f(x^2))+f(f(y^2))),\quad \forall x,y\in (0;+\infty).
A5.
(a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq 1+\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}.
(b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương \displaystyle n sao cho không tồn tại phân số \displaystyle a/b thỏa mãn \displaystyle 0<b\leq\sqrt{n}\displaystyle \sqrt{n}\leq\dfrac{a}{b}\leq\sqrt{n+1}. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Algebra”

IMO 2017 – Day 2


Day 1 https://nttuan.org/2017/07/19/imo-2017-day-1/

—-

Bài 4. Cho R,S là hai điểm phân biệt trên đường tròn \Omega sao cho RS không phải đường kính. Gọi l là tiếp tuyến của \Omega tại R. Lấy T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy J trên cung nhỏ RS của \Omega sao cho (JST) cắt l tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của l(JST). AJ cắt lại \Omega tại K. Chứng minh KT tiếp xúc với (JST).
Bài 5. Cho số nguyên N>1. Có N(N+1) cầu thủ bóng đá với chiều cao đôi một khác nhau đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa N(N-1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, N điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất.
(2) Không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cao thứ tư.
\cdots\cdots\cdots
(N) Không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh ngài Alex luôn có thể làm được điều đó. Continue reading “IMO 2017 – Day 2”

Farey sequence


Trong mục này tôi sẽ trình bày về phân số Farey và một số vấn đề liên quan.

Các phân số trong bài được xem là có mẫu dương.

1) Định nghĩa và một số tính chất

Định nghĩa 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Phân số tối giản \displaystyle \dfrac{p}{q}\in [0;1] được gọi là phân số Farey bậc \displaystyle n nếu \displaystyle q\leq n. Dãy tăng tất cả các phân số Farey bậc \displaystyle n được gọi là dãy Farey bậc \displaystyle n,  ký hiệu là \displaystyle F_n.

Ví dụ 1.

\displaystyle F_1:\,\frac{0}{1};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_2:\,\frac{0}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_3:\,\frac{0}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{1}{1}.

\displaystyle F_4:\,\frac{0}{1};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{1}{1}.

Ví dụ 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, dãy \displaystyle F_n có đúng \displaystyle 1+\sum_{k=1}^n\varphi (k) số hạng.

Định lý 1. Cho các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1\displaystyle bc-ad=1. Khi đó \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của dãy \displaystyle F_n, ở đây \displaystyle n là số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle \max\{b,d\}\leq n\leq b+d-1.

Chứng minh. Từ \displaystyle bc-ad=1 ta có \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} là hai phân số tối giản, mà \displaystyle \max\{b,d\}\leq n, suy ra chúng là các số hạng của dãy \displaystyle F_n. Nếu chúng không phải là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì tồn tại phân số Farey bậc \displaystyle n, ký hiệu \displaystyle \dfrac{h}{k} thỏa mãn \displaystyle \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}.\displaystyle ck-dh\geq 1\displaystyle bh-ak\geq 1 nên

\displaystyle b+d-1\geq n\geq k=(bc-ad)k=b(ck-dh)+d(bh-ak)\geq b+d, đây là điều không thể xảy ra. Định lý được chứng minh. \Box

Với các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}, phân số \dfrac{a+c}{b+d} được gọi là phân số trung gian của hai phân số \displaystyle \dfrac{a}{b}\displaystyle \dfrac{c}{d}. Từ chứng minh trên ta có:

Định lý 2. Cho các số tự nhiên \displaystyle a,b,c\displaystyle d thỏa mãn \displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1\displaystyle bc-ad=1. Khi đó nếu \displaystyle \dfrac{h}{k} là phân số trung gian của hai phân số \displaystyle \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} thì \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}\displaystyle bh-ak=1,\quad ck-dh=1.

Định lý 3. Với mọi số nguyên dương \displaystyle n ta có

1) Dãy \displaystyle F_{n+1} có được từ dãy \displaystyle F_n bằng cách viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n có tổng các mẫu không vượt quá \displaystyle n+1 phân số trung gian của chúng;

2) Nếu \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì \displaystyle bc-ad=1.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo \displaystyle n.

Rõ ràng khẳng định đúng với $n=1$. Giả sử khẳng định đúng với các số nguyên dương bé hơn \displaystyle n\, (n\geq 2), ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với \displaystyle n.

Từ định lý 2 và giả thiết quy nạp ta có nếu \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n thì \displaystyle bc-ad=1.

Sau khi viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F_n có tổng các mẫu không vượt quá \displaystyle n+1 phân số trung gian của chúng ta thu được dãy con \displaystyle F'_n của \displaystyle F_{n+1}. Nếu trong \displaystyle F_{n+1} có phân số \displaystyle \dfrac{h}{k} không thuộc \displaystyle F'_n thì tồn tại hai số hạng liên tiếp \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} của \displaystyle F'_n sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{h}{k}<\dfrac{c}{d}. Vì \displaystyle \dfrac{h}{k} không thuộc \displaystyle F'_n nên nó cũng không thuộc \displaystyle F_n, suy ra \displaystyle k>n, kết hợp với \displaystyle k\leq n+1 ta có \displaystyle k=n+1.

Từ chứng minh của định lý 1 suy ra \displaystyle k=n+1\geq b+d\Rightarrow \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} là hai phân số liên tiếp của \displaystyle F_n, mà \displaystyle b+d\leq n+1, suy ra chúng không thể là hai số hạng liên tiếp của \displaystyle F'_n, vô lý. \displaystyle \Box

Chú ý 1. Dùng định lý Pick (bạn đọc có thể xem thêm về định lý Pick ở địa chỉ https://nttuan.org/2017/03/18/topic-872/) ta có một chứng minh khác của 2).

Trong mặt phẳng tọa độ \displaystyle Oxy, xét các điểm \displaystyle M(1;0)\displaystyle N(1;1). Mỗi số hạng \displaystyle \dfrac{h}{k} của \displaystyle F_n ta cho tương ứng với điểm nguyên có tọa độ \displaystyle (k;h). Khi quay tia \displaystyle OM ngược chiều kim đồng hồ đến tia \displaystyle ON ta “gặp” mỗi điểm nguyên không quá một lần và không gặp đồng thời hai điểm nguyên (ta quan tâm đến các điểm nguyên tương ứng với các số hạng của \displaystyle F_n). Xét hai số hạng liên tiếp \displaystyle \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d} của \displaystyle F_n và hai điểm \displaystyle X(b;a),Y(d;c) lần lượt tương ứng với chúng. Theo trên ta thấy tam giác \displaystyle OXY không chứa điểm nguyên nào bên trong cũng như trên biên trừ ba đỉnh của nó, suy ra \displaystyle S_{OXY}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow bc-ad=1. \displaystyle \Box Continue reading “Farey sequence”

USA TSTST 2017


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC nội tiếp đường tròn \displaystyle \Gamma có tâm \displaystyle O, và trực tâm \displaystyle H. Giả sử \displaystyle AB\neq AC\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC, và \displaystyle E\displaystyle F lần lượt là chân các đường cao hạ từ \displaystyle B\displaystyle C của tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle P là giao điểm của \displaystyle MN với tiếp tuyến của \displaystyle \Gamma tại \displaystyle A. Gọi \displaystyle Q là giao điểm thứ hai của \displaystyle \Gamma với \displaystyle (AEF). Gọi \displaystyle R là giao điểm của \displaystyle AQ\displaystyle EF. Chứng minh rằng \displaystyle PR\perp OH.
Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên \displaystyle k và đố Ana đưa ra một từ có đúng \displaystyle k dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn \displaystyle k của Banana?
Bài 3. Xét phương trình \displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}, ở đây \displaystyle f\displaystyle g là các đa thức với hệ số thực không âm. Với \displaystyle c>0, xác định giá trị nhỏ nhất của \displaystyle \deg f hoặc chứng tỏ \displaystyle f,g không tồn tại.

Continue reading “USA TSTST 2017”

Bulgaria MO 2016


Ngày thứ nhất
Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n sao cho \displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1) chia hết cho \displaystyle m\cdot n .
Bài 2. Trong một cuộc thi toán có \displaystyle n học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải \displaystyle 6 bài toán, mỗi bài toán có \displaystyle 3 câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là \displaystyle 0 hoặc \displaystyle 2. Tìm giá trị lớn nhất của \displaystyle n.
Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}.

Continue reading “Bulgaria MO 2016”

Turkey TST 2017 (3)


Các bạn có thể xem ngày thứ hai ở đây.

Ngày thứ ba
Bài 7. Cho số thực \displaystyle a. Tìm số hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
\displaystyle f(xy+f(y))=f(x)y+a,\quad \forall x, y\in \mathbb{R}.
Bài 8. Cho tam giác \displaystyle ABC với các phân giác trong \displaystyle BD\displaystyle CE. Gọi \displaystyle I_{c} là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle C\displaystyle F là trung điểm của \displaystyle BI_{c}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle CF^2=CE^2+DF^2 thì tam giác \displaystyle ABC là một tam giác đều. Continue reading “Turkey TST 2017 (3)”

Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

Bankan MO 2017


Bài 1. Giải phương trình x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\quad (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC\omega là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi t_Bt_C là hai tiếp tuyến của \omega tại BC tương ứng, và L là giao điểm của chúng. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt t_C tại D. Đường thẳng qua C và song song với AB cắt t_B tại E. (BDC) cắt đoạn AC tại T. (BEC) cắt AB tại S sao cho B nằm giữa SA. Chứng minh rằng ST, ALBC đồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{N}^* sao cho

n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*. Continue reading “Bankan MO 2017”