USAMO 2009, Problem 6: A Collection of 7 Solutions

Trong bài này chúng tôi giới thiệu nhiều lời giải cho bài toán sau:

USAMO 2009/6. Cho $(s_n)_{n\geq 1}$ là một dãy không hằng các số hữu tỉ. Giả sử $(t_n)_{n\geq 1}$ cũng là một dãy không hằng các số hữu tỉ thỏa mãn tính chất $(s_i - s_j)(t_i - t_j)$ là một số nguyên với mọi $i$ và $j$ . Chứng minh rằng tồn tại một số hữu tỉ $r$ khác $0$ sao cho $(s_i - s_j)r$ và $(t_i - t_j)/r$ là các số nguyên với mọi $i$ và $j$ .

usa2009p6 Download

IMO 2025 Shortlisted Problems: Geometry

IMO2025SLGeometry Download

USA TSTST 2026

USA TSTST (Team Selection Test Selection Test) là một trong những kỳ thi cốt lõi trong quy trình tuyển chọn đội tuyển Olympic Toán học Quốc tế (IMO) của Hoa Kỳ.

Dưới đây là một số thông tin tổng quan về kỳ thi này:

Thời điểm và đối tượng: Kỳ thi được tổ chức vào cuối chương trình Trại hè Toán học (MOP – Mathematical Olympiad Program). Tất cả học sinh tham gia MOP chưa tốt nghiệp trung học đều đủ điều kiện dự thi.
Cấu trúc đề thi: TSTST mô phỏng chính xác định dạng của kỳ thi IMO. Kỳ thi diễn ra trong 3 ngày, mỗi ngày học sinh phải giải quyết 3 bài toán trong thời gian 4,5 giờ.
Mục tiêu tuyển chọn: Kết quả của TSTST được dùng để chọn ra một nhóm học sinh xuất sắc (thường rơi vào khoảng 25–35 em, tùy chất lượng từng năm) để tham dự chuỗi USA Team Selection Tests (TST) trải dài trong năm học kế tiếp.
Chốt danh sách đội tuyển: Thành tích đạt được ở kỳ thi USAMO cùng với tổng điểm từ các kỳ TST sẽ quyết định 6 thành viên chính thức đại diện Hoa Kỳ tham dự IMO.

Một lưu ý lịch sử thú vị: Trước năm 2011, quy trình tuyển chọn của Hoa Kỳ không có vòng TSTST (chỉ đi thẳng từ MOP → TST → IMO). Việc bổ sung kỳ thi này từ năm 2011 đã giúp mở rộng cơ hội cạnh tranh và chuẩn hóa chuyên nghiệp hơn quy trình tuyển chọn đội tuyển của cường quốc Toán học này.

Dưới đây là đề năm 2026.

usatstst2026 Download

Korea MO 2026 (Final Round)

NGÀY 1: Thứ Bảy, ngày 28 tháng 3 năm 2026

Thời gian làm bài: 14:00 – 18:30 (270 phút)

1. Cho tam giác nhọn $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ . Gọi $\displaystyle D$ và $\displaystyle E$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $\displaystyle A$ và $\displaystyle C$ xuống các cạnh đối diện. Lấy một điểm $\displaystyle P$ ( $\displaystyle P \neq B, E$ ) nằm trên đoạn thẳng $\displaystyle BE$ , và gọi $\displaystyle Q$ là giao điểm của đường thẳng $\displaystyle PH$ với cạnh $\displaystyle AC$ . Gọi $\displaystyle \ell$ là đường phân giác trong của góc $\displaystyle \angle BAC$ . Đường thẳng đi qua $\displaystyle H$ và song song với $\displaystyle \ell$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle BDH$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle HDC$ lần lượt tại $\displaystyle X$ ( $\displaystyle X \neq H$ ) và $\displaystyle Y$ ( $\displaystyle Y \neq H$ ).

Chứng minh rằng ba đường thẳng $\displaystyle PX$ , $\displaystyle QY$ và $\displaystyle \ell$ đồng quy.

2. Một dãy số $\displaystyle \{a_{n}\} (n \ge 1)$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$\displaystyle a_{1} = a_{2} = 1$ .
Với mọi số nguyên dương $\displaystyle n$ , ta có $\displaystyle a_{n+2} = a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}^{2} + a_{n}^{2}}.$

Hãy xác định xem có tồn tại vô số số nguyên dương $\displaystyle n$ sao cho điều kiện sau đây được thỏa mãn hay không:

$\displaystyle a_{2n}^{3} > \frac{3n}{2} - 2026\sqrt{n}.$

3. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $\displaystyle M$ ( $\displaystyle M \ge 3$ ) sao cho: Với mọi số nguyên $\displaystyle n \ge M$ và với bất kỳ các số nguyên dương $\displaystyle a, b, c$ thỏa mãn $\displaystyle 1 \le a < b < c \le n$ , ta luôn có

$\displaystyle \gcd(a+b+c, ab+bc+ca, abc) < 3n - \sqrt{3n} - 2^{2026}.$

NGÀY 2: Chủ Nhật, ngày 29 tháng 3 năm 2026

Thời gian làm bài: 09:00 – 13:30 (270 phút)

4. Chứng minh rằng không tồn tại bộ số nguyên dương $\displaystyle (p, q, r, n)$ nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện sau:

$\displaystyle p, q, r$ là các số nguyên tố.
$\displaystyle p^{n} + q^{n} + r^{n} = 2026(p+q)(q+r)(r+p).$

5. Minsu tham gia một chương trình truyền hình giải đố. Người dẫn chương trình chọn một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $\displaystyle 5$ để làm “Mật mã của ngày”, và Minsu phải tìm ra số này bằng cách đặt câu hỏi. Các câu hỏi và câu trả lời tuân theo quy tắc như sau:

Trong mỗi câu hỏi, Minsu chọn một số nguyên dương $\displaystyle m$ và hỏi người dẫn chương trình xem số mật mã đó có lớn hơn hoặc bằng $\displaystyle m$ hay không.
Với mỗi câu hỏi, người dẫn chương trình chỉ trả lời “có” hoặc “không”. Trong suốt cả cuộc chơi, người dẫn chương trình được phép nói dối tối đa một lần.

Hãy tìm số câu hỏi ít nhất mà Minsu cần phải chuẩn bị để chắc chắn xác định được “Mật mã của ngày”, bất kể người dẫn chương trình có chọn số nào đi chăng nữa.

6. Ký hiệu $\displaystyle \mathbb{R}^{+}$ là tập hợp tất cả các số thực dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $\displaystyle f(2026)$ đối với hàm số $\displaystyle f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn điều kiện: với mọi số thực $\displaystyle x > 0$ và $\displaystyle y > 1$ , ta luôn có

$\displaystyle f(f(x)) + \frac{1}{y} = (f(f(xy)) + 1)f(y).$

AMM 2026: Làn gió mới định hình lại sân chơi Olympic Toán học?

Bức tranh các cuộc thi Toán học tại Mỹ vừa xuất hiện một điểm nhấn rất đáng chú ý: American Masters of Mathematics (AMM). Được tổ chức bởi OMEGA Math, sự kiện này sẽ diễn ra từ ngày 22 đến 25 tháng 5 năm 2026 tại thành phố Denver, bang Colorado.

Nhìn vào triết lý tổ chức và đội ngũ thiết kế đề thi, với sự góp mặt của những gương mặt gạo cội trong giới toán chuyên như Evan Chen hay Zuming Feng, có thể thấy AMM không đơn thuần là một kỳ thi kiểm tra năng lực thông thường. Đây là một nỗ lực mang tính cách mạng nhằm định hình lại cách chúng ta đánh giá và nuôi dưỡng các tài năng toán học trẻ tuổi.

Trong bối cảnh nhiều học sinh có năng lực tư duy sâu bị giới hạn cơ hội cọ xát tự luận chỉ vì thiếu một chút tốc độ ở các vòng thi trắc nghiệm điền số như AMC hay AIME, kỳ thi AMM đã mở ra một lối đi hoàn toàn mới. Vòng thi chính thức bao gồm 5 bài toán tự luận, làm trong thời gian 4,5 tiếng với thang điểm tối đa là 7 điểm cho mỗi bài. Mức độ thách thức của đề thi sẽ trải dài từ các giải khu vực cho đến độ khó tương đương mức trung bình và khó của IMO. Điểm đặc sắc nhất nằm ở quy trình hậu thi cử. Bài làm của học sinh không chỉ được chấm điểm một cách khô khan, mà các em sẽ được xếp lịch cụ thể để gặp gỡ, trao đổi trực tiếp với các nhà toán học. Tại đây thí sinh sẽ nhận được những phản hồi chuyên môn quý giá về tư duy logic và cách tiếp cận của mình. Đây là một bước tiến tuyệt vời dưới góc độ sư phạm, chuyển hóa một cuộc thi áp lực thành một không gian đối thoại khoa học đầy gợi mở.

Ban ra đề đã mạnh dạn đưa các mảng kiến thức ở bậc đại học giai đoạn đại cương, bao gồm Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính vào khung chương trình có thể ra đề. Sự thay đổi này gửi đi một thông điệp mạnh mẽ đến người học và người dạy: Đừng để những rào cản vô hình của các kỳ thi truyền thống kìm hãm năng lực khám phá. Thay vì chỉ miệt mài rèn giũa các kỹ xảo giải toán ngắn hạn hoặc đắm chìm vào những bài toán biến đổi cồng kềnh, học sinh chuyên toán cần được khuyến khích mở rộng tầm nhìn, xây dựng sợi dây liên kết vững chắc với toán học hiện đại. Việc mở rộng nền tảng tri thức luôn là phương thức tối ưu để tạo ra sức bật tư duy dài hạn cho học sinh.

Continue reading →