Một chứng minh của định lý Cauchy – Davenport


Định lý. (Cauchy – Davenport) Cho số nguyên tố p và hai tập khác rỗng các số nguyên A,B. Với mỗi tập X các số nguyên, ký hiệu (X)_p là tập tất cả các số tự nhiên r<p sao cho tồn tại x\in X thỏa mãn x\equiv r\pmod{p}. Khi đó ta có |(A+B)_p|\geq\min (p,|(A)_p|+|(B)_p|-1).

Continue reading “Một chứng minh của định lý Cauchy – Davenport”

Bài tập về hàm cộng tính (1)


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}f(f(x+y))=f(x)+f(y)\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z)\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(f^2(x)+y)=x^2+f(y)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}
f(x+y-f(y))=f(x)+f(y-f(y))\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(x^2+f(y))=y+f^2(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}. Continue reading “Bài tập về hàm cộng tính (1)”

Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức


Chiều nay tôi đã ghi một số kết quả về nghiệm thực của đa thức ở https://nttuan.org/2015/08/19/topic-662/, như đã hứa, bây giờ tôi sẽ đăng một số ví dụ về nghiệm thực của đa thức. Các ví dụ đầu tiên là các áp dụng của những kết quả trên, phần cuối của bài là vài ví dụ về biên của nghiệm.

Continue reading “Một số ví dụ về nghiệm thực của Đa thức”