IMO 2023: Problems and results

Bài viết này có hai phần: Phần thứ nhất là đề thi IMO 2023, phần thứ hai là kết qủa của kỳ thi.

Ngày thi thứ nhất, 8/7/2023

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106752

Tìm tất cả các hợp số $n$ có tính chất: nếu $d_1, d_2, \ldots, d_k$ là tất cả ước dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ , thì $d_i$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1 \leqslant i \leqslant k-2$ .

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106748

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa của cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $(ABC)$ tại $E$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$ . $(BDL)$ cắt lại $(ABC)$ tại $P$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(BDL)$ tại $P$ cắt $BS$ trên phân giác của góc $BAC$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106754

Với số nguyên $k>1,$ tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức $P$ với hệ số nguyên không âm có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ để $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên dương $n.$

Ngày thi thứ hai, 9/7/2023

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107339

Cho $2023$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ đôi một khác nhau thỏa mãn

$\displaystyle a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$

là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\geq 3034$ .

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107350

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\cdots+n$ hình tròn được xếp thành một hình tam giác đều sao cho với mỗi $i = 1, 2, ..., n$ , hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn và trên hàng đó có đúng một hình tròn được tô màu đỏ. Một đường đi ninja trong một tam giác Nhật Bản là một dãy gồm $n$ hình tròn nhận được bằng cách xuất phát từ hàng trên cùng, đi lần lượt từ một hình tròn xuống một trong hai hình tròn ngay dưới nó, và kết thúc tại hàng dưới cùng. Trong hình vẽ là một tam giác Nhật Bản với $n = 6$ và một đường đi ninja có chứa hai hình tròn màu đỏ.

Như một hàm số của $n$ , tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho trong mỗi tam giác Nhật Bản luôn có một đường đi ninja chứa ít nhất $k$ hình tròn màu đỏ.

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107345

Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và

$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$

Giả sử $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2,$ $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$ , $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2.$ Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2, BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đi qua hai điểm chung.

Dưới đây là kết quả của IMO 2023.

Continue reading →

International Mathematical Olympiad: Shortlisted Problems

Trong bài này chúng tôi sẽ dịch đề bài từ các bộ IMO Shortlist sang tiếng Việt.

Các bạn có thể tải các tài liệu khác ở https://nttuan.org/download/ .

IMO2014SL_Vie Download

IMO2015SL_Vie Download

Continue reading →

IMO 2022: Problems and results

IMO 2022 diễn ra ở Oslo (Norway) từ 6/7 đến 16/7.

I. Danh sách đội tuyển Việt Nam

Ngô Quý Đăng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Phạm Việt Hưng (THPT chuyên KHTN, Hà Nội)

Vũ Ngọc Bình (THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc)

Hoàng Tiến Nguyên (THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An)

Phạm Hoàng Sơn (Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh)

Nguyễn Đại Dương (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)

Trưởng đoàn là GS. Lê Anh Vinh, Phó đoàn là PGS. Lê Bá Khánh Trình.

II. Đề thi và đáp án

Đáp án có ngay trong link trên AoPS các bạn nhé! Nhưng mà đừng bấm vào link vội, giải thử đã! 🙂

Đề thi IMO 2022 Download

III. Kết quả

Đề năm nay dễ hơn đề các năm khác, có đến 10 thí sinh đạt 42/42 điểm. Có vẻ đề thi này đã không làm tốt chỗ phân loại cao?

HCV: $\geq 34$ , HCB: $\geq 29$ , HCĐ: $\geq 23$ .

HCV: $\geq 34$ , HCB: $\geq 29$ , HCĐ: $\geq 23$ .

10 thí sinh cao điểm nhất! Đội tuyển Việt Nam có 42/42 sau nhiều năm. C05 chắc là đến từ Nga rồi?

Kết quả của đội tuyển Việt Nam: 2 HCV, 2 HCB, 2 HCĐ.

10 đội tuyển có tổng số điểm cao nhất! Đội tuyển Việt Nam đứng thứ 4. Năm nay các học sinh đến từ Nga không được tham gia với tư cách đội tuyển Nga, các em tham gia với tư cách cá nhân, tổng điểm của các em trong đội là $207.$

10 đội tuyển có tổng số điểm cao nhất! Đội tuyển Việt Nam đứng thứ 4. Năm nay các học sinh đến từ Nga không được tham gia với tư cách đội tuyển Nga, các em tham gia với tư cách cá nhân, tổng điểm của các em trong đội là $207.$

IMO2021/6

Trong bài này tôi giới thiệu hai lời giải cho bài 6 trong đề thi IMO 2021, lời giải thứ hai có dùng bổ đề Siegel mà tôi đã giới thiệu cách đây rất lâu ở đường dẫn https://nttuan.org/2007/10/21/siegel/. Các bạn có thể tìm các bài toán khác trong đề IMO 2021 ở đây https://nttuan.org/2021/07/25/imo2021/

Bài toán (IMO2021/6). Cho số nguyên $m\ge 2,$ $A$ là một tập hữu hạn các số nguyên và $B_1,$ $B_2,$ …, $B_m$ là các tập con của $A$ . Giả sử rằng với mỗi $k=1,2,...,m$ , tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$ . Chứng minh rằng $A$ có ít nhất $\frac{m}{2}$ phần tử.

Lời giải 1. Đặt $k=|A|$ và giả sử $A = \{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$ . Từ giả thiết, với mỗi $i\in [m]$ , ta có $\displaystyle m^i = \sum_{j=1}^{k}b_{i,j}a_{j}\quad (1)$ với các $b_{i,j} \in \{0;1\}$ . Với mỗi $0 \le x \le m^{m}-1$ , biểu diễn $mx$ theo cơ số $m$ và kết hợp với $(1)$ ta được $\displaystyle mx = \sum_{j=1}^{k}c_{j}a_{j},$ trong đó các $c_j$ là số nguyên thỏa mãn $0 \le c_j \le (m-1)m,\quad\forall j\in [k]$ . Vế trái của đẳng thức này nhận đúng $m^{m}$ giá trị, do đó $\displaystyle m^{m} \le [m(m-1)+1]^{k} < m^{2k},$ suy ra $|A|=k>m/2$ . $\Box$

Continue reading →