China Team Selection Test 2026

China TST 2026 gồm 2 vòng, mỗi vòng 12 bài toán (chia làm 4 bài kiểm tra).

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790830p37427165
Cho ${F_n}$ là dãy Fibonacci, trong đó $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , và định nghĩa $F_{-1}, F_{-2}, \ldots$ bằng hệ thức truy hồi. Ban đầu, cặp số $(0,0)$ được viết trên bảng. Trong mỗi thao tác, ta xóa cặp số $(x, y)$ hiện tại và viết lên bảng cặp $(x + F_k, y + F_{k+1})$ hoặc $(x - F_k, y - F_{k+1})$ , trong đó $k$ là một số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ sao cho với mọi số nguyên dương $p, q$ , ta có thể thu được cặp $(p, q)$ trong không quá $C \ln(p+q)$ thao tác.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790832p37427170
Cho đường tròn $\Omega$ , hai điểm $A, B$ nằm trên $\Omega$ , và điểm $C$ nằm trong đường tròn sao cho $\angle ACB = 90^\circ$ và $AC < BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , và $P$ là một điểm di động trên cung lớn $AB$ sao cho $\angle CMP > 90^\circ$ . Điểm $Q$ được xác định sao cho $CQ \parallel PM$ và $\angle QPM = \angle MCP$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định $K$ trong mặt phẳng sao cho ta luôn có $\angle PQK = \angle PCK$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3790834p37427176
Cho các số nguyên $n > k > 1$ , và $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là các số phức có mô-đun không vượt quá 1. Chứng minh rằng

$\displaystyle\left| \binom{n}{k} - \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} z_{i_1} z_{i_2} \cdots z_{i_k} \right| \le \binom{n-1}{k-1} \left| n - \sum_{i=1}^n z_i \right|,$

và tìm điều kiện xảy ra dấu bằng.

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791580p37437300
Cho $G = (V, E)$ là một đồ thị đơn, trong đó tập đỉnh $V = {(x, y, z) \mid 1 \leq x, y, z \leq 2026}$ và hai đỉnh $(x, y, z)$ và $(x', y', z')$ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi $|x - x'| + |y - y'| + |z - z'| = 1$ . Mỗi đỉnh $v$ được gán một nhãn là số thực $f(v)$ sao cho tổng của tất cả các nhãn bằng $0$ . Với một cạnh $e \in E$ , gọi $g(e)$ là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa các nhãn của hai đỉnh đầu mút của cạnh $e$ . Chứng minh rằng, với mọi số thực $p \geq 1$ , ta có

$\displaystyle\sum_{v \in V} |f(v)|^p \leq 6677^p \cdot \sum_{e \in E} g(e)^p.$

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791579p37437230
Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho các cạnh của đồ thị đầy đủ $K_{2026}$ có thể được gán nhãn bởi các số $1, 2, \dots, \binom{2026}{2}$ , mỗi số được sử dụng đúng một lần, sao cho giữa hai đỉnh bất kỳ, luôn tồn tại một đường đi mà tổng các nhãn trên các cạnh của nó không vượt quá $k$ .

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3791554p37436766
Cho dãy số ${a_n}$ thỏa mãn $a_1 = 2$ , và với $n \geq 2$ , $a_n$ là số nguyên tố nhỏ nhất không là ước của $\prod_{k=1}^{n-1} (a_k + n - k)$ . Với một số nguyên tố $p$ , gọi $f(p)$ là số lần $p$ xuất hiện trong dãy này. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ và $m$ số nguyên tố phân biệt bất kỳ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ , ta có

$\displaystyle\sum_{i=1}^m f(p_i) \leq \frac{1}{2} \left( \max_{1 \leq i \leq m} p_i + \sum_{i=1}^m p_i \right).$

Bài 7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794581p37485265
Với một tập hợp hữu hạn $X$ và một số nguyên $t$ , định nghĩa $X + t = {x + t \mid x \in X}$ , và gọi $\sigma(X)$ là tổng các phần tử của $X$ . Khẳng định sau đúng hay sai: với mọi số nguyên $m \geq 2$ , luôn tồn tại một tập $A$ gồm $m$ số nguyên dương và $m$ số nguyên phân biệt từng đôi một $t_1, t_2, \dots, t_m$ sao cho

$\sigma(A \cup (A + t_1)) = \sigma(A \cup (A + t_2)) = \dots = \sigma(A \cup (A + t_m))$ ?

Bài 8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794611p37485578
Cho các số nguyên $m, n$ thỏa mãn $n > 2m > 2$ . Có một nhóm gồm $n$ thành viên, và một số cặp thành viên là bạn bè của nhau, với tình bạn là hai chiều. Họ sẽ được chia thành $m$ ủy ban, mỗi thành viên tham gia đúng vào một ủy ban. Đầu tiên, chủ tịch và phó chủ tịch của mỗi ủy ban được xác định. Tại thời điểm này, người ta nhận thấy rằng có đúng một cách để phân công $n - 2m$ thành viên còn lại vào các ủy ban sao cho trong mỗi ủy ban, tất cả các thành viên (bao gồm cả chủ tịch và phó chủ tịch) đều là bạn bè của nhau từng đôi một. Cho phép một ủy ban chỉ gồm chủ tịch và phó chủ tịch. Tìm số lớn nhất có thể của các cặp bạn bè (không có thứ tự) trong số $n$ thành viên.

Bài 9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3794555p37484599
Cho $m, n$ là các số nguyên dương, $P_1, P_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $m$ biến với hệ số nguyên, và $Q_1, Q_2$ là các đa thức khác hằng số gồm $n$ biến với hệ số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ sao cho $P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) \neq Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ , thì phân thức

$\displaystyle\frac{P_2(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_2(b_1, b_2, \cdots, b_n)}{P_1(a_1, a_2, \cdots, a_m) - Q_1(b_1, b_2, \cdots, b_n)}$

là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức một biến $R(x)$ với hệ số hữu tỉ, sao cho $P_2 = R(P_1)$ và $Q_2 = R(P_2)$ .

Bài 10. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795189p37495113
Cho số nguyên $n > 1$ . Với một số nguyên dương $k$ , gọi $d_k$ là số lượng các ước số của $n$ nằm trong đoạn $[1, n^{\frac 1k}]$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 2$ , ta có $d_{k + 1} \geq \sqrt{2d_k} - k - \frac 12$ .

Bài 11. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795164p37494678
Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ lần lượt tại $S$ và $T$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $U$ và $V$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle CDA$ tiếp xúc với $CD$ và $DA$ lần lượt tại $X$ và $Y$ ; đường tròn nội tiếp $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $Z$ và $W$ ; đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle DAB$ tiếp xúc với $DA$ và $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ ; và đường tròn bàng tiếp góc $C$ của $\triangle BCD$ tiếp xúc với $BC$ và $CD$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Chứng minh rằng nếu tứ giác tạo bởi các đường thẳng $SY, TX, UW$ và $VZ$ là tứ giác nội tiếp, thì $E, F, G$ và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 12. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3795181p37494888
Cho $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử, $\mathcal{F}$ là một họ các tập con của $A$ , sao cho hợp của tất cả các tập hợp trong $\mathcal{F}$ là $A$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mathcal{G}$ của $\mathcal{F}$ , sao cho có một tập con $T$ của $A$ , thỏa mãn:
(i) $|T| \ge \frac{n}{1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n}$ ;
(ii) $T$ được chứa trong hợp của tất cả các tập hợp thuộc $\mathcal{G}$ ;
(iii) $X \cap Y \cap T = \varnothing$ với mọi cặp tập hợp $X, Y$ phân biệt thuộc $\mathcal{G}$ .

Bài 13. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3802588p37600993
Trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB \neq AC$ , gọi $D$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp sao cho $AD \perp BC$ . Các điểm $P, Q$ nằm trong $\triangle ABC$ thỏa mãn $\angle APB = \angle APC = 180^\circ - \angle ACB$ và $\angle AQB = \angle AQC = 180^\circ - \angle ABC$ . Chứng minh rằng $A, P, Q, D$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 14. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3802538p37599814
Tìm số thực $\lambda$ nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương $n$ và tập hợp bất kỳ gồm $n + 100$ số nguyên dương liên tiếp, luôn tồn tại một số nguyên $k$ trong số chúng thỏa mãn $\{k\sqrt{2}\} \leq \frac{\lambda}{n}$ .

Bài 15. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3802539p37599829
Tìm số thực $\alpha$ nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương $n$ , nếu một đồ thị $G$ có $n$ đỉnh và bậc nhỏ nhất của nó ít nhất là $\alpha n$ , thì với bất kỳ cách tô 3 màu (đỏ, vàng, xanh dương) cho các cạnh của $G$ , luôn tồn tại một thành phần liên thông màu đỏ, một thành phần liên thông màu vàng, và một thành phần liên thông màu xanh dương mà cùng nhau bao phủ tất cả các đỉnh của $G$ . Lưu ý: Một “thành phần liên thông màu đỏ” chỉ thành phần liên thông trong đồ thị con màu đỏ (đồ thị con bao gồm tất cả các đỉnh và chỉ các cạnh màu đỏ).

Bài 16. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3803241p37612886
Cho $l \ge 3$ là một số nguyên lẻ. Giả sử $x_0, x_1, \dots, x_{2^l}$ là một hoán vị của $0, 1, \dots, 2^l$ . Tìm giá trị lớn nhất có thể của

$\displaystyle S = \sum_{t=0}^{l-1} \sum_{i=0}^{2^l} |x_i - x_{i+2^t}|,$

trong đó các chỉ số được lấy theo modulo $2^l + 1$ .

Bài 17. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3803244p37612891
(1) Một bát diện đều nằm trong (bao gồm cả biên) một hình lập phương đơn vị. Tìm độ dài cạnh lớn nhất có thể của bát diện đều đó.
(2) Một hình lập phương nằm trong (bao gồm cả biên) một bát diện đều có độ dài cạnh bằng 1. Tìm độ dài cạnh lớn nhất có thể của hình lập phương đó.

Bài 18. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3803197p37612506
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}_{>0}\to\mathbb{N}_{>0}$ sao cho với mọi số nguyên dương $x$ và $y$ , ta có

$f(x) + f(y) + xy \mid xf(x) - yf(y).$

Bài 19. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805099p37644303
Cho các số nguyên dương $m, n$ . Phủ kín một bảng cờ kích thước $2m \times 2n$ bằng $2mn$ quân domino sao cho không có quân nào chồng lên nhau và không để lại ô trống. Một hình chữ Z là một trong những cấu hình được tạo bởi một cặp domino ghép lại. Tìm số lượng hình chữ Z lớn nhất có thể có.

Bài 20. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805096p37644291
Có tồn tại hay không các số nguyên tố $q, p_1, p_2$ và các số nguyên dương $m, n, \alpha_1, \alpha_2$ đồng thời thỏa mãn:
(1) $q^{\alpha_1} \mid p_1^m - 1,\quad q^{\alpha_2} \mid p_2^m - 1,\quad m > 3n^2$ ;
(2) $p_1 < p_2 < p_1^{9/8},\quad q^{n\alpha_1} > p_1^{m-1},\quad q^{n\alpha_2} > p_2^{m-1}$ ?

Bài 21. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805098p37644299
Cho $n > k$ là các số nguyên dương, và cho $d_1, d_2, \dots, d_k$ là các số nguyên dương. Với $I \subseteq {1, 2, \dots, k}$ , định nghĩa $d_I = \sum_{i \in I} d_i$ (quy ước $d_\emptyset = 0$ ). Xét đa thức

$\displaystyle f(t) = \sum_{I \subseteq {1, 2, \dots, k}} (-1)^{|I|} \binom{t + n - d_I}{n},$

trong đó $\binom{x}{n} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)}{n!}$ . Chứng minh rằng tất cả các hệ số của $f(t)$ đều không âm, và điều này xảy ra khi và chỉ khi $\sum_{i=1}^k d_i \le n+1$ .

Bài 22. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805492p37650713
Cho $C > 0$ là một số thực cố định. Một số nguyên dương $a$ được gọi là ‘tốt’ nếu tồn tại các số nguyên dương $x, y$ sao cho $a = xy$ và $|x - y| \le C \sqrt[4]{a}.$ Liệt kê tất cả các số tốt theo thứ tự tăng dần thành $a_1 < a_2 < \cdots .$ Tìm số thực $\lambda$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một số thực dương $M$ thỏa mãn $a_{n+1} \le a_n + M a_n^{\lambda}$ với mọi số nguyên dương $n$ .

Bài 23. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805518p37651117
Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $a, b, c$ và đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ . Với một điểm $P \in \Gamma$ , gọi $\ell_P$ là đường thẳng Simson của $P$ đối với tam giác $ABC$ . Định nghĩa tập hợp

$S = {\ell_{P_1} \cap \ell_{P_2} : P_1, P_2 \in \Gamma,\ P_1 \neq P_2}.$

Tìm diện tích của tập lồi nhỏ nhất chứa $S$ theo $a, b, c$ .

Bài 24. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3805519p37651125
Có một số đồng xu, mỗi đồng xu có giá trị là một số nguyên dương, và tổng giá trị của chúng là $S$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $S_0$ sao cho bất cứ khi nào $S \ge S_0$ , ta có thể chọn ra một số đồng xu (có thể chỉ là một đồng) và chia chúng thành nhiều đống (có thể chỉ là một đống) thỏa mãn:
(i) Mỗi đống chứa cùng một số lượng đồng xu, và số lượng đó không vượt quá 100;
(ii) Tất cả các đống đều có tổng giá trị bằng nhau;
(iii) Tổng giá trị của các đồng xu được chọn lớn hơn $S^{0.98}$ .

China Team Selection Test 2026

Published by Nguyen Trung-Tuan

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

Published by Nguyen Trung-Tuan

Leave a comment Cancel reply