An Upper Bound for the Divisor Function (2)

Analysis, Analytic number theory, Number theory, ProofWiki, Real and complex analysis 3 Minutes

Bài viết hôm nay sẽ đề cập đến một kết quả quan trọng trong lý thuyết số giải tích, liên quan đến tốc độ tăng của hàm số các ước \tau(n) . Chúng ta sẽ cùng xem xét và chứng minh định lý sau:

Định lý. Với mọi số thực dương \epsilon, tồn tại một hằng số dương C_{\epsilon} sao cho \tau(n) \le C_{\epsilon} \cdot n^{\epsilon} với mọi số nguyên dương n.

Chứng minh. Giả sử n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} là phân tích tiêu chuẩn của n ra các thừa số nguyên tố, với p_i là số nguyên tố và a_i là các số nguyên dương. Ta cần tìm chặn trên cho tỉ số:

\displaystyle\frac{\tau(n)}{n^{\epsilon}} = \prod_{i=1}^k \frac{a_i+1}{p_i^{a_i\epsilon}}.

Xét hàm số f(p, a) = \frac{a+1}{p^{a\epsilon}} với p là số nguyên tố và a \ge 1. Ta sẽ chia các số nguyên tố p thành hai nhóm để đánh giá, dựa vào hằng số \epsilon.

Nhóm 1: Các số nguyên tố p \ge 2^{1/\epsilon}

Điều kiện này tương đương với p^\epsilon \ge 2. Với mọi số nguyên dương a \ge 1, ta có:

\displaystyle p^{a\epsilon} = (p^\epsilon)^a \ge 2^a

Vì ta luôn có 2^a \ge a+1 với mọi a \in \mathbb{Z}^+ nên với các số nguyên tố thuộc nhóm này thì:

\displaystyle f(p, a) = \frac{a+1}{p^{a\epsilon}} \le \frac{a+1}{2^a} \le 1.

Nhóm 2: Các số nguyên tố p < 2^{1/\epsilon}

Với một \epsilon > 0 cố định, chỉ có hữu hạn các số nguyên tố thỏa mãn p < 2^{1/\epsilon}. Cố định một số nguyên tố p thuộc nhóm này, xét giới hạn của f(p, a) khi a \to \infty. Vì p^\epsilon > 1 nên:

\displaystyle\lim_{a \to +\infty} \frac{a+1}{p^{a\epsilon}} = 0.

Vì dãy số hội tụ về 0, giá trị của f(p, a) sẽ bị chặn trên. Tức là tồn tại một giá trị lớn nhất cho \frac{a+1}{p^{a\epsilon}} khi a chạy trên tập số nguyên dương. Bây giờ ta chọn:

\displaystyle C_{\epsilon} = \prod_{p < 2^{1/\epsilon}} \max\left(1, \sup_{a \ge 1} \frac{a+1}{p^{a\epsilon}}\right).

Quay lại tỉ số ban đầu, ta tách tích các thừa số nguyên tố của n ra thành hai phần tương ứng với hai nhóm trên:

\displaystyle \frac{\tau(n)}{n^{\epsilon}} = \left( \prod_{p_i < 2^{1/\epsilon}} \frac{a_i+1}{p_i^{a_i\epsilon}} \right) \cdot \left( \prod_{p_i \ge 2^{1/\epsilon}} \frac{a_i+1}{p_i^{a_i\epsilon}} \right).

Áp dụng các bất đẳng thức đã thiết lập ta có \tau(n) \le C_{\epsilon} \cdot n^{\epsilon} với mọi số nguyên dương n . \Box

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

Leave a comment