The Parity of Divisor Functions

Xét một số nguyên dương $n$ . Khi đó
(1) $\tau(n)$ là số lẻ khi và chỉ khi $n$ là một số chính phương.
(2) $\sigma(n)$ là số lẻ khi và chỉ khi $n$ hoặc $n/2$ là số chính phương.

Chứng minh. Giả sử phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố của số nguyên dương $n$ là:

$n = 2^{\alpha} \cdot p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$

trong đó $p_1, p_2, \dots, p_k$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt, và $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ là các số tự nhiên (các số mũ này có thể bằng $0$ nếu thừa số đó không xuất hiện trong $n$ ).

(1) Số lượng các ước dương của $n$ được tính bởi:

$\tau(n) = (\alpha + 1)(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \dots (\alpha_k + 1)$

Một tích các số nguyên là số lẻ khi và chỉ khi tất cả các nhân tử trong tích đều là số lẻ. Do đó, $\tau(n)$ là số lẻ tương đương với việc $\alpha + 1$ và $\alpha_i + 1$ (với mọi $i = 1, \dots, k$ ) đều là các số lẻ.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\alpha$ và tất cả các $\alpha_i$ đều là số chẵn. Khi các số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chẵn, $n$ chính là bình phương của một số nguyên dương. Vậy $\tau(n)$ là số lẻ khi và chỉ khi $n$ là một số chính phương.

(2) Tổng các ước dương của $n$ được tính bởi:

$\sigma(n) = (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{\alpha}) \prod_{i=1}^k (1 + p_i + p_i^2 + \dots + p_i^{\alpha_i})$

Để $\sigma(n)$ là số lẻ, điều kiện cần và đủ là mỗi nhân tử trong tích trên đều là số lẻ.

Đầu tiên ta xét nhân tử $S_0 = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{\alpha}$ . Nếu $\alpha = 0$ thì $S_0 = 1$ (là số lẻ). Nếu $\alpha \ge 1$ thì $S_0 = 1 + 2(1 + 2 + \dots + 2^{\alpha-1})$ , luôn là một số lẻ bất chấp tính chẵn lẻ của $\alpha$ . Do đó, số mũ $\alpha$ không bị ràng buộc điều kiện để tổng này lẻ.

Bây giờ xét nhân tử ứng với các số nguyên tố lẻ $p_i$ ( $i = 1, 2, \dots, k$ ):

$S_i = 1 + p_i + p_i^2 + \dots + p_i^{\alpha_i}$

Tổng $S_i$ bao gồm $\alpha_i + 1$ số hạng. Vì $p_i$ là số lẻ nên lũy thừa $p_i^j$ luôn là số lẻ với mọi $j$ . Một tổng gồm các số lẻ sẽ nhận giá trị lẻ khi và chỉ khi số lượng các số hạng tham gia vào tổng là một số lẻ.
Suy ra $\alpha_i + 1$ phải là số lẻ, tương đương với $\alpha_i$ phải là số chẵn với mọi $i = 1, 2, \dots, k$ .