IMO 2010


Ngày thứ nhất

1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn f([x]y)=f(x) [f(y) ]\forall x,y\in\mathbb{R}. Ở đây [u] là phần nguyên của số thực u.

2. Cho tam giác ABC với I là tâm nội tiếp và \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác. AI cắt \Gamma tại điểm thứ hai D, E là một điểm trên cung BDCF nằm trên đoạn BC sao cho \widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}. Chứng minh giao điểm của EIDG nằm trên \Gamma. Ở đây G là trung điểm của IF.

3. Tìm tất cả các hàm g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sao cho (g(m)+n)(m+g(n)) là một số chính phương với mỗi m,n\in\mathbb{N}.

Ngày thứ hai

 

4. Giả sử P là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác tại K,L,M tương ứng. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C cắt đường thẳng AB tại S. Chứng minh rằng nếu SC=SP thì MK=ML.

5. Mỗi hộp trong sáu hộp B_i ban đầu chứa một đồng xu. Cho phép tiến hành hai loại phép toán sau đây

Loại 1: Chọn một hộp khác rỗng B_j(1\leq j\leq 5), lấy một đồng xu ra khỏi B_j và bỏ thêm hai đồng xu vào hộp B_{j+1}.

Loại 2: Chọn một hộp khác rỗng B_k(1\leq k\leq 4), lấy một đồng xu ra khỏi B_k và tráo đổi số đồng xu trong các hộp B_{k+1},B_{k+2}.

Có hay không một dãy hữu hạn các phép toán trên sao cho khi thực hiện liên tiếp các phép toán này ta được kết quả là B_1,B_2,B_3,B_4,B_5 đều rỗng nhưng B_6 chứa đúng 2010^{2010^{2010}} đồng xu?

6. Giả sử (a_n) là một dãy các số thực dương. Biết rằng với số nguyên dương s cố định nào đó ta có a_n=\max\{a_k+a_{n-k}|1\leq k\leq n-1\}\forall n>s. Chứng minh rằng có các số nguyên dương l,N sao cho l\leq sa_n=a_l+a_{n-l}\forall n\geq N.

Kết quả