Về ShaMO


Tôi lập ra mục này để vào các ngày 07 và 21 hàng tháng sẽ post một đề toán nâng cao. Các bạn học sinh có thể xem như đề luyện của mình. Hầu hết các bài toán tôi post là không mới nhưng tôi hy vọng sẽ được biết các lời giải mới. ShaMO là sự viết gọn của Sha Mathematical Olympiad.

Phương pháp diện tích trong Hình học


Mấy ngày nay trên MS đang có topic thảo luận về “Phương pháp diện tích”. Đây là một bài giảng về phương pháp đó, cuối bài giảng có khá nhiều bài tập. Các anh em download về làm tài liệu phục vụ thảo luận, tôi không muốn post trực tiếp lên MS vì quá nhiều file sẽ làm nặng MS.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán, khối phổ thông chuyên Ngữ, DHQG HN


Đây là vài đề thi tuyển sinh vào 10, môn Toán, chuyên Ngữ.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=2\sqrt{3}+3\sqrt{27}-\sqrt{300};

b)B=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}, với x>0,x\not =1.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+3x-4=0;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}3x-2y=4\\2x+y=5.\end{cases}

Bài 3.

Cho hàm số y=(2m-1)x+m+1 với m là tham số và m\not =\dfrac{1}{2}. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau

a)Đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1,1);

b)Đồ thị cắt trục tung tại A, trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một canô chuyển động xuôi dòng từ A đến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước đứng yên.

Bài 5.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O;R).

a)Chứng minh rằng MAOB nội tiếp;

b)Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM=5cmR=3cm;

c)Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt (O;R) tại C,D(C nằm giữa MD). Gọi E là giao của ABOM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1(d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác BC. Kẻ MI vuông góc với ABMH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IHAC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho m=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}n=\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}. So sánh mn.

b)Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Rút gọn biểu thức

M=a+b-\sqrt{\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab}}.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+\sqrt{x+1}=1;

b)Tìm các giá trị k để hai phương trình x^2+kx+1=0x^2+x+k=0 có nghiệm chung.

Bài 3.

a)Vẽ các đồ thị của các hàm số y=xy=-x+2 trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M(1,m) luôn cách đều hai đường thẳng trên;

b)Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên (x,y,z) thoả mãn x^2+y^2+z^2=x+y+z.

Bài 4.

Cho tam giác nhọn ABC thay đổi nhưng luôn nội tiếp (O;R). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và H là trực tâm của tam giác ABC.

a)Tính góc BAC để năm điểm B,I,O,H,C cùng thuộc một đường tròn;

b)Cho B,C cố định, tìm vị trí của A trên cung lớn BC để chu vi tam giác ABC lớn nhất.

Bài 5.

Tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Chứng minh rằng nếu nó nội tiếp thì

\dfrac{1}{IA^2}+\dfrac{1}{IC^2}=\dfrac{1}{IB^2}+\dfrac{1}{ID^2}.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho a=\dfrac{2-\sqrt{2m}+m}{\sqrt{8}+m\sqrt{m}}b=\dfrac{1+\sqrt{2m}}{\sqrt{2}+\sqrt{m}} với m\geq 0. Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa a,b mà không phụ thuộc m.

b)Cho x,y là các số thực thoả mãn x^3+y^3=1x^7+y^7=x^4+y^4. Chứng minh rằng x+y=1.

Bài 2.

a)Tìm các số nguyên dương n để số p=n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\\ x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=9.\end{cases}

Bài 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x(x+1)+1}}(x\in\mathbb{R}).

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O;R)(O';R')(với R>R') tiếp xúc ngoài nhau tại CAB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn(A\in (O),B\in (O')). Tia BC cắt (O) tại điểm thứ hai E, tia AC cắt (O') tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng AE là đường kính của (O);

b)Tính AK^2+BE^2 theo RR';

c)Một đường thẳng (d) đi qua C cắt (O) tại P, cắt (O') tại Q(PQ khác C). Gọi M là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng khi (d) quay quanh C, điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định.

Giới hạn hữu tỷ và vô tỷ


Trong bài trước tôi đã nói về giới hạn Lượng giác.

Trong bài này ta sẽ quan tâm đến các giới hạn dạng \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} với a\in\mathbb{R}, f,g là các đa thức hay các biểu thức chứa căn. Các giới hạn này thường được tính bằng cách biến đổi tử và mẫu(bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử hay nhân lượng liên hợp) về một bội của x-a rồi giản ước x-a đi. Nếu x\to\infty thì ta có thể đặt y=\dfrac{1}{x} khi đó y\to 0, và ta lại quay lại trường hợp trên.

Bài 1. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to -1}\dfrac{x^2-x-2}{x^4-3x^2+2};

b)\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{4+x}-2}.

Continue reading “Giới hạn hữu tỷ và vô tỷ”