Về ShaMO


Tôi lập ra mục này để vào các ngày 07 và 21 hàng tháng sẽ post một đề toán nâng cao. Các bạn học sinh có thể xem như đề luyện của mình. Hầu hết các bài toán tôi post là không mới nhưng tôi hy vọng sẽ được biết các lời giải mới. ShaMO là sự viết gọn của Sha Mathematical Olympiad.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=2\sqrt{3}+3\sqrt{27}-\sqrt{300};

b)B=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}, với x>0,x\not =1.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+3x-4=0;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}3x-2y=4\\2x+y=5.\end{cases}

Bài 3.

Cho hàm số y=(2m-1)x+m+1 với m là tham số và m\not =\dfrac{1}{2}. Hãy xác định m trong mỗi trường hợp sau

a)Đồ thị của hàm số đi qua điểm M(-1,1);

b)Đồ thị cắt trục tung tại A, trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một canô chuyển động xuôi dòng từ A đến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ. Biết quãng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước đứng yên.

Bài 5.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O;R).

a)Chứng minh rằng MAOB nội tiếp;

b)Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM=5cmR=3cm;

c)Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt (O;R) tại C,D(C nằm giữa MD). Gọi E là giao của ABOM. Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 1999-2000


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

P=\left(\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}+1)^2+3}-\dfrac{4}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}+32}{8-x\sqrt{x}}\right):\left(1-\dfrac{2}{2+\sqrt{x}}\right).

a)Rút gọn P;

b)Tính P nếu x=9-4\sqrt{5};

c)Tìm các giá trị chính phương của x để P nhận giá trị nguyên.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-(m-1)x-m^2+m-2=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm trái dấu nhau với mỗi m;

c)Gọi hai nghiệm là x_1,x_2. Tìm m để biểu thức

A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

Cho đường tròn (O) bán kính R, A,B là hai điểm thuộc đường tròn đó AB<2R. C là một điểm thuộc tia AB và nằm ngoài đường tròn. Gọi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, qua Q kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. Nối CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I khác P. QI cắt AC tại K.

a)Chứng minh rằng PDKI nội tiếp;

b)Nối APAI, chứng minh tam giác API đồng dạng với tam giác CBI;

c)Đường thẳng QC cắt (O) tại điểm thứ hai M khác Q. Chứng minh M thuộc đường tròn đi qua ba điểm K,I,C.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1(d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác BC. Kẻ MI vuông góc với ABMH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IHAC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho m=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}n=\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}. So sánh mn.

b)Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=1. Rút gọn biểu thức

M=a+b-\sqrt{\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab}}.

Bài 2.

a)Giải phương trình x^2+\sqrt{x+1}=1;

b)Tìm các giá trị k để hai phương trình x^2+kx+1=0x^2+x+k=0 có nghiệm chung.

Bài 3.

a)Vẽ các đồ thị của các hàm số y=xy=-x+2 trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M(1,m) luôn cách đều hai đường thẳng trên;

b)Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên (x,y,z) thoả mãn x^2+y^2+z^2=x+y+z.

Bài 4.

Cho tam giác nhọn ABC thay đổi nhưng luôn nội tiếp (O;R). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và H là trực tâm của tam giác ABC.

a)Tính góc BAC để năm điểm B,I,O,H,C cùng thuộc một đường tròn;

b)Cho B,C cố định, tìm vị trí của A trên cung lớn BC để chu vi tam giác ABC lớn nhất.

Bài 5.

Tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Chứng minh rằng nếu nó nội tiếp thì

\dfrac{1}{IA^2}+\dfrac{1}{IC^2}=\dfrac{1}{IB^2}+\dfrac{1}{ID^2}.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Cho a=\dfrac{2-\sqrt{2m}+m}{\sqrt{8}+m\sqrt{m}}b=\dfrac{1+\sqrt{2m}}{\sqrt{2}+\sqrt{m}} với m\geq 0. Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa a,b mà không phụ thuộc m.

b)Cho x,y là các số thực thoả mãn x^3+y^3=1x^7+y^7=x^4+y^4. Chứng minh rằng x+y=1.

Bài 2.

a)Tìm các số nguyên dương n để số p=n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố;

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\\ x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=9.\end{cases}

Bài 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x(x+1)+1}}(x\in\mathbb{R}).

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O;R)(O';R')(với R>R') tiếp xúc ngoài nhau tại CAB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn(A\in (O),B\in (O')). Tia BC cắt (O) tại điểm thứ hai E, tia AC cắt (O') tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng AE là đường kính của (O);

b)Tính AK^2+BE^2 theo RR';

c)Một đường thẳng (d) đi qua C cắt (O) tại P, cắt (O') tại Q(PQ khác C). Gọi M là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng khi (d) quay quanh C, điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định.

Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan


Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

ax^2+bx+c=0, với a,bc là các số thực thoả mãn a\not =0.

\clubsuit Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.

\boxed{1}. Số nghiệm của phương trình bậc hai

\clubsuit Đặt \Delta=b^2-4ac. Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi \Delta\geq 0, có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta>0 và có 0 nghiệm khi và chỉ khi \Delta<0. Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của x^2 sau đó mới tính \Delta trong trường hợp hệ số này khác 0.

Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau a,b,c phương trình

\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình

c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0 vô nghiệm với a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} một trong ba phương trình sau phải có nghiệm ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0cx^2+2ax+b=0.

Bài 1.4. Cho a,b là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng phương trình \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{x-1}=1 có nghiệm.

Bài 1.5. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn 5a+4b+6c=0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.6. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a(a+2b+4c)<0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.7. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0x^2+cx+1=0.

Bài 1.8. Cho a,b,c là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0x^2+cx+a=0.

Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực thoả mãn |a|+|b|>2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax^2+bx+1-a=0.

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} phương trình sau luôn có nghiệm a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0.

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai x^2+ax+b=0x^2+cx+d=0 có các hệ số thoả mãn ac\geq 2(b+d) thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm.

\boxed{2}. Giải phương trình bậc hai có tham số

\clubsuit Đừng có tính \Delta của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của x^2 có thể bằng 0.

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình (m-1)x^2+m^2-3m+2=0.

Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình (m-3)x^2-2mx+m-6=0.

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình \dfrac{m-1}{mx-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{m+5}{(1-mx)(x^2-1)}.

\clubsuit Phải xét m=0 trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện.

\boxed{3}. Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.

\clubsuit Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

a)Phương trình trùng phương ax^4+bx^2+c=0(a\not=0).

b)Phương trình đối xứng gương ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0(a\not=0).

c)Phương trình dạng (x+a)^4+(x+b)^4=c.

d)Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e với a+c=b+d.

e)Phương trình dạng \dfrac{mx}{ax^2+bx+d}+\dfrac{nx}{ax^2+cx+d}=p(p\not=0).

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1. Giải các phương trình

a)2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0.

b)(x+3)^4+(x+5)^4=16.

c)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24.

d)x^4-17x^2+16=0.

e)\dfrac{4x}{4x^2-8x+7}+\dfrac{3x}{4x^2-10x+7}=1.

Bài 3.2. Giải các phương trình

a)(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^2.

b)\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}.

c)\dfrac{x^2-3x+5}{x^2-4x+5}-\dfrac{x^2-5x+5}{x^2-6x+5}=-\dfrac{1}{4}.

Bài 3.3. Giải các phương trình

a)20\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2-5\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

b)\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

Bài 3.4. Giải các phương trình

a)(x+5)(2x+12)(2x+20)(x+12)=3x^2.

b)(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4.

Bài 3.5. Cho phương trình x^4+2(m-2)x^2+m^2-5m+5=0. Tìm m để phương trình có

a)4 nghiệm phân biệt.

b)3 nghiệm phân biệt.

c)2 nghiệm phân biệt.

d)1 nghiệm.

e)0 nghiệm.

Bài 3.6. Giải các phương trình

a)x\left(\dfrac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{3-x}{x+1}\right)=2.

b)x\left(\dfrac{8-x}{x-1}\right)\left(x-\dfrac{8-x}{x-1}\right)=15.

c)x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1.

Bài 3.7. Giải các phương trình

a)\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+7}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6};

b)\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}.

\boxed{4}. Định lý Viét và các áp dụng

\clubsuit Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là x_1x_2 thì ta có x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}x_1x_2=\dfrac{c}{a}.

\boxed{4.1}. Nhẩm nghiệm

\clubsuit Nếu a+b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=1,x_2=\dfrac{c}{a}. Nếu a-b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=-1,x_2=-\dfrac{c}{a}.

Continue reading “Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan”