Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan


Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

ax^2+bx+c=0, với a,bc là các số thực thoả mãn a\not =0.

\clubsuit Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.

\boxed{1}. Số nghiệm của phương trình bậc hai

\clubsuit Đặt \Delta=b^2-4ac. Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi \Delta\geq 0, có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta>0 và có 0 nghiệm khi và chỉ khi \Delta<0. Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của x^2 sau đó mới tính \Delta trong trường hợp hệ số này khác 0.

Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau a,b,c phương trình

\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình

c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0 vô nghiệm với a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} một trong ba phương trình sau phải có nghiệm ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0cx^2+2ax+b=0.

Bài 1.4. Cho a,b là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng phương trình \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{x-1}=1 có nghiệm.

Bài 1.5. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn 5a+4b+6c=0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.6. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a(a+2b+4c)<0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.7. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0x^2+cx+1=0.

Bài 1.8. Cho a,b,c là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0x^2+cx+a=0.

Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực thoả mãn |a|+|b|>2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax^2+bx+1-a=0.

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} phương trình sau luôn có nghiệm a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0.

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai x^2+ax+b=0x^2+cx+d=0 có các hệ số thoả mãn ac\geq 2(b+d) thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm.

\boxed{2}. Giải phương trình bậc hai có tham số

\clubsuit Đừng có tính \Delta của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của x^2 có thể bằng 0.

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình (m-1)x^2+m^2-3m+2=0.

Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình (m-3)x^2-2mx+m-6=0.

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình \dfrac{m-1}{mx-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{m+5}{(1-mx)(x^2-1)}.

\clubsuit Phải xét m=0 trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện.

\boxed{3}. Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.

\clubsuit Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

a)Phương trình trùng phương ax^4+bx^2+c=0(a\not=0).

b)Phương trình đối xứng gương ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0(a\not=0).

c)Phương trình dạng (x+a)^4+(x+b)^4=c.

d)Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e với a+c=b+d.

e)Phương trình dạng \dfrac{mx}{ax^2+bx+d}+\dfrac{nx}{ax^2+cx+d}=p(p\not=0).

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1. Giải các phương trình

a)2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0.

b)(x+3)^4+(x+5)^4=16.

c)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24.

d)x^4-17x^2+16=0.

e)\dfrac{4x}{4x^2-8x+7}+\dfrac{3x}{4x^2-10x+7}=1.

Bài 3.2. Giải các phương trình

a)(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^2.

b)\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}.

c)\dfrac{x^2-3x+5}{x^2-4x+5}-\dfrac{x^2-5x+5}{x^2-6x+5}=-\dfrac{1}{4}.

Bài 3.3. Giải các phương trình

a)20\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2-5\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

b)\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

Bài 3.4. Giải các phương trình

a)(x+5)(2x+12)(2x+20)(x+12)=3x^2.

b)(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4.

Bài 3.5. Cho phương trình x^4+2(m-2)x^2+m^2-5m+5=0. Tìm m để phương trình có

a)4 nghiệm phân biệt.

b)3 nghiệm phân biệt.

c)2 nghiệm phân biệt.

d)1 nghiệm.

e)0 nghiệm.

Bài 3.6. Giải các phương trình

a)x\left(\dfrac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{3-x}{x+1}\right)=2.

b)x\left(\dfrac{8-x}{x-1}\right)\left(x-\dfrac{8-x}{x-1}\right)=15.

c)x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1.

Bài 3.7. Giải các phương trình

a)\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+7}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6};

b)\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}.

\boxed{4}. Định lý Viét và các áp dụng

\clubsuit Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là x_1x_2 thì ta có x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}x_1x_2=\dfrac{c}{a}.

\boxed{4.1}. Nhẩm nghiệm

\clubsuit Nếu a+b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=1,x_2=\dfrac{c}{a}. Nếu a-b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=-1,x_2=-\dfrac{c}{a}.

Continue reading “Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan”