Danh sách đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010


1. Nguyễn Ngọc Trung, lớp 12, THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ

2. Nguyễn Minh Hiếu, lớp 12, THPT chuyên,ĐHKHTN-ĐHQGHN

3. Vũ Đình Long, lớp 11, THPT chuyên,ĐHKHTN-ĐHQGHN

4. Trần Thái Hưng, lớp 11,TH Thực hành ĐHSP TP Hồ Chí Minh

5. Phạm Việt Cường, lớp 12 Lê Quý Đôn, Đà Nẵng
6. Nguyễn Kiều Hiếu, lớp 12 Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đề thi tôi đã post ở đây https://trungtuan.wordpress.com/2010/04/18/topic-43/

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010


Ngày thứ nhất

Bài 1. \Delta ABC không vuông tại A, trung tuyến AMD là một điểm chạy trên AM. ( {O}_{1}),({O}_{2}) lần lượt là các đường tròn đi qua D và tiếp xúc với BC tại BCCA cắt ({O}_{2}) tại Q. BA cắt ({O}_{1}) tại P.

a)Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của ({O}_{1}) và tiếp tuyến tại Q của ({O}_{2})  phải cắt nhau, gọi giao điểm này là S.

b)Chứng minh rằng S luôn chạy trên một đường cố định khi D chạy trên AM.

Bài 2. Với mỗi n nguyên dương, xét tập sau {T}_{n}=\{11(k+h)+10({n}^{k}+{n}^{h})|1\leq k,h\leq 10\}. Tìm tất cả n sao cho không tồn tại a khác b\in {T}_{n}  sao cho a-b chia hết cho 110.

Bài 3. Hình chữ nhật  kích thước 1\times 2 được gọi là hình chữ nhật đơn( hcnd). hình chữ nhật 2\times 3 bỏ di hai ô ở góc chéo nhau(tức có có 4 ô) gọi là hcn kép (hcnk). Người ta ghép khít các hncd và hcnk được bảng 2008\times 2010. Tìm số bé nhất các hcnd có thể dùng để lát được như trên.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 16(a+b+c) \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}. Chứng minh rằng \sum_{cyclic}{\dfrac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \dfrac{8}{9}.

Bài 5.n mỗi nước có k đại diện (n > k > 1). Người ta chia nk người này thành n nhóm mỗi nhóm có k người sao cho không có hai  người cùng nhóm đến từ một nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra n người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6. Gọi S_n là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của (1+x)^n. Chứng minh rằng S_{2n} + 1 không chia hết cho 3.

———

Nguồn: Mathscope.org

Áp dụng của Định lý cơ bản của Số học


1. Cho M là tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng M chứa một tập con có 4 phần tử mà tích của chúng là luỹ thừa bậc 4 của một số nguyên;

2. Chứng minh rằng với mỗi ba số nguyên dương a,b,c ta có \dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]}=\dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)};

3. Cho ab là các số nguyên dương thoả mãn a|b^2,b^2|a^3,a^3|b^4,\cdots. Chứng minh rằng a=b.

4. Let m_1, m_2, \cdots, m_r (may not distinct) and n_1, n_2 \cdots, n_s (may not distinct) be two groups of positive integers such that for any positive integer d larger than 1, the numbers of which can be divided by d in group m_1, m_2, \cdots, m_r (including repeated numbers) are no less than that in group n_1, n_2 \cdots, n_s  (including repeated numbers). Prove that \displaystyle \dfrac {m_1 \cdot m_2 \cdots m_r}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_s} is integer.

5. Cho a,b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số \dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots (a+(n-1)b)}{n!} là một số nguyên.