IMO Shortlist 2008

Đại số

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ (tức là $f$ là một hàm từ tập các số thực dương) thỏa mãn

$\displaystyle\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx=yz$ .

Bài 2. (a) Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\ge1$ với mọi số thực $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .
(b) Chứng minh rằng đẳng thức trên xảy ra với vô số bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .

Bài 3. Cho $S\subseteq\mathbb{R}$ là một tập hợp các số thực. Ta nói rằng một cặp hàm số $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một “Cặp đôi Tây Ban Nha” (Spanish Couple) trên $S$ , nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm số đều tăng ngặt, tức là $f(x)<f(y)$ và $g(x)<g(y)$ với mọi $x, y\in S$ mà $x<y$ ;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x)))<g(f(x))$ đúng với mọi $x\in S$ .
Hãy xác định xem có tồn tại một Cặp đôi Tây Ban Nha trên tập $S=\mathbb{N}$ các số nguyên dương hay không; và trên tập $S={a-\frac{1}{b}:a,b\in\mathbb{N}}$ .

Bài 4. Với một số nguyên $m$ , gọi $t(m)$ là số duy nhất thuộc ${1,2,3}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Một hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ và $f(2^{n}+m)=f(2^{n}-t(m))-f(m)$ với mọi số nguyên $m, n\ge0$ sao cho $2^{n}>m$ . Chứng minh rằng $f(3p)\ge0$ đúng với mọi số nguyên $p\ge0$ .

Bài 5. Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ . Chứng minh rằng $a+b+c+d<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$ .

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $f(x+\frac{1}{f(y)})=f(y+\frac{1}{f(x)})$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$ .

Bài 7. Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a, b, c, d$ bất kỳ, bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge0$

luôn đúng. Xác định tất cả các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

Tổ hợp

Bài 1. Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu chúng có một điểm chung ở phần trong hoặc trên biên. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}$ ,…, $B_{n}$ thỏa mãn $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i\not\equiv j\pm1 \pmod n$ .

Bài 2. Cho $n\in\mathbb{N}$ và $A_{n}$ là tập hợp tất cả các hoán vị $(a_{1},...,a_{n})$ của tập ${1,2,...,n}$ sao cho $k\mid 2(a_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})$ với mọi $1\le k\le n$ . Tìm số phần tử của tập $A_{n}$ .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với một số nguyên dương $k$ , hai điểm phân biệt $A, B\in S$ được gọi là $k$ -bạn bè nếu tồn tại một điểm $C\in S$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $k$ . Một tập $T\subset S$ được gọi là $k$ -clique nếu cứ hai điểm bất kỳ trong $T$ đều là $k$ -bạn bè. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$ -clique có nhiều hơn 200 phần tử.

Bài 4. Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k\ge n$ và $k-n$ là một số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số từ 1 đến $2n$ , mỗi bóng có thể ở trạng thái bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt. Ta xét các dãy bước thực hiện: tại mỗi bước, một trong các bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số lượng các dãy như vậy gồm $k$ bước và dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, còn các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số lượng các dãy gồm $k$ bước dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng không có bóng đèn nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật lên. Xác định tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 5. Cho $S={x_{1},x_{2},...,x_{k+l}}$ là một tập hợp gồm $k+l$ số thực nằm trong đoạn $[0, 1]$ ; $k$ và $l$ là các số nguyên dương. Một tập con $A\subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là “đẹp” nếu

$\displaystyle \left|\frac{1}{k}\sum_{x_{i}\in A}x_{i}-\frac{1}{l}\sum_{x_{j}\in S\backslash A}x_{j}\right|\le\frac{k+l}{2kl}.$

Chứng minh rằng số lượng các tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+l}\binom{k+l}{k}$ .

Bài 6. Với $n\ge2$ , cho $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A={1,2,3,...,2^{n+1}}$ thỏa mãn tính chất sau. Không tồn tại các chỉ số $a$ và $b$ với $a<b$ và các phần tử $x,y,z\in A$ với $x<y<z$ sao cho $y,z\in S_{a}$ và $x,z\in S_{b}$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong các tập $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ chứa không quá $4n$ phần tử.

Continue reading →

Làm thế nào để cải thiện trực giác Toán học?

Trực giác Toán học có thể được hiểu là khả năng nhận ra các mẫu hình, mối liên hệ, hoặc cách tiếp cận một bài toán mà không cần dựa hoàn toàn vào các bước suy luận logic chi tiết. Trực giác này giống như một “cảm giác” về Toán học, cho phép người học dự đoán, hình dung, và đưa ra giả thuyết một cách tự nhiên. Trực giác Toán học không phải là một “phép màu” hay sự đoán mò. Nó được xây dựng dựa trên kinh nghiệm, sự quen thuộc với các khái niệm Toán học, và khả năng liên kết các ý tưởng. Nhà Toán học nổi tiếng Henri Poincaré từng mô tả trực giác như một công cụ giúp ông khám phá các ý tưởng mới, nhưng chỉ khi kết hợp với tư duy logic thì trực giác mới trở thành nền tảng cho những khám phá lớn.

Để cải thiện trực giác Toán học, bạn cần rèn luyện khả năng nhận diện các cấu hình, hiểu sâu các khái niệm và áp dụng chúng một cách linh hoạt. Dưới đây là một số kinh nghiệm hữu ích:

1. Thay vì chỉ học thuộc khái niệm hay định lý, hãy tìm hiểu tại sao chúng hoạt động. Đọc các chứng minh khác nhau khi học định lý, cố gắng nắm rõ ý tưởng chứng minh. Ngoài ra, có thể tự hỏi: Khái niệm này đến từ đâu? Ý nghĩa của kết quả này là gì? Nếu thay đổi hay bỏ bớt điều kiện, kết quả sẽ ra sao? Nó còn đúng không? Việc tìm câu trả lời sẽ kích thích tư duy trực giác và khả năng liên kết.

2. Giải nhiều bài toán ở các mức độ khác nhau, kể cả các bài toán mở. Các bài toán hình học, đại số, hay tổ hợp thường giúp phát triển trực giác nhờ tính trực quan. Những bài toán mở khuyến khích bạn suy nghĩ sáng tạo và hình dung cách giải quyết vấn đề.

3. Vẽ hình, biểu đồ, hoặc sơ đồ để minh họa bài toán. Chúng giúp bạn “thấy” được các mối liên hệ. Sử dụng các công cụ như GeoGebra hoặc giấy và bút để thử nghiệm các ý tưởng.

4. Thử giải bài toán theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, một bài toán hình học có thể được giải bằng đại số, lượng giác, hoặc hình học thuần túy. Điều này giúp bạn phát triển sự linh hoạt và nhận ra các mẫu ẩn. Khi gặp bài toán khó, hãy cố gắng chia nhỏ hoặc giải các bài toán đơn giản hơn.

5. Khi giải sai hay không giải được một bài toán, hãy dừng lại và phân tích lý do. Hỏi bản thân: “Mình đã bỏ qua điều gì?” hoặc “Có tính chất nào mình chưa nhận ra không?” Đây là cơ hội để phát triển trực giác, vì chúng chỉ ra những điểm mù trong tư duy.

6. Đọc và học từ các nguồn chất lượng. Đọc sách, xem video bài giảng hoặc bài viết của các nhà Toán học nổi tiếng để hiểu cách họ tiếp cận vấn đề. Các cuốn sách như “How to Solve It” của George Polya hoặc “The Art and Craft of Problem Solving” của Paul Zeitz rất hữu ích.

7. Hãy học hỏi từ những người khác ngoài thầy trực tiếp dạy bạn. Tham gia các nhóm học Toán hoặc diễn đàn như Art of Problem Solving. Thảo luận với người khác giúp tiếp cận các cách suy nghĩ mới và củng cố trực giác của mình. Dạy lại khái niệm cho người khác. Khi bạn giải thích một ý tưởng Toán học, bạn buộc phải hiểu nó sâu hơn, từ đó cải thiện trực giác.

Trực giác Toán học cần phải được rèn luyện thường xuyên, bạn nên dành thời gian mỗi ngày để giải một bài toán nhỏ hoặc suy nghĩ về một khái niệm mới. Trực giác Toán học không phát triển ngay lập tức, nó đòi hỏi thời gian và sự kiên trì. Hãy coi mỗi bài toán là một cơ hội để học hỏi, ngay cả khi bạn chưa tìm ra lời giải.

ISL1988/4 và một số bài toán liên quan

Gần đây bài toán sau lại tìm đến tôi: Cho số nguyên $n$ lớn hơn $1$ và một bảng ô vuông cỡ $n \times n.$ Viết vào các ô vuông của bảng các số $1, 2, \ldots, n^2$ sao cho hai ô khác nhau được viết hai số khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông có chung cạnh mà hiệu hai số được viết trên đó không bé hơn $n.$

Đây là bài toán số $4$ trong cuốn IMO 1988 Shortlist, mà tôi ký hiệu là ISL1988/4. Để làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp và học sinh, tôi giới thiệu nhiều lời giải của bài toán và một số bài toán liên quan. Không có kiến thức đặc biệt nào được sử dụng trong bài, các bạn học sinh lớp $8$ hay $9$ định hướng thi vào các lớp chuyên Toán có thể hiểu được tất cả các lời giải.