Canadian Mathematical Olympiad 2008

Bài 1. Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi có $AB$ là cạnh dài nhất. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $BC$ , sao cho mỗi đoạn thẳng $AN$ và $CM$ chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn thẳng $MN$ chia đôi đường chéo $BD$ .

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số hữu tỉ và nhận giá trị hữu tỉ sao cho $f(2f(x)+f(y))=2x+y$ , với mỗi $x$ và $y$ .

Bài 3. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}$ .

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số tự nhiên và nhận giá trị là các số tự nhiên sao cho $(f(n))^{p}\equiv n \pmod{f(p)}$ với mọi $n\in \mathbb{N}$ và mọi số nguyên tố $p$ .

Bài 5. Một đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ (một lưới chữ nhật gồm các ô vuông đơn vị) là một đường đi được tạo ra bởi một chuỗi các nước đi song song với một cạnh của bàn cờ từ một ô vuông đơn vị này sang một ô vuông đơn vị khác, sao cho mỗi nước đi bắt đầu từ nơi nước đi trước đó kết thúc và không có nước đi nào đi qua một ô vuông đã được đi qua trước đó, tức là đường đi của quân xe không tự cắt. Gọi $R(m,n)$ là số các đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ kích thước $m\times n$ ( $m$ hàng, $n$ cột) bắt đầu tại góc dưới bên trái và kết thúc tại góc trên bên trái. Ví dụ, $R(m,1)=1$ với mọi số tự nhiên $m$ ; $R(2,2)=2$ ; $R(3,2)=4$ ; $R(3,3)=11$ . Tìm một công thức cho $R(3,n)$ với mỗi số tự nhiên $n$ .

Asian Pacific Mathematics Olympiad 2009

Bài 1. Xét phép toán sau trên các số thực dương được viết trên bảng: Chọn một số $r$ được viết trên bảng, xóa số đó, và sau đó viết một cặp số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $2r^2=ab$ lên bảng. Giả sử ban đầu bạn chỉ có một số thực dương trên bảng, và thực hiện phép toán này $k^2-1$ lần để cuối cùng thu được $k^2$ số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một số trên bảng không vượt quá $kr$ .

Bài 2. Cho $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ là các số thực thỏa mãn $\frac{a_1}{k^2+1} + \frac{a_2}{k^2+2} + \frac{a_3}{k^2+3} + \frac{a_4}{k^2+4} + \frac{a_5}{k^2+5} = \frac{1}{k^2}$ với $k=1,2,3,4,5$ . Tìm giá trị của $\frac{a_1}{37} + \frac{a_2}{38} + \frac{a_3}{39} + \frac{a_4}{40} + \frac{a_5}{41}$ (Biểu diễn giá trị dưới dạng một phân số duy nhất.)

Bài 3. Cho ba đường tròn $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3$ không giao nhau và rời nhau từng đôi một trên mặt phẳng. Với mỗi điểm $P$ trên mặt phẳng, nằm ngoài ba đường tròn, dựng sáu điểm $A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3$ như sau: Với mỗi $i=1,2,3$ , $A_i, B_i$ là các điểm phân biệt trên đường tròn $\Gamma_i$ sao cho các đường thẳng $PA_i$ và $PB_i$ đều là tiếp tuyến của $\Gamma_i$ . Gọi điểm $P$ là điểm ngoại lệ nếu, từ cách dựng trên, ba đường thẳng $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ đồng quy. Chứng minh rằng mọi điểm ngoại lệ trên mặt phẳng, nếu tồn tại, đều nằm trên cùng một đường tròn.

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ , tồn tại một cấp số cộng $\frac{a_1}{b_1}$ , $\frac{a_2}{b_2}$ , $\dots$ , $\frac{a_k}{b_k}$ gồm các số hữu tỉ, trong đó $a_i, b_i$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi $i=1,2,\dots,k$ , sao cho các số nguyên dương $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_k, b_k$ đều phân biệt.

Bài 5. Larry và Rob là hai robot đi cùng một chiếc xe từ Argovia đến Zillis. Cả hai robot đều có quyền điều khiển vô lăng và rẽ theo thuật toán sau: Larry rẽ trái $90^\circ$ sau mỗi $l$ kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát; Rob rẽ phải $90^\circ$ sau mỗi $r$ kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát, trong đó $l$ và $r$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Trong trường hợp cả hai lượt rẽ xảy ra đồng thời, xe sẽ tiếp tục đi thẳng mà không chuyển hướng. Giả sử mặt đất bằng phẳng và xe có thể di chuyển theo bất kỳ hướng nào. Giả sử xe xuất phát từ Argovia và hướng về phía Zillis. Với những lựa chọn nào của cặp $(l, r)$ thì xe được đảm bảo sẽ đến Zillis, bất kể khoảng cách từ Argovia là bao xa?

Japan Mathematical Olympiad 2008 (Finals)

Bài 1. Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên sao cho $P(n^{2})=0$ với một số nguyên khác không $n$ nào đó. Chứng minh rằng $P(a^{2})\ne1$ với mọi số hữu tỉ $a\ne0$ .

Bài 2. Có 2008 thẻ đỏ và 2008 thẻ trắng. 2008 người chơi ngồi thành một vòng tròn hướng mặt vào trong, với tình trạng ban đầu là mỗi người được chia 2 thẻ. Mỗi người thực hiện quy trình sau trong cùng một lượt:
(*) Nếu bạn có nhiều hơn một thẻ đỏ, bạn sẽ chuyển một thẻ đỏ cho người ngồi liền kề bên trái.

Nếu bạn không có thẻ đỏ nào, bạn sẽ chuyển một thẻ trắng cho người ngồi liền kề bên trái.
Tìm giá trị lớn nhất của số lượt cần thiết để đạt được trạng thái mà tất cả mọi người đều có một thẻ đỏ và một thẻ trắng lần đầu tiên.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Đường tròn đi qua hai điểm $A, O$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P, Q$ (khác $A$ ). Nếu độ dài các đoạn thẳng $PQ$ và $BC$ bằng nhau, hãy tìm góc $\le90^{\circ}$ tạo bởi hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ .

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(f(x)-y)=xf(x)-yf(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ .

Bài 5. Có tồn tại hay không một số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số hữu tỉ $r$ , tồn tại một số nguyên $b$ và các số nguyên khác không $a_{i}$ ( $i=1,2,\dots, n$ ) thỏa mãn $r=b+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}$ ?

IMO Shortlist 2008

Đại số

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ (tức là $f$ là một hàm từ tập các số thực dương) thỏa mãn

$\displaystyle\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx=yz$ .

Bài 2. (a) Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\ge1$ với mọi số thực $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .
(b) Chứng minh rằng đẳng thức trên xảy ra với vô số bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .

Bài 3. Cho $S\subseteq\mathbb{R}$ là một tập hợp các số thực. Ta nói rằng một cặp hàm số $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một “Cặp đôi Tây Ban Nha” (Spanish Couple) trên $S$ , nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm số đều tăng ngặt, tức là $f(x)<f(y)$ và $g(x)<g(y)$ với mọi $x, y\in S$ mà $x<y$ ;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x)))<g(f(x))$ đúng với mọi $x\in S$ .
Hãy xác định xem có tồn tại một Cặp đôi Tây Ban Nha trên tập $S=\mathbb{N}$ các số nguyên dương hay không; và trên tập $S={a-\frac{1}{b}:a,b\in\mathbb{N}}$ .

Bài 4. Với một số nguyên $m$ , gọi $t(m)$ là số duy nhất thuộc ${1,2,3}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Một hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ và $f(2^{n}+m)=f(2^{n}-t(m))-f(m)$ với mọi số nguyên $m, n\ge0$ sao cho $2^{n}>m$ . Chứng minh rằng $f(3p)\ge0$ đúng với mọi số nguyên $p\ge0$ .

Bài 5. Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ . Chứng minh rằng $a+b+c+d<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$ .

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $f(x+\frac{1}{f(y)})=f(y+\frac{1}{f(x)})$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$ .

Bài 7. Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a, b, c, d$ bất kỳ, bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge0$

luôn đúng. Xác định tất cả các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

Tổ hợp

Bài 1. Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu chúng có một điểm chung ở phần trong hoặc trên biên. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}$ ,…, $B_{n}$ thỏa mãn $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i\not\equiv j\pm1 \pmod n$ .

Bài 2. Cho $n\in\mathbb{N}$ và $A_{n}$ là tập hợp tất cả các hoán vị $(a_{1},...,a_{n})$ của tập ${1,2,...,n}$ sao cho $k\mid 2(a_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})$ với mọi $1\le k\le n$ . Tìm số phần tử của tập $A_{n}$ .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với một số nguyên dương $k$ , hai điểm phân biệt $A, B\in S$ được gọi là $k$ -bạn bè nếu tồn tại một điểm $C\in S$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $k$ . Một tập $T\subset S$ được gọi là $k$ -clique nếu cứ hai điểm bất kỳ trong $T$ đều là $k$ -bạn bè. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$ -clique có nhiều hơn 200 phần tử.

Bài 4. Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k\ge n$ và $k-n$ là một số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số từ 1 đến $2n$ , mỗi bóng có thể ở trạng thái bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt. Ta xét các dãy bước thực hiện: tại mỗi bước, một trong các bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số lượng các dãy như vậy gồm $k$ bước và dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, còn các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số lượng các dãy gồm $k$ bước dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng không có bóng đèn nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật lên. Xác định tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 5. Cho $S={x_{1},x_{2},...,x_{k+l}}$ là một tập hợp gồm $k+l$ số thực nằm trong đoạn $[0, 1]$ ; $k$ và $l$ là các số nguyên dương. Một tập con $A\subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là “đẹp” nếu

$\displaystyle \left|\frac{1}{k}\sum_{x_{i}\in A}x_{i}-\frac{1}{l}\sum_{x_{j}\in S\backslash A}x_{j}\right|\le\frac{k+l}{2kl}.$

Chứng minh rằng số lượng các tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+l}\binom{k+l}{k}$ .

Bài 6. Với $n\ge2$ , cho $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A={1,2,3,...,2^{n+1}}$ thỏa mãn tính chất sau. Không tồn tại các chỉ số $a$ và $b$ với $a<b$ và các phần tử $x,y,z\in A$ với $x<y<z$ sao cho $y,z\in S_{a}$ và $x,z\in S_{b}$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong các tập $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ chứa không quá $4n$ phần tử.