A Proof of Karamata’s Inequality

Bất đẳng thức Karamata là một trong những công cụ mạnh mẽ và kinh điển nhất khi xử lý các bài toán Bất đẳng thức Olympic. Trong tài liệu ngắn này, chúng tôi trình bày một chứng minh chi tiết và tự nhiên cho định lý này, sử dụng “Bổ đề làm đều hai số” kết hợp với phương pháp quy nạp toán học dựa trên quan hệ trội.

Karamata Download

The Isoperimetric Inequality for Polygons

Trong tất cả các đa giác $n$ cạnh có cùng chu vi, đa giác nào có diện tích lớn nhất? Đáp án là đa giác đều: nếu đa giác đơn có chu vi $L$ và diện tích $S$ thì $S \le \frac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}$ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa giác đều. Bài viết trình bày hai chứng minh: một bằng giải tích Fourier rời rạc, một bằng phương pháp hình học cực trị. Nội dung đầy đủ ở file PDF bên dưới.

isoperime.ineq Download

A Proof of Stirling’s Approximation

Chúng tôi giới thiệu một chứng minh của công thức Stirling.

stirling Download

Maclaurin’s Inequality via Rolle’s Theorem

Chúng tôi giới thiệu một chứng minh cho bất đẳng Maclaurin.

Maclaurin Download

An Elementary Proof of the Gauss–Lucas Theorem

Các bạn xem lại bài sau để theo dõi cho dễ https://nttuan.org/2007/10/26/poly01/

Định lý Gauss–Lucas. Cho đa thức khác hằng $P\in\mathbb{C}[z]$ . Chứng minh rằng mọi nghiệm phức của đạo hàm hình thức $P'$ đều nằm trong bao lồi của tập hợp các nghiệm phức của $P$ .

Chứng minh. Đặt $n=\deg P$ và gọi $z_1,\ldots,z_n$ là các nghiệm của $P$ (kể cả bội). Khi đó

$\displaystyle P(z)=c\prod_{i=1}^{n}(z-z_i),\qquad c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$

Lấy $w\in\mathbb{C}$ sao cho $P'(w)=0$ . Nếu $P(w)=0$ thì $w$ thuộc tập nghiệm của $P$ , nên hiển nhiên nằm trong bao lồi của tập này.

Xét trường hợp $P(w)\ne0$ . Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích rồi chia cho $P(w)$ , ta được

$\displaystyle 0=\frac{P'(w)}{P(w)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{w-z_i}.$

Lấy liên hợp hai vế, suy ra

$\displaystyle 0=\sum_{i=1}^{n}\frac{w-z_i}{|w-z_i|^2}=w\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{|w-z_i|^2}-\sum_{i=1}^{n}\frac{z_i}{|w-z_i|^2}.$

Do đó

$\displaystyle w=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i,$

trong đó

$\displaystyle \lambda_i=\frac{|w-z_i|^{-2}}{\sum_{j=1}^{n}|w-z_j|^{-2}}\quad(1\le i\le n).$

Các hệ số $\lambda_i$ đều dương và có tổng bằng $1$ . Vì vậy, $w$ là một tổ hợp lồi của $z_1,\ldots,z_n$ , nên nằm trong bao lồi của tập nghiệm của $P$ . $\Box$