Bài toán phương trình, bất phương trình chứa căn qua các kỳ thi Đại học gần đây


Bài 1(A-2009). Giải phương trình

2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0.

Đáp số: x=-2.

Bài 2(A-2008). Tìm m để phương trình

\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+2\sqrt{6-x}=m

có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Đáp số: 2\sqrt[4]{6}+2\sqrt{6}\leq m<3\sqrt{2}+6.

Bài 3(D-2008). Giải hệ phương trình

\begin{cases}xy+x+y=x^2-2y^2\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y.\end{cases}

Đáp số: (5;2).

Bài 4(A-2007). Tìm m để phương trình

3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}

có nghiệm thực.

Đáp số: -1<m\leq 1/3.

Bài 5(B-2007). Chứng minh rằng với mỗi m>0, phương trình

x^2+2x-8=\sqrt{m(x-2)} có hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 6(A-2006). Giải hệ phương trình

\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4.\end{cases}

Đáp số: (3;3).

Bài 7(B-2006). Tìm m để phương trình

\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1

có hai nghiệm thực phân biệt.

Đáp số: m\geq 9/2.

Bài 8(D-2006). Giải phương trình

\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0.

Đáp số: 1,2-\sqrt{2}.

Bài 9(A-2005). Giải bất phương trình

\sqrt{5x-1}-\sqrt{x-1}>\sqrt{2x-4}.

Đáp số: 2\leq x<10.

Bài 10(B-2005). Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3y^3=3.\end{cases}

Đáp số: (1;1),(2;2).

Bài 11(D-2005). Giải phương trình

2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4.

Đáp số: x=3.

Bài 12(A-2004). Giải bất phương trình

\dfrac{\sqrt{2(x^2-16)}}{\sqrt{x-3}}+\sqrt{x-3}>\dfrac{7-x}{\sqrt{x-3}}.

Đáp số: x>10-\sqrt{34}.

Bài 13(B-2004). Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}+2)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.

Đáp số: \sqrt{2}-1\leq m\leq 1.

Bài 14(D-2004). Tìm m để hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m.\end{cases}

có nghiệm.

Đáp số: 0\leq m\leq 1/4.

Bài 15(A-2002). Cho phương trình \log_3^2x+\sqrt{\log_3^2x+1}-2m-1=0.

a)Giải phương trình với m=2;

b)Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc [1;3^{\sqrt{3}}].

Đáp số: x=3^{\pm\sqrt{3}},0\leq m\leq 2.

Bài 16(B-2002). Giải hệ phương trình

\begin{cases}\sqrt[3]{x-y}=\sqrt{x-y}\\ x+y=\sqrt{x+y+2}.\end{cases}

Đáp số: (1;1),(3/2;1/2).

Bài 17(D-2002). Giải bất phương trình

(x^2-3x)\sqrt{2x^2-3x-2}\geq 0.

Đáp số: x\leq -1/2,x=2,x\geq 3.

Bài 18(Đề tham khảo A-2008). Giải phương trình

\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\dfrac{(2x-1)^2}{2}.

Đáp số: -1/2;3/2.

Bài 19(Đề tham khảo A-2008). Giải bất phương trình

\dfrac{1}{1-x^2}+1>\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^2}}.

Đáp số: -1<x<1/\sqrt{2};2/\sqrt{5}<x<1.

Bài 20(Đề tham khảo B-2008). Giải phương trình

\sqrt{10x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{9x+4}+\sqrt{2x-2}.

Đáp số: x=3.

Continue reading “Bài toán phương trình, bất phương trình chứa căn qua các kỳ thi Đại học gần đây”

Đề chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2011, Ngày 1


Thời gian làm bài 240 phút


Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ có một con cào cào ở điểm (1;1). Nó có thể nhảy từ A sang B khi tam giác OAB có diện tích bằng \dfrac{1}{2}.
1/. Tìm các điểm (m,n) sao cho con cào cào có thể nhảy đến đó sau hữu hạn bước
2/. Chứng minh rằng con cào cào có thể nhảy đến (m,n) kể trên sau ít hơn |m-n| bước
(m,n nguyên dương)

Continue reading “Đề chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2011, Ngày 1”

Đề thi AIME từ năm 1983 đến năm 2011


The AIME (American Invitational Mathematics Examination) is an intermediate examination between the AMC 10 or AMC 12 and the USAMO. All students who took the AMC 12 and achieved a score of 100 or more out of a possible 150 or were in the top 5% are invited to take the AIME. All students who took the AMC 10 and had a score of 120 or more out of a possible 150, or were in the top 2.5% also qualify for the AIME.

Continue reading “Đề thi AIME từ năm 1983 đến năm 2011”

Cỡ giầy của Việt Nam và mối liên hệ của nó với cỡ giầy UK,US và Japan,…


Chào các anh em,

Dạo này mỗ đang săn đôi ĐỐC, may mắn có đứa cháu đang học ở bên Tây nên vấn đề chỉ là chọn size (cỡ) thôi. Hì hục cuối cùng cũng tìm ra cái bảng sau. 😀

Continue reading “Cỡ giầy của Việt Nam và mối liên hệ của nó với cỡ giầy UK,US và Japan,…”