Bài tập về Góc định hướng


Bài 1. Tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại E, các đường chéo AC,BD cắt nhau tại F. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD,BFC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Chứng minh rằng \widehat{EHF}=90^{\circ}.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn và O là tâm ngoại tiếp của nó. Các đường thẳng CA,CB cắt lại (ABO) tại P,Q tương ứng. Chứng minh rằng CO vuông góc với PQ.

Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn. Gọi P,Q,R,S là giao của các phân giác ngoài của các góc ABDADB, DABDBA, ACDADC, DACDCA tương ứng. Chứng minh rằng P,Q,R,S đồng viên.

Bài 4. Các đường tròn \omega_1,\omega_2,\omega_3 nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc ngoài với nhau từng cặp. Gọi P_i là điểm tiếp xúc của \omega_j,\omega_k; với \{i,j,k\}=\{1,2,3\}. Gọi A,B là hai điểm khác P_1,P_2 và nằm trên \omega_3 sao cho AB là đường kính của \omega_3. Đường thẳng AP_1 cắt lại \omega_1 tại X, đường thẳng BP_2 cắt lại \omega_2 tại Y, và các đường thẳng AP_2,BP_1 cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Bài 5. Các đường tròn S_1,S_2 cắt nhau tại hai điểm M,N. A,D là các điểm nằm trên S_1,S_2 tương ứng sao cho các đường thẳng AM,AN cắt S_2 tại B,C; các đường thẳng DM,DN cắt S_1 tại E,FA,E,F nằm cùng một phía của MND,B,C nằm ở phía kia của MN. Chứng minh rằng có điểm cố định O sao cho với mỗi A,D thỏa mãn điều kiện AB=DE, O cách đều bốn điểm A,F,C,D.

Bài 6. D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác ABC. (BCD) cắt AC tại CM, và (ACD) cắt BC tại CN. Gọi O là tâm của (CMN). Chứng minh rằng OD vuông góc với AB.

Bài 7. Hai đường tròn C_1,C_2 cắt nhau tại hai điểm P,Q. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần P hơn Q tiếp xúc với C_1,C_2 tại A,B tương ứng. Tiếp tuyến của C_1 tại P cắt C_2 tại E khác P, và tiếp tuyến với C_2 tại P cắt C_1 tại F khác P. Gọi H,K là hai điểm trên các tia AF,BE tương ứng sao cho AH=AP,BK=BP. Chứng minh 5 điểm A,H,Q,KB đồng viên.

Bài 8. Cho tam giác nhọn không cân ABC, E nằm trên trung tuyến AD của nó. Vẽ EF vuông góc với BC. M là một điểm bất kỳ trên EF, và N,P là hình chiếu của M trên AC,AB tương ứng. Chứng minh rằng phân giác của PMN,PEN song song với nhau.

Bài 9. Đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC tại B. Gọi K là hình chiếu của trực tâm của tam giác ABC trên l, và gọi L là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tam giác BKL cân.

Bài 10. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm M,K. Các đường thẳng AB,CD vẽ qua MK tương ứng, chúng cắt đường tròn thứ nhất tại A,C; đường tròn thứ hai tại B,D. Chứng minh rằng AC||BD.

Bài 11. Các điểm A,B,MN nằm trên một đường tròn. Từ điểm M, các dây MA_1,MB_1 được vẽ vuông góc với NB,NA tương ứng. Chứng minh rằng AA_1||BB_1.

Bài 12. Hai đường tròn cắt nhau tại P,Q. Qua điểm A trên đường tròn thứ nhất vẽ các đường thẳng AP,AQ. Các đường thẳng này cắt lại đường tròn thứ hai tại B,C. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A với đường tròn thứ nhất song song với BC.

Bài 13. Các đường tròn S_1,S_2 cắt nhau tại A,P. AB là tiếp tuyến của S_1, đường thẳng CD song song với AB và đi qua P (B,C\in S_2D\in S_1). Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

Bài 14. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại hai họ các tam giác đều sao cho các cạnh (hay phần kéo dài) của chúng đi qua các điểm A,B,C. Chứng minh rằng tâm của các tam giác nằm trong hai họ này nằm trên hai đường tròn đồng tâm.

Bài 15. Hai đường tròn S_1,S_2 có điểm chung A (không cần phải tiếp xúc nhau). Qua A ta vẽ đường thẳng cắt S_1 tại BS_2 tại C. Tại B,C các tiếp tuyến của hai đường tròn được vẽ, gọi D là giao của hai tiếp tuyến này. Chứng minh rằng góc \widehat{BDC} không phụ thuộc vào đường thẳng qua A.

Bài 16. Đường tròn S tiếp xúc với các đường tròn S_1,S_2 tại A_1,A_2 tương ứng, B là một điểm của đường tròn S. K_1,K_2 là các giao điểm khác của các đường thẳng A_1B,A_2B với các đường tròn S_1,S_2 tương ứng. Chứng minh rằng nếu K_1K_2 tiếp xúc với S_1 thì K_1K_2 tiếp xúc với S_2.

Bài 17. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,AC tại các điểm M,N tương ứng. P là giao điểm của đường thẳng MN với phân giác trong (hay phần kéo dài) của tam giác tại đỉnh B. Chứng minh rằng \widehat{BPC}=90^{\circ}S_{ABP}:S_{ABC}=1:2.

Bài 18. Các đường thẳng AP,BP,CP cắt (ABC) tại A_1,B_1,C_1 tương ứng. Trên các đường thẳng BC,CA,AB lấy các điểm A_1,B_2,C_2 tương ứng sao cho (PA_2,BC)=(PB_2,CA)=(PC_2,AB)\pmod{\pi}.

Chứng minh rằng hai tam giác A_2B_2C_2A_1B_1C_1 đồng dạng.

Bài 19. Các cạnh tương ứng của các tam giác ABCA_1B_1C_1 song song với nhau và các cạnh AB,A_1B_1 nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng đường thẳng nối các giao điểm của hai đường tròn (A_1BC)(AB_1C) chứa điểm C_1.

Bài 20. Tam giác ABC có các đường cao AA_1,BB_1CC_1. Đường thẳng KL song song với CC_1 sao cho K,L nằm trên BC,B_1C_1 tương ứng. Chứng minh rằng tâm của A_1KL nằm trên AC.

Bài 21. Tam giác ABC có đường cao AH. Từ các đỉnh B,C vẽ các đường vuông góc BB_1,CC_1 xuống một đường thẳng qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HB_1C_1.

Bài 22. Ngũ giác ABCDE nội tiếp một đường tròn. Khoảng cách từ E đến AB,BC,CD bằng a,b,c tương ứng. Tính khoảng cách từ E đến AD.

Bài 23. Tam giác ABC có các đường cao AA_1,BB_1CC_1. B_2,C_2 là các trung điểm của BB_1,CC_1 tương ứng. Chứng minh rằng tam giác A_1B_2C_2 đồng dạng với tam giác ABC.

Continue reading “Bài tập về Góc định hướng”

Bài tập về Hàm số liên tục


Bài 1. Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc lẻ với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Bài 2. Cho f:[a;b]\to [a;b] là một hàm số liên tục. Chứng minh rằng có c\in [a;b] để f(x)=x.

Bài 3. Chứng minh rằng nếu f là một song ánh liên tục trên [a;b]f(a)<f(b) thì f đồng biến trên đoạn [a;b].

Bài 4. Chứng minh rằng x^{17}=x^{11}+1 có đúng một nghiệm dương.

Bài 5. Cho f,g:[0;1]\to\mathbb{R} liên tục sao cho f(0)=g(1)=0f(1)=g(0)=1. Chứng minh rằng \forall\lambda>0\exists x\in [0;1]:f(x)=\lambda g(x).

Bài 6. Cho I là một khoảng của \mathbb{R}f,g là các hàm số liên tục trên I thỏa mãn f^2(x)=g^2(x)\not =0\,\,\forall x\in I. Chứng minh rằng f=g hoặc f=-g.

Bài 7. Cho \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} giảm nghiêm ngặt. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f(f(x))=\varphi (x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 8. Có tồn tại hay không hàm số liên tục f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(f(x))+x=0\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 9. Cho f,g:[a;b]\to\mathbb{R} thỏa mãn f(x)>g(x)>0\,\,\,\forall x\in [a;b]. Chứng minh rằng có số thực dương \lambda thỏa mãn (1+\lambda)g(x)\leq f(x)\,\,\forall x\in [a;b].

Bài 10.

a) Chứng minh rằng phương trình x^3-3x+1=0 có đúng ba nghiệm thực.

b) Gọi ba nghiệm đó là x_1<x_2<x_3. Chứng minh rằng x_1=x_2^2-2,x_2=x_3^2-2x_3=x_1^2-2.

Continue reading “Bài tập về Hàm số liên tục”

Các phép toán trên tập các số phức


Để làm được các bài tập thuộc dạng này các em chỉ cần nhớ là i^2=-1.

A1. Với mỗi số nguyên dương n, hãy tính i^n. Từ đó tính giá trị của biểu thức A=i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34}.

A2. Tìm các số phức z thỏa mãn z^3=18+26i và phần thực, phần ảo của nó là các số nguyên.

Đáp số: 3+i.

A3. Tính \dfrac{5+5i}{3-4i}+\dfrac{20}{4+3i}.

Đáp số: 3-i.

A4. Chứng minh rằng z_1\cdot\bar{z_2}+\bar{z_1}\cdot z_2\in\mathbb{R}\,\,\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}.

A5. Các điểm (1;2),(-2;3),(1;-1) biểu diễn các số phức z_1,z_2,z_3 tương ứng. Tính

a) z_1+z_2+z_3;

b) z_1z_2+z_2z_3;

c) z_1z_2z_3;

d) z_1^2+z_2^2+z_3^2;

e) \dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1};

f) \dfrac{z_1^2+z_2^2}{z_2^2+z_3^2}.

A6. Tìm các số thực x,y trong mỗi trường hợp sau

a) (1-2i)x+(1+2i)y=1+i;

b) \dfrac{x-3}{3+i}+\dfrac{y-3}{3-i}=i;

c) (4-3i)x^2+(3+2i)xy=4y^2-\dfrac{x^2}{2}+(3xy-2y^2)i.

A7. Tính (1-i)^n với n là một số nguyên dương.

A8. Tính

a) (2-i)(-3+2i)(5-4i);

b) (2-4i)(5+2i)+(3+4i)(-6-i);

c) \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{16}+\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{8};

d) \dfrac{3+7i}{2+3i}+\dfrac{5-8i}{2-3i}.

Continue reading “Các phép toán trên tập các số phức”