Bài toán Hình học không gian trong đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2010


Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD; H là giao điểm của CN,DM. Biết SH vuông góc với (ABCD)SH=a\sqrt{3}. Tính thể tích S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DMSC theo a.

Đáp số: \dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.

Bài 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A'BC)(ABC) bằng 60^{\circ}. Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Đáp số: \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{8},\dfrac{7a}{12}.

Bài 3. (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH=\dfrac{AC}{4}. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}.

Bài 4. (A-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a;CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC),(ABCD) bằng 60^{\circ}. Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI),(SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Đáp số: \dfrac{3\sqrt{15}a^3}{5}.

Bài 5. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'BB'=a, góc giữa đường thẳng BB'(ABC) bằng 60^{\circ}; tam giác ABC vuông tại C\widehat{BAC}=60^{\circ}. Hình chiếu vuông góc của B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của \Delta ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A'ABC theo a.

Đáp số: \dfrac{9a^3}{208}.

Bài 6. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB=a,AA'=2a,A'C=3a. Gọi M là trung điểm của A'C', $I$ là giao của AM,A'C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến (IBC).

Đáp số: \dfrac{4}{9}a^3,\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.

Bài 7. (A-2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=a\sqrt{3} và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA',B'C'.

Đáp số: \dfrac{a^3}{2},\dfrac{1}{4}.

Bài 8. (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. SA=a,SB=a\sqrt{3}(SAB) vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3},\dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Bài 9. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C.

Đáp số: \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.

Bài 10. (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Đáp số: \dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}.

Continue reading “Bài toán Hình học không gian trong đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2010”