Basic counting principles

Nguyên lý thứ nhất (Quy tắc cộng). Giả sử có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$ , $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$ ,…, $n_k$ cách thực hiện việc $E_k$ . Nếu $k$ việc này không thể làm đồng thời thì sẽ có $n_1+n_2+\cdots+n_k$ cách thực hiện một trong các việc $E_1,E_2,\ldots,E_k$ .

Ví dụ 1. Người ta có thể đi từ Hải Phòng đến Đà Nẵng bằng một trong ba phương tiện: tàu hoả, tàu thuỷ và máy bay. Nếu có hai cách đi bằng tàu hoả, ba cách đi bằng tàu thuỷ, và $1$ cách đi bằng máy bay thì sẽ có $2+3+1=6$ cách đi từ Hải Phòng đến Đà Nẵng. $\Box$

Ví dụ 2. Tìm số các cặp có thứ tự $(x;y)$ các số nguyên thoả mãn $x^2+y^2\leq 5$ .

Lời giải. Mỗi $i=0,1,2,3,4,5$ ta đặt $S_i=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{Z},x^2+y^2=i\}$ , khi đó tập cần tính số phần tử sẽ là hợp rời rạc của các $S_i$ . Ta tính số phần tử của các $S_i$ bằng phương pháp liệt kê và cuối cùng được đáp số của bài toán là $21.$ $\Box$

Nguyên lý thứ hai (Quy tắc nhân). Giả sử rằng việc $E$ có thể được làm bằng cách thực hiện liên tiếp các việc $E_1,E_2,\ldots,E_k$ ; và có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$ , $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$ ,…, $n_k$ cách thực hiện việc $E_k$ . Khi đó số cách làm việc $E$ là $n_1\times n_2\times\cdots\times n_k$ .

Ví dụ 3. Đề đi từ thành phố $A$ đến thành phố $D$ người ta phải đi lần lượt qua hai thành phố $B$ và $C$ . Nếu có hai cách đi từ $A$ đến $B$, ba cách đi từ $B$ đến $C$ và một cách đi từ $C$ đến $D$ thì sẽ có $2\times 3\times 1=6$ cách đi từ $A$ đến $D.$ $\Box$

Ví dụ 4. Cho $k$ và $n$ là các số nguyên dương. Một dãy $k-$ phân độ dài $n$ là một dãy $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ với $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{0,1,\ldots,k-1\}$ . Hỏi có bao nhiêu dãy này?

Lời giải. Đặt $A=\{0,1,\ldots,k-1\}$ . Để hình thành một dãy $k-$ phân, đầu tiên chúng ta cần chọn $a_1$ từ $B$ , sau đó chọn $a_2$ từ $B$ , và cứ như thế cho đến cuối cùng cần chọn $a_n$ từ $B$ . Bởi vì có $k$ cách để làm mỗi bước nên theo quy tắc nhân, số các dãy như vậy bằng $k^n.$ $\Box$

Ví dụ 5. Tìm số các ước dương của $600$ .

Lời giải. Ta có $600=2^3\times 3^1\times 5^2$ nên một số nguyên dương $m$ là một ước dương của $600$ khi và chỉ khi nó có dạng $m=2^a\times 3^b\times 5^c$ với $a,b,c$ là các số nguyên thoả mãn $0\leq a\leq 3,0\leq b\leq 1,0\leq c\leq 2$ . Như vậy số các ước dương của $600$ bằng số các bộ ba $(a,b,c)$ thoả mãn $a\in\{0,1,2,3\},b\in\{0,1\},c\in\{0,1,2\}$ , theo quy tắc nhân, số ước dương của $600$ bằng $4\times 2\times 3=24.$ $\Box$

Tổng quát hơn ta có: Nếu số nguyên dương $n$ có phân tích tiêu chuẩn $n=\prod p_i^{k_i}$ thì số các ước dương của $n$ bằng $\prod (k_i+1)$ .

Ví dụ 6. Cho $X=\{1,2,\ldots,100\}$ và

$S=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in X,a<b,a<c\}.$ Tính $|S|$ .

Lời giải. Với mỗi $k=1,2,\cdots,99$ ta đặt $S_k=\{(k,b,c)|b,c\in X, b>k,c>k\}$ . Khi đó $S$ là hợp rời rạc của các $S_k$ , mà theo quy tắc nhân ta có $|S_k|=(100-k)^2$ nên suy ra $|S|=\sum S_k=328350\Box$ .

Để ý đến lời giải ví dụ thứ hai và thứ sáu, ta thấy chúng có một điểm chung là chia bài toán đã cho thành các bài toán con đơn giản hơn và giải chúng. Đây là cách cơ bản nhất để giải các bài toán đếm, có thể sẽ có cách khác ngắn gọn hơn, nhưng việc chia một bài toán thành các bài toán con mà chúng ta đã biết cách giải sẽ giúp ta ít gặp phải các sai lầm hơn.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được lấy từ tập $\{1,2,3,4,5,6\}$ nếu

(a) Các chữ số không cần phải khác nhau?

(b) Các chữ số phải khác nhau?

(d) Các chữ số không cần phải khác nhau và chứa số $3$ ?

Lời giải.

(a) $6^3.$

(b) $6\times 5\times 4$ .

(d) Nếu tiếp tục làm như trên ta sẽ được kết quả là $3\times 6\times 6$ , đây là một kết quả không chính xác! Vì làm như vậy những số như $323$ sẽ được đếm hai lần. Vấn đề ở chỗ ta đã dùng sai quy tắc nhân, mỗi hai tổ hợp khác nhau cách thực hiện các công việc $E_i$ phải cho hai kết quả khác nhau thì ta mới áp dụng được quy tắc nhân. Bài này ta lại phải chia thành các bài toán con và giải chúng lần lượt.

Ta chia trường hợp theo vị trí của số $3$ nằm bên trái nhất. Nếu số $3$ này nằm ở vị trí hàng trăm thì số có ba chữ số phải có dạng $\overline{3ab}$ , nếu nó nằm ở vị trí hàng chục thì số có ba chữ số phải có dạng $\overline{a3b}$ với $a\not=3$ , và cuối cùng, nếu số $3$ này nằm ở vị trí hàng đơn vị thì số ba chữ số phải có dạng $\overline{ab3}$ với $a,b\not=3$ . Giải các bài toán con ta được đáp số của bài toán là $6\times 6+5\times 6+5\times 5.$ $\Box$

Continue reading →

Burnside’s lemma

Cho $X$ là một tập hợp và $G$ là một nhóm. Ta nói $G$ tác động trên $X$ , hay $X$ là một $G-$ tập, nếu có hàm $G\times X\to X$ , $(g,x)\mapsto gx$ thoả mãn $ex=x\forall x\in X$ và $g_1(g_2x)=(g_1g_2)x\forall x\in X\forall g_1,g_2\in G$ , ở đây $e$ là phần tử đơn vị của $G$ .

Gìơ ta xét một $G-$ tập $X$ , với mỗi $x\in X$ , ta gọi quỹ đạo của $x$ là tập $\{gx|g\in G\}$ . Các quỹ đạo khác nhau của các phần tử trong $X$ làm thành một phân hoạch của $X$ , thật vậy, quan hệ $xRy$ nếu có $g\in G$ để $x=gy$ là một quan hệ tương đương trên $X$ . Khi $X$ và $G$ là các tập hữu hạn thì ta có thể tính số khối của phân hoạch này theo bổ đề sau đây.

Bổ đề Burnside. Nếu $X$ là một $G-$ tập hữu hạn (nghĩa là $X$ và $G$ là các tập hữu hạn và $X$ là một $G-$ tập) và $N$ là số các quỹ đạo khác nhau của các phần tử trong $X$ thì $N=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}F(g)$ , trong đó với mỗi $g\in G$ , $F(g)$ là số phần tử của tập $\{x\in X|gx=x\}$ .

Tôi sẽ không đưa ra chứng minh nào của bổ đề này ở đây, các bạn có thể tìm một chứng minh trong sách Tổ hợp của Ngô Đắc Tân hay sách về lý thuyết nhóm của Rotman. Gìơ ta đi xét các áp dụng của bổ đề này vào giải các bài toán đếm, các bài tập này đều có trong sách của Rotman.

Bài 1. Cho $n$ và $q$ là các số nguyên dương. Hỏi có bao nhiêu lá cờ gồm $n$ mảnh sao cho mỗi mảnh mang một trong $q$ màu cho trước?(Ví dụ một lá cờ như vậy là cờ của Pháp gồm $3$ mảnh).

Lời giải. Vì khi ta tô màu một mặt của lá cờ thì mặt sau sẽ được xác định hoàn toàn màu. Nên số lá cờ bằng số cách tô bảng $1\times n$ bởi $q$ màu, hai cách tô là như nhau nếu nó ở dạng như hình dưới đây.

(Trong hình trên các $c_i$ là các màu.)

Gọi $X$ là tập các bộ $(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ với $c_i$ là một trong $q$ màu đã cho với mỗi $i$ . Ký hiệu $S_n$ là nhóm các hoán vị trên $\{1,2,\cdots,n\}$ , $G$ là nhóm con cyclic sinh bởi hoán vị $f$ của $S_n$ , ở đây $f(i)=n+1-i\forall i$ . Ta cho $G$ tác động trên $X$ theo luật $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)=(c_n,c_{n-1},\cdots,c_1)$ . Như trên đã phân tích, ta chỉ cần đếm số $N$ các quỹ đạo của các phần tử của $x$ theo tác động này là xong. Theo bổ đề Burnside, ta chỉ cần tính $F(id)$ và $F(f)$ . Dễ thấy $F(id)=|X|=q^n$ theo quy tắc nhân. Để tính $F(f)$ , ta chú ý rằng $(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in X$ không thay đổi khi tác động $f$ nếu và chỉ nếu $c_1=c_n,c_2=c_{n-1},\cdots$ , vậy cùng theo quy tắc nhân ta có $F(f)=q^{[\dfrac{n+1}{2}]}$ . Như thế đáp số của bài toán là $\dfrac{1}{2}(q^n+q^{[\dfrac{n+1}{2}]}).$

Bài 2. Cho $n$ và $q$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng có

$\dfrac{1}{4}(q^{n^2}+2q^{[\dfrac{n^2+3}{4}]}+q^{[\dfrac{n^2+1}{2}]})$ cách tô màu bảng vuông $n\times n$ bởi $q$ màu.

Lời giải sơ lược. Lời giải y hệt như trường hợp trên. Ta đánh số các ô của bảng theo kiểu xoáy ốc, chia hai trường hợp $n$ chẵn, lẻ cho dễ đánh số. Tập $X$ bây giờ là tập tất cả các bộ $(c_1,c_2,\cdots,c_{n^2})$ , nhóm $G$ bây giờ là nhóm con cyclic cấp $4$ sinh bởi phép quay $+90^0$ của $S_{n^2}$ .

Chú ý. Khi $n=3,q=n$ ta có bài số 5 trong VMO 2010.

Combinatorial Nullstellensatz

Trong bài này chúng tôi giới thiệu một chứng minh ngắn của định lý không điểm tổ hợp của Noga Alon, và sử dụng nó chứng minh định lý Cauchy – Davenport (xem [1]). Từ bây giờ, khi nói đến trường thì các bạn hiểu là nói đến $\displaystyle \mathbb{C}$ , $\displaystyle \mathbb{R}$ , $\displaystyle \mathbb{Q}$ , hay $\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ .

Định lý 1 (N. Alon, 1999). Cho $\displaystyle \mathbb{F}$ là một trường bất kỳ, và cho $\displaystyle P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ là một đa thức trong $\displaystyle \mathbb{F}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ . Giả sử bậc của $\displaystyle P$ là $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} k_{i}$ , trong đó $\displaystyle k_{i}$ là một số nguyên không âm, và hệ số của đơn thức $\displaystyle x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}$ trong $\displaystyle P$ khác không. Khi đó với mỗi tập con $\displaystyle A_{1}, \ldots, A_{n}$ của $\displaystyle \mathbb{F}$ thỏa mãn $\displaystyle \left|A_{i}\right| \geq k_{i}+1$ với mỗi $\displaystyle i=1,2, \ldots, n$ , tồn tại $\displaystyle a_{1} \in A_{1}, \ldots, a_{n} \in A_{n}$ để $\displaystyle P\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \neq 0$ .

Định lý trên được gọi là định lý không điểm tổ hợp, nó là một tổng quát của kết quả: Với mỗi đa thức khác không $\displaystyle f(x)$ với hệ số thuộc một trường $\displaystyle \mathbb F$ , số nghiệm của $\displaystyle f$ trong $\displaystyle \mathbb F$ không vượt quá $\displaystyle \deg f$ .

Chứng minh (Mateusz Michalek). Khẳng định là đúng một cách hiển nhiên khi $\displaystyle P$ là đa thức hằng, bây giờ ta xét trường hợp còn lại.

Quy nạp theo $\displaystyle \deg P$ . Nếu $\displaystyle \deg(P)=1$ thì định lý là đúng. Giả sử $\displaystyle \deg(P)>1$ và $\displaystyle P$ thỏa mãn các giả thiết của định lý nhưng kết luận là sai. Nghĩa là $\displaystyle P(x)=0$ với mọi $\displaystyle x \in A_{1} \times \ldots \times A_{n}$ . Không mất tính tổng quát, giả sử $\displaystyle k_{1}>0$ . Xét một $\displaystyle a \in A_{1}$ và viết

$\displaystyle P=\left(x_{1}-a\right) Q+R\quad \quad (1)$

bằng cách sử dụng thuật toán chia. Xem (1) là một đẳng thức của các đa thức một biến $\displaystyle x_{1}$ với hệ số thuộc $\displaystyle \mathbb{F}\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$ . Vì bậc của $\displaystyle R$ theo biến $\displaystyle x_{1}$ là bé hơn $\displaystyle \deg\left(x_{1}-a\right)$ , đa thức $\displaystyle R$ không chứa $\displaystyle x_{1}$ . Từ giả thiết về $\displaystyle P$ ta có $\displaystyle Q$ phải có một đơn thức không bị triệt tiêu có dạng $\displaystyle x_{1}^{k_{1}-1} x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}$ và

$\displaystyle \deg(Q)=\sum_{i=1}^{n} k_{i}-1=\deg(P)-1.$

Lấy mỗi $\displaystyle x \in\{a\} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}$ và thay vào (1). Vì $\displaystyle P(x)=0$ ta có $\displaystyle R(x)=0$ . Nhưng $\displaystyle R$ không chứa $\displaystyle x_{1}$ , suy ra $\displaystyle R$ cũng bằng không trên $\displaystyle \left(A_{1}-\{a\}\right) \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}$ .

Bây giờ thay mỗi $\displaystyle x \in\left(A_{1}-\{a\}\right) \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}$ vào (1). Vì $\displaystyle x_{1}-a$ khác không, ta có $\displaystyle Q(x)=0$ . Vậy là $\displaystyle Q$ bằng không trên $\displaystyle \left(A_{1}-\{a\}\right) \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}$ , trái với giả thiết quy nạp. $\Box$

Một áp dụng đầu tiên là chứng minh ngắn của định lý Cauchy – Davenport trong lý thuyết số cộng tính. Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Cauchy vào năm 1813 và bởi Davenport vào năm 1935. Cho $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ là hai tập con khác rỗng của $\displaystyle \mathbb{Z}/{p}\mathbb{Z}$ với $\displaystyle \mid A\mid =a$ và $\displaystyle \mid B\mid =b$ . Hỏi tập

$\displaystyle A+B:=\{a+b\mid (a,b)\in A\times B\}$

có thể có ít nhất bao nhiêu phần tử?

Định lý 2 (Cauchy – Davenport). Cho số nguyên tố $\displaystyle p$ và cho $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ là hai tập con khác rỗng của $\displaystyle \mathbb{Z}/{p}\mathbb{Z}$ với $\displaystyle \mid A\mid =a$ và $\displaystyle \mid B\mid =b$ . Khi đó

$\displaystyle |A+B|\geq\min \{p,a+b-1\}.$

Chứng minh. Nếu $\displaystyle a+b>p$ thì $\displaystyle \mid A+B\mid =p$ . Thật vậy, với mỗi $\displaystyle g\in \mathbb{Z}/{p}\mathbb{Z}$ , hai tập $\displaystyle g-A$ và $\displaystyle B$ có giao khác rỗng vì $\displaystyle a+b>p$ . Lấy $\displaystyle h\in (g-A)\cap B$ ta có ngay $\displaystyle h=b=g-a\quad (a\in A,b\in B),$ suy ra $\displaystyle g=a+b\in A+B$ . Từ đây ta có $\displaystyle |A+B|=p=\min \{p,a+b-1\}.$

Bây giờ ta xét $\displaystyle a+b\leq p$ và giả sử bất đẳng thức là sai. Gọi $\displaystyle C$ là một tập có cỡ $\displaystyle a+b-2$ trong $\displaystyle \mathbb{Z}/{p}\mathbb{Z}$ chứa $\displaystyle A+B$ . Xét đa thức

$\displaystyle f(x, y)=\prod_{c \in C}(x+y-c)$

trên $\displaystyle \mathbb{Z}/{p}\mathbb{Z}$ . Đây là một đa thức hai biến có bậc $\displaystyle a+b-2$ . Ta sẽ chứng minh

$\displaystyle \left[x^{a-1} y^{b-1}\right] f(x, y)=\left(\begin{array}{c}a+b-2 \\ a-1\end{array}\right) \not =0.$

Để hình thành hệ số này khi khai triển $\displaystyle f$ , ta chọn $\displaystyle x$ đúng $\displaystyle a-1$ lần và $\displaystyle y$ đúng $\displaystyle b-1$ lần trong $\displaystyle a+b-2$ thừa số. Như vậy ta có đẳng thức đầu. Hệ số nhị thức khác không là vì $\displaystyle a+b-2<p$ và $\displaystyle p$ là số nguyên tố.

Vì $\displaystyle |A|=a$ và $\displaystyle |B|=b$ , định lý không điểm tổ hợp cho ta $\displaystyle x \in A$ và $\displaystyle y \in B$ mà $\displaystyle f(x, y) \neq 0$ . Điều này không thể xảy ra vì $\displaystyle f$ đã được dựng để triệt tiêu trên mọi cặp $\displaystyle (x, y)$ như vậy. $\Box$

Bài đọc thêm

[1] https://nttuan.org/2014/09/29/cauchy-davenport/

Asian Pacific Mathematics Olympiad 2009

Bài 1. Xét phép toán sau trên các số thực dương được viết trên bảng: Chọn một số $r$ được viết trên bảng, xóa số đó, và sau đó viết một cặp số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $2r^2=ab$ lên bảng. Giả sử ban đầu bạn chỉ có một số thực dương trên bảng, và thực hiện phép toán này $k^2-1$ lần để cuối cùng thu được $k^2$ số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một số trên bảng không vượt quá $kr$ .

Bài 2. Cho $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ là các số thực thỏa mãn $\frac{a_1}{k^2+1} + \frac{a_2}{k^2+2} + \frac{a_3}{k^2+3} + \frac{a_4}{k^2+4} + \frac{a_5}{k^2+5} = \frac{1}{k^2}$ với $k=1,2,3,4,5$ . Tìm giá trị của $\frac{a_1}{37} + \frac{a_2}{38} + \frac{a_3}{39} + \frac{a_4}{40} + \frac{a_5}{41}$ (Biểu diễn giá trị dưới dạng một phân số duy nhất.)

Bài 3. Cho ba đường tròn $\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3$ không giao nhau và rời nhau từng đôi một trên mặt phẳng. Với mỗi điểm $P$ trên mặt phẳng, nằm ngoài ba đường tròn, dựng sáu điểm $A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3$ như sau: Với mỗi $i=1,2,3$ , $A_i, B_i$ là các điểm phân biệt trên đường tròn $\Gamma_i$ sao cho các đường thẳng $PA_i$ và $PB_i$ đều là tiếp tuyến của $\Gamma_i$ . Gọi điểm $P$ là điểm ngoại lệ nếu, từ cách dựng trên, ba đường thẳng $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ đồng quy. Chứng minh rằng mọi điểm ngoại lệ trên mặt phẳng, nếu tồn tại, đều nằm trên cùng một đường tròn.

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ , tồn tại một cấp số cộng $\frac{a_1}{b_1}$ , $\frac{a_2}{b_2}$ , $\dots$ , $\frac{a_k}{b_k}$ gồm các số hữu tỉ, trong đó $a_i, b_i$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi $i=1,2,\dots,k$ , sao cho các số nguyên dương $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_k, b_k$ đều phân biệt.

Bài 5. Larry và Rob là hai robot đi cùng một chiếc xe từ Argovia đến Zillis. Cả hai robot đều có quyền điều khiển vô lăng và rẽ theo thuật toán sau: Larry rẽ trái $90^\circ$ sau mỗi $l$ kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát; Rob rẽ phải $90^\circ$ sau mỗi $r$ kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát, trong đó $l$ và $r$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Trong trường hợp cả hai lượt rẽ xảy ra đồng thời, xe sẽ tiếp tục đi thẳng mà không chuyển hướng. Giả sử mặt đất bằng phẳng và xe có thể di chuyển theo bất kỳ hướng nào. Giả sử xe xuất phát từ Argovia và hướng về phía Zillis. Với những lựa chọn nào của cặp $(l, r)$ thì xe được đảm bảo sẽ đến Zillis, bất kể khoảng cách từ Argovia là bao xa?

Japan Mathematical Olympiad 2008 (Finals)

Bài 1. Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên sao cho $P(n^{2})=0$ với một số nguyên khác không $n$ nào đó. Chứng minh rằng $P(a^{2})\ne1$ với mọi số hữu tỉ $a\ne0$ .

Bài 2. Có 2008 thẻ đỏ và 2008 thẻ trắng. 2008 người chơi ngồi thành một vòng tròn hướng mặt vào trong, với tình trạng ban đầu là mỗi người được chia 2 thẻ. Mỗi người thực hiện quy trình sau trong cùng một lượt:
(*) Nếu bạn có nhiều hơn một thẻ đỏ, bạn sẽ chuyển một thẻ đỏ cho người ngồi liền kề bên trái.

Nếu bạn không có thẻ đỏ nào, bạn sẽ chuyển một thẻ trắng cho người ngồi liền kề bên trái.
Tìm giá trị lớn nhất của số lượt cần thiết để đạt được trạng thái mà tất cả mọi người đều có một thẻ đỏ và một thẻ trắng lần đầu tiên.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Đường tròn đi qua hai điểm $A, O$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P, Q$ (khác $A$ ). Nếu độ dài các đoạn thẳng $PQ$ và $BC$ bằng nhau, hãy tìm góc $\le90^{\circ}$ tạo bởi hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ .

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(f(x)-y)=xf(x)-yf(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ .

Bài 5. Có tồn tại hay không một số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số hữu tỉ $r$ , tồn tại một số nguyên $b$ và các số nguyên khác không $a_{i}$ ( $i=1,2,\dots, n$ ) thỏa mãn $r=b+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}$ ?