IMO 2024: Problems and results

Ngày thi thứ nhất (16/7/2024)

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ .

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn

$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$

với mọi số nguyên $n\geq N$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358932

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n)_{n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a_{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1})_{n\geq 1}$ và $(a_{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó.

Ngày thi thứ hai (17/7/2024)

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB < AC < BC$ . Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt là $I$ và $\omega$ . Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$ . Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$ . Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ .

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777

Ốc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông cỡ $2024\times 2023$ . Trong $2022$ ô vuông con nào đó, có các con quỷ nấp ở đó. Ban đầu, Turbo không biết ô nào có quỷ, nhưng nó biết rằng trên mỗi hàng có đúng một con quỷ, trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, và trên mỗi cột có không quá một con quỷ.

Turbo thực hiện một dãy các phép thử để tìm cách đi từ hàng đầu đến hàng cuối của bảng. Tại mỗi lần thử, nó được quyền chọn một ô bất kỳ trên hàng đầu để xuất phát, sau đó liên tục di chuyển giữa các ô, mỗi bước từ một ô sang một ô có chung cạnh với ô mà nó đang đứng (nó được phép đến các ô đã từng đi qua). Nếu nó tới một ô có quỷ thì lần thử này dừng lại và nó được đưa trở lại hàng đầu để thực hiện một lần thử khác. Những con quỷ không di chuyển, và Turbo nhớ mỗi ô mà nó ghé qua có quỷ hay không. Nếu nó tới được một ô bất kỳ trên hàng cuối thì trò chơi kết thúc.

Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho Turbo luôn có chiến lược đảm bảo tới được hàng cuối cùng sau không quá $n$ lần thử, cho dù các con quỷ có nấp ở đâu.

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này.

Ban tổ chức quyết định điểm xếp giải như sau:

HCV: $\geq 29$ , HCB: $\geq 22$ , HCĐ: $\geq 16$ .

Đội tuyển Việt Nam được 2 HCB và 3 HCĐ. Đội đứng thứ 33 về tổng điểm.

Top 10 đội có điểm cao nhất. Đội tuyển Trung Quốc đứng thứ hai, sau nhiều năm đứng thứ nhất.

Top 10 thí sinh có điểm cao nhất. Haojia Shi lần thứ hai đạt 42/42 điểm. 🙂

Nguồn ảnh: https://www.imo-official.org/

Connected graph

Một đồ thị (xem lại [2]) khác rỗng $G$ được gọi là liên thông nếu mỗi hai đỉnh của nó được nối với nhau bởi một đường đi (xem lại [3]).

Định lý 1. Các đỉnh của một đồ thị liên thông $G$ có thể đánh số $v_1$ , $v_2$ , $\ldots$ , $v_n$ sao cho $G_i:=G[v_1,v_2,\ldots,v_i]$ là đồ thị liên thông với mọi $i$ .

Chứng minh. Lấy một đỉnh $v_1$ , và giả sử đã đánh số được các đỉnh $v_1$ , $v_2$ , $\ldots$ , $v_i$ thỏa mãn tính chất trong định lý, ở đây $i<\mid G\mid.$ Giả sử $v$ là một đỉnh khác tất cả các đỉnh đã được đánh số. Vì $G$ là đồ thị liên thông nên tồn tại đường đi $P$ nối $v$ với $v_1$ . Chọn $v_{i+1}$ là đỉnh cuối của $P$ mà không thuộc $G_i$ , khi đó $v_{i+1}$ có một láng giềng trong $G_i$ và $G_{i+1}$ liên thông. $\Box$

Hệ quả. Một đồ thị liên thông trên $n$ đỉnh sẽ có ít nhất $n-1$ cạnh.

Chứng minh. Quy nạp theo $n$ và dùng định lý 1. Bạn đọc tự chứng minh xem như một bài tập. $\Box$

Cho đồ thị $G=G(V,E)$ . Một đồ thị con liên thông cực đại (cực đại theo nghĩa không có đồ thị con liên thông chứa và khác nó, xem lại [2]) của $G$ được gọi là thành phần liên thông của $G$ . Đương nhiên, các thành phần liên thông là các đồ thị con cảm sinh (xem lại [2]) của $G$ , và tập các đỉnh của chúng lập thành một phân hoạch của $V$ . Một đồ thị là liên thông nếu và chỉ nếu nó có đúng một thành phần liên thông.

Ví dụ 1. Cho $G$ là một đồ thị với $m$ cạnh và $p$ thành phần liên thông. Chứng minh rằng $m+p\geq \mid G\mid$ .

Lời giải. Gọi $n_i$ là số đỉnh của thành phần liên thông thứ $i$ . Khi đó số cạnh của thành phần liên thông thứ $i$ không bé hơn $n_i-1$ , do đó

$m\geq \sum (n_i-1)=-p+\sum n_i=\mid G\mid -p,$

và bài toán được giải. $\Box$

Ví dụ 2. Cho $G$ là một đồ thị con không liên thông của $K_n$ . Chứng minh rằng $\overline{G}$ là một đồ thị con liên thông của $K_n$ .

Lời giải. Gọi $G^{\prime}$ là một thành phần liên thông của $G$ . Vì $G$ không liên thông nên $G\setminus G^{\prime}$ khác rỗng. Do tính cực đại của thành phần liên thông, không có cạnh nào của $G$ nối một đỉnh của $G^{\prime}$ với một đỉnh của $G\setminus G^{\prime}$ . Suy ra trong $\overline{G}$ , mỗi đỉnh của $G^{\prime}$ sẽ nối với mỗi đỉnh của $G\setminus G^{\prime}$ .

Vậy muốn chứng minh $\overline{G}$ liên thông, ta chỉ cần chứng minh hai đỉnh cùng thuộc $G^{\prime}$ hoặc $G\setminus G^{\prime}$ được nối với nhau. Nếu hai đỉnh cùng thuộc $G^{\prime}$ thì ta nối chúng với nhau qua một đỉnh của $G\setminus G^{\prime}$ , và ngược lại. $\Box$

Cho số tự nhiên $k$ . Một đồ thị $G=(V,E)$ được gọi là $k-$liên thông nếu $k<\mid G\mid$ và $G\setminus X$ vẫn là đồ thị liên thông với mọi $X\subset V$ mà $\mid X\mid<k$ . Số $k$ lớn nhất sao cho $G$ là $k-$ liên thông được gọi là chỉ số liên thông của $G$ , ký hiệu $k(G)$ .

Ví dụ 3. $k(K_n)=n-1$ với mỗi số nguyên dương $n$ .

Lời giải. Bạn đọc tự giải xem như bài tập. $\Box$

Định lý 2 (Whitney, 1932). Cho đồ thị $G=(V,E)$ với $\mid G\mid\geq 3$ . Khi đó $G$ là $2-$ liên thông khi và chỉ khi với hai đỉnh phân biệt bất kỳ của $G$ , tồn tại hai đường đi rời nhau nối chúng (hai đường đi được gọi là rời nhau nếu chúng không có đỉnh trong chung).

Chứng minh. Khẳng định đúng hiển nhiên khi $\mid G\mid =3$ . Bây giờ ta xét $\mid G\mid >3$ . Đầu tiên, giả sử với hai đỉnh phân biệt bất kỳ của $G$ tồn tại hai đường đi rời nhau nối chúng. Gọi $w$ là một đỉnh bất kỳ và $u,v$ là hai đỉnh khác nhau của $G\setminus\{w\}$ . Giữa $u$ và $v$ sẽ có hai đường đi rời nhau nối chúng, $w$ sẽ không thuộc một trong hai đường này, ký hiệu $P$ . Ta có $P$ là một đường trong $G\setminus\{w\}$ nối $u$ và $v$ . Suy ra $G\setminus\{w\}$ liên thông, do đó $G$ là $2-$ liên thông.

Bây giờ giả sử $G$ là $2-$ liên thông và tồn tại hai đỉnh phân biệt $u$ và $v$ mà không có hai đường đi rời nhau. Vì $\mid G\mid >3$ nên tồn tại ít nhất hai đường đi nối $u$ và $v$ . Gọi $P$ và $Q$ là hai đường đi nối $u$ và $v$ mà có tập đỉnh chung $S$ có ít phần tử nhất có thể. Lấy $w\in S\setminus \{u,v\}$ và $P_1$ , $P_2$ là phần của $P$ từ $u$ đến $w$ , $w$ đến $v$ . Tương tự ta định nghĩa $Q_1$ và $Q_2$ .

Vì $G$ là $2-$ liên thông, ta có thể lấy một đường đi $R$ ngắn nhất từ một đỉnh $x$ thuộc $(P_1\cup Q_1)\setminus \{w\}$ đến một đỉnh $y$ thuộc $(P_2\cup Q_2)\setminus \{w\}$ mà không qua $w$ . Giả sử mà không làm mất tính tổng quát rằng $x\in P_1$ và $y\in Q_2$ . Gọi $T$ là đường đi nối $u$ với $v$ được hình thành bởi phần $P_1$ nối $u$ với $x$ , và phần $Q_2$ nối $y$ với $v$ , cùng với $R$ . Do cách chọn $R$ , hai đường đi $T$ và $Q_1\cup P_2$ cùng nối $u$ với $v$ nhưng có tập các đỉnh chung là tập con của $S\setminus \{w\}$ , vô lý. $\Box$

Cho một đồ thị $G$ . Đường đi $P$ (không nhất thiết trong $G$ ) được gọi là $G-$ đường nếu $\mid P\mid >1$ và $P\cap G$ chỉ chứa hai đầu mút của $P$ . Kết quả sau cho ta biết cấu trúc của các đồ thị $2-$ liên thông.

Định lý 3. Một đồ thị là $2-$ liên thông khi và chỉ khi nó có thể được dựng từ một chu trình bằng cách bổ sung liên tiếp các $H-$ đường vào các đồ thị $H$ đã được dựng.

Tài liệu tham khảo

[1] https://nttuan.org/2009/08/13/graph01/

[2] https://nttuan.org/2023/09/01/graph02/

[3] https://nttuan.org/2024/06/04/graph03/

Probability space

Các bạn đọc lại bài https://nttuan.org/2024/01/24/naive-definition-of-probability/ để theo dõi bài cho dễ dàng.

Một họ $\mathcal{G}$ các tập con của một tập hợp $\Omega$ được gọi là một đại số các tập con của $\Omega$ nếu nó có ba tính chất sau:

(1) $\Omega\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $C\in \mathcal{G}$ thì $\Omega\setminus C\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $C_1,C_2,\ldots,C_n\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcup_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ .

Ví dụ 1. Với tập hợp $\displaystyle \Omega$ , ta có họ $\displaystyle \mathcal{G}=\{\emptyset,\Omega\}$ là một đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Bổ đề 1. Cho $\displaystyle \mathcal{G}$ là một đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . Khi đó

(1) $\displaystyle \emptyset\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $\displaystyle C_1,C_2,\ldots,C_n\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcap_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $\displaystyle C_1,C_2\in\mathcal{G}$ thì $C_1\setminus C_2\in\mathcal{G}$ .

Chứng minh. Vì $\displaystyle \Omega\in\mathcal{G}$ nên $\displaystyle \emptyset=\Omega\setminus\Omega$ cũng thuộc $\displaystyle \mathcal{G}$ . Nếu $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle C_n\in\mathcal{G}$ thì

$\displaystyle \Omega\setminus \bigcap_{i=1}^nC_i=\bigcup_{i=1}^n(\Omega\setminus C_i)\in\mathcal{G},$

suy ra $\displaystyle \bigcap_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ . Cuối cùng, nếu $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle C_1\setminus C_2=\Omega\setminus ((\Omega\setminus C_1)\cup C_2)\in\mathcal{G}.$ $\Box$

Định nghĩa 1. Một họ $\displaystyle \mathcal{G}$ các tập con của một tập hợp $\displaystyle \Omega$ được gọi là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ nếu nó có ba tính chất sau:

(1) $\displaystyle \Omega\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $\displaystyle C\in \mathcal{G}$ thì $\displaystyle \Omega\setminus C\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $\displaystyle C_1,C_2,\ldots\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}C_i\in\mathcal{G}$ .

Lúc này ta gọi $\displaystyle \Omega$ là không gian mẫu và các phần tử của $\displaystyle \mathcal{G}$ là các biến cố, hay sự kiện.

Mỗi $\displaystyle \sigma-$ đại số là một đại số, ngược lại không đúng.

Ví dụ 2. $\displaystyle \sigma-$ đại số nhỏ nhất các tập con của $\displaystyle \Omega$ là $\displaystyle \{\emptyset,\Omega\}$ . $\Box$

Ví dụ 3. Nếu $\displaystyle A$ là một tập con của $\displaystyle \Omega$ thì $\displaystyle \{\emptyset,\Omega,A,\overline{A}\}$ là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Ví dụ 4. Họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ là $\displaystyle \sigma-$ đại số lớn nhất các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Định nghĩa 2. Một không gian đo được là một cặp $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ , trong đó $\displaystyle \Omega$ là một tập hợp và $\displaystyle \mathcal F$ là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . Khi $\displaystyle \Omega$ là hữu hạn hoặc đếm được thì không gian đo được $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ được gọi là rời rạc.

Mỗi khi xét không gian đo được rời rạc $(\Omega,\mathcal{F})$ , ta chỉ xét $\mathcal F$ là $\sigma-$ đại số tất cả các tập con của $\Omega$ .

Định nghĩa 3. Cho một không gian đo được $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ . Độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}$ trên $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ là một hàm $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời hai điều sau:

(1) $\displaystyle \mathbb{P}(\emptyset)=0$ và $\mathbb{P}(\Omega)=1$ .

(2) Nếu $\displaystyle A_1,A_2,\ldots$ là một dãy các phần tử đôi một rời nhau của $\displaystyle \mathcal F$ thì $\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_i).$

Lúc này thì bộ ba $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ được gọi là không gian xác suất. Với mỗi sự kiện $\displaystyle A$ , ta gọi $\displaystyle \mathbb{P}(A)$ là xác suất của $\displaystyle A$ .

Với không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ và biến cố $\displaystyle A$ , ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng nếu $\displaystyle \mathbb{P}(A)=0$ và là biến cố chắc chắn nếu $\displaystyle \mathbb{P}(A)=1$ . Ta có thể xác định một không gian xác suất tương ứng với mỗi phép thử. Khi đó các bài toán liên quan đến phép thử sẽ chuyển về các bài toán trong không gian xác suất tương ứng.

Ví dụ 5. Một đồng xu, có thể không cân, được tung lên một lần. Với phép thử này ta xác định không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ như sau: Không gian mẫu $\displaystyle \Omega=\{0;1\}$ (như trong bài trước, sấp được ghi là $\displaystyle 1$ và ngửa được ghi là $\displaystyle 0$ ), $\displaystyle \mathcal{F}$ là họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ , và độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle\mathbb{P}(\emptyset)=0,\,\mathbb{P}(\Omega)=1,\,\mathbb{P}(\{1\})=p,\,\mathbb{P}(\{0\})=1-p.$

Ở đây $\displaystyle p$ là một số thực thuộc đoạn $\displaystyle [0;1]$ . Đồng xu này là cân đối nếu $\displaystyle p=1/2$ . $\Box$

Ví dụ 6. Một con xúc xắc được tung một lần. Với phép thử này ta xác định không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ như sau: Không gian mẫu $\displaystyle \Omega=[6]$ , $\mathcal{F}$ là họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ , và độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\sum_{i\in A}p_i, \quad \forall A\subset \Omega.$

Ở đây $\displaystyle p_1,p_1,\ldots,p_6$ là các số thực không âm có tổng bằng $\displaystyle 1$ . Xác suất để xuất hiện mặt có $\displaystyle i$ chấm là $\displaystyle p_i$ . Con xúc xắc này là cân đối nếu các $\displaystyle p_i$ đều bằng $\displaystyle 1/6$ . Khi đó $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{6}, \quad \forall A\subset \Omega,$ bằng xác suất xảy ra $\displaystyle A$ theo định nghĩa ngây thơ (cổ điển) của xác suất. $\Box$

Sau đây là một số tính chất của độ đo xác suất.

Bổ đề 2. Cho một không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Khi đó

(1) Với mỗi biến cố $A$ , ta có $\displaystyle \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}({A})$ .

(2) Nếu $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ là các biến cố thỏa mãn $\displaystyle A\subset B$ thì $\displaystyle \mathbb{P}({B})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})\geq \mathbb{P}({A}).$

(3) Nếu $\displaystyle A_1,A_2,\ldots,A_n$ là $\displaystyle n>1$ biến cố thì

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=\sum_{i=1}^n\mathbb{P}({A_i})-\sum_{i<j}\mathbb{P}({A_i\cap A_j})+\sum_{i<j<k}\mathbb{P}({A_i\cap A_j\cap A_k})$ $\displaystyle -\ldots +(-1)^{n+1}\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_n).$

Chứng minh. Xét một biến cố $\displaystyle A$ . Vì $\displaystyle\Omega=A\cup\overline{A}$ và $\displaystyle A\cap\overline{A}=\emptyset$ nên

$\displaystyle 1=\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(A\cup\overline{A})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}\overline{A}),$

suy ra $\displaystyle \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}({A})$ . Bây giờ xét hai biến cố $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ với $\displaystyle A\subset B$ . Vì biến cố $\displaystyle B$ là hợp của hai biến cố rời nhau $\displaystyle A$ và $\displaystyle B\setminus A$ nên

$\displaystyle\mathbb{P}({B})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})\geq \mathbb{P}({A}).$

Ta sẽ chứng minh khẳng định cuối cùng bằng quy nạp theo $\displaystyle n$ . Xét hai biến cố $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ . Biến cố $\displaystyle A\cup B$ là hợp của hai biến cố rời nhau $\displaystyle A$ và $\displaystyle B\setminus A$ nên

$\displaystyle\mathbb{P}(A\cup {B}) =\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})= \mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus (A\cap B)})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B})-\mathbb{P}(A\cap B),$

suy ra khẳng định đúng với $\displaystyle n=2$ . Bây giờ giả sử khẳng định đúng với số nguyên dương $\displaystyle n= k\, (k>1)$ . Xét $\displaystyle k+1$ biến cố $\displaystyle A_1$ , $\displaystyle A_2,\ldots,$ $\displaystyle A_{k+1}$ . Vì khẳng định đúng với $\displaystyle n=2$ nên

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)=\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)\bigcup A_{k+1}\right)$

$\displaystyle =\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{k+1}\right)-\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)\bigcap A_{k+1}\right)$

$\displaystyle =\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{k+1}\right)-\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}\left(A_i\bigcap A_{k+1}\right)\right).$

Đến đây dùng giả thiết quy nạp ta thấy khẳng định đúng với $\displaystyle n=k+1$ . Theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mỗi số nguyên $\displaystyle n>1$ . $\Box$

Từ chứng minh trên, bằng quy nạp theo $n$ , ta thu được $\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)\leq\sum_{i=1}^n\mathbb{P}(A_i).$

Continue reading →

IMO Shortlist 2022: Algebra

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:

Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

A1. Cho $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số thực dương có tính chất $(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$ . Chứng minh rằng $a_{2022}\leq 1.$

A2. Cho một số nguyên $k\ge2$ . Tìm số nguyên $n \ge k+1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $n$ số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của $k$ phần tử phân biệt khác của tập hợp.

A3. Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$ , có đúng một $y \in \mathbb {R}^+$ thỏa mãn $xf(y)+yf(x) \leq 2$ . (IMO2022/2)

A4. Gọi $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực trong đoạn $[0,1]$ . Đặt $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sao cho $2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.$

A5. Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_1<\cdots<a_n$ và số thực $r>0$ để $\frac{1}{2}n( n-1)$ hiệu $a_j-a_i$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{ 1}{2}n(n-1)}$ .

A6. Chúng ta nói rằng một hàm $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ là tốt nếu $f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$ . Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm tốt $f$ , tồn tại một số thực $z$ sao cho $f(z) = qz$ .

A7. Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $s(m)$ là tổng các chữ số của $m$ trong hệ thập phân. Gọi $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ là một đa thức, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_i$ là một số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương $k$ , $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn – lẻ?

A8. Với số nguyên dương $n$ , một $n$ -dãy là một dãy $(a_0,\ldots,a_n)$ gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm với $i+j \leqslant n$ , thì $a_i+a_j \leqslant n$ và $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Gọi $f(n)$ là số $n$ -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_1$ , $c_2$ và $\lambda$ sao cho $c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$ với mọi số nguyên dương $n$ .