IMO Shortlist 2024: Geometry

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán hình học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610481p35341119

Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp sao cho $AC<BD<AD$ và $\angle DBA<90^\circ$ . Điểm $E$ nằm trên đường thẳng đi qua $D$ song song với $AB$ sao cho $E$ và $C$ nằm khác phía đối với $AD$ và $AC=DE$ . Điểm $F$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ song song với $CD$ sao cho $F$ và $C$ nằm khác phía đối với $AD$ và $BD=AF$ . Chứng minh rằng các đường trung trực của $BC$ và $EF$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp của $ABCD$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767p31218657

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB < AC < BC$ . Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt là $I$ và $\omega$ . Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$ . Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$ . Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ . (IMO2024/4)

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610478p35341061

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi và $M$ là trung điểm của $AB$ . Giả sử $AB$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại $M$ và $D$ nằm trên các đường tròn ngoại tiếp của $AME$ và $BMC$ . Các đường thẳng $AD$ và $ME$ cắt nhau tại $K$ , và các đường thẳng $BD$ và $MC$ cắt nhau tại $L$ . Các điểm $P$ và $Q$ nằm trên đường thẳng $EC$ sao cho $\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $KP, LQ,$ và $MD$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610440p35340910

Cho $ABCD$ là tứ giác có $AB$ song song với $CD$ và $AB<CD$ . Hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $P$ . Điểm $X$ khác $C$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $PC=PX$ . Điểm $Y$ khác $D$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ sao cho $PD=PY$ . Hai đường thẳng $AX$ và $BY$ cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh rằng $PQ$ song song với $AB$ .

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610468p35340974

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ , và $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ . Cho $K$ là một điểm nằm trong đoạn thẳng $BC$ sao cho $\angle BAK < \angle KAC$ . Đường phân giác của $\angle BKA$ cắt $\Omega$ tại các điểm $W$ và $X$ sao cho $A$ và $W$ nằm cùng một phía đối với $BC$ , và đường phân giác của $\angle CKA$ cắt $\Omega$ tại các điểm $Y$ và $Z$ sao cho $A$ và $Y$ nằm cùng một phía đối với $BC$ . Chứng minh rằng $\angle WAY = \angle ZAX$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610439p35340907

Cho $ABC$ là tam giác nhọn với $AB < AC$ , và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $ABC$ . Các điểm $X$ và $Y$ nằm trên $\Gamma$ sao cho $XY$ và $BC$ cắt nhau trên đường phân giác ngoài của $\angle BAC$ . Giả sử các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $X$ và $Y$ cắt nhau tại điểm $T$ nằm cùng phía với $A$ đối với $BC$ , và $TX$ và $TY$ cắt $BC$ tại $U$ và $V$ , tương ứng. Gọi $J$ là tâm của đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $T$ của tam giác $TUV$ . Chứng minh rằng $AJ$ là phân giác của $\angle BAC$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610452p35340925

Cho $ABC$ là tam giác có tâm nội tiếp $I$ sao cho $AB<AC<BC$ . Giao điểm thứ hai của $AI, BI$ , và $CI$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt là $M_{A}$ , $M_{B}$ , và $M_{C}$ . Các đường thẳng $AI$ và $BC$ cắt nhau tại $D$ và các đường thẳng $BM_{C}$ và $CM_{B}$ cắt nhau tại $X$ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $XM_{B}M_{C}$ và $XBC$ cắt nhau tại $S\neq X$ . Các đường thẳng $BX$ và $CX$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $SXM_{A}$ tại $P\neq X$ và $Q\neq X$ , tương ứng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SID$ nằm trên $PQ$ .

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610449p35340922

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC<BC$ , và $D$ là một điểm nằm trong đoạn thẳng $BC$ . Cho $E$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $A$ và $E$ nằm khác phía đối với $BC$ và $\angle{BAD}=\angle{EAC}$ . Gọi $I,I_B,I_C,J_B$ và $J_C$ lần lượt là tâm nội tiếp của các tam giác $ABC,ABD,ADC,ABE$ và $AEC$ . Chứng minh rằng $I_B,I_C,J_B$ và $J_C$ đồng viên khi và chỉ khi $AI,I_BJ_C$ và $J_BI_C$ đồng quy.