IMO Shortlist 2024: Combinatorics

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần khác của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N. https://nttuan.org/2025/11/14/isl2024n/

C1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610442p35340913

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một lớp gồm $n$ học sinh chạy $n$ cuộc đua, trong mỗi cuộc đua họ được xếp hạng mà không có hòa. Một học sinh đủ điều kiện để nhận điểm đánh giá $(a, b)$ với $a$ và $b$ là các số nguyên dương, nếu họ về đích trong $b$ vị trí dẫn đầu ở ít nhất $a$ cuộc đua. Điểm số cuối cùng của họ là giá trị lớn nhất có thể của $a-b$ trên tất cả các điểm đánh giá mà họ đủ điều kiện. Tìm tổng lớn nhất có thể của tất cả các điểm số của $n$ học sinh.

C2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610436p35340903

Cho $n$ là một số nguyên dương. Các số nguyên $1, 2, 3, \ldots, n^2$ được điền vào các ô của bảng $n \times n$ sao cho mỗi số nguyên được điền vào đúng một ô và mỗi ô chứa đúng một số nguyên. Với mỗi số nguyên $d$ sao cho $d\mid n$ , phép $d$ -chia của bảng là phép chia bảng thành $(n/d)^2$ bảng con không chồng nhau, mỗi bảng con có kích thước $d \times d$ , sao cho mỗi ô được chứa trong đúng một bảng con $d \times d$ . Ta nói rằng $n$ là một số đẹp nếu các số nguyên có thể được điền vào bảng $n \times n$ sao cho, với mỗi số nguyên $d$ với $d\mid n$ và $1 < d < n$ , trong phép $d$ -chia của bảng, tổng các số nguyên được điền trong mỗi bảng con $d \times d$ không chia hết cho $d$ . Hãy xác định tất cả các số đẹp chẵn.

C3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610441p35340911

Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $2n$ hiệp sĩ ngồi quanh một bàn tròn. Họ gồm $n$ cặp đối tác, mỗi cặp muốn bắt tay nhau. Một cặp chỉ có thể bắt tay khi họ ngồi cạnh nhau. Mỗi phút, một cặp hiệp sĩ ngồi cạnh nhau đổi chỗ. Tìm số lần đổi chỗ nhỏ nhất giữa các hiệp sĩ ngồi cạnh nhau sao cho, bất kể cách sắp xếp ban đầu thế nào, mỗi hiệp sĩ đều có thể gặp đối tác của mình và bắt tay tại một thời điểm nào đó.

C4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777p31218774

Trên một bảng có $2024$ hàng và $2023$ cột, Ốc sên Turbo cố gắng di chuyển từ hàng đầu tiên đến hàng cuối cùng. Trong mỗi lần thử, nó chọn bắt đầu ở bất kỳ ô nào trong hàng đầu tiên, sau đó di chuyển từng bước đến một ô liền kề chung cạnh. Nó thắng nếu đạt đến bất kỳ ô nào trong hàng cuối cùng. Tuy nhiên, có $2022$ quái vật đã được xác định trước và giấu kín trong $2022$ ô, mỗi hàng có một con trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, sao cho không có hai quái vật nào nằm cùng một cột. Nếu không may Turbo đến ô có quái vật, lần thử của nó kết thúc và nó được đưa trở lại hàng đầu tiên để bắt đầu một lần thử mới. Các quái vật không di chuyển. Giả sử Turbo được phép thực hiện $n$ lần thử. Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho nó có một chiến lược đảm bảo đến được hàng cuối cùng, bất kể vị trí của các quái vật thế nào. (IMO2024/5)

C5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610469p35340978

Cho $N$ là một số nguyên dương. Geoff và Ceri chơi một trò chơi mà họ bắt đầu bằng cách viết các số $1, 2, \ldots, N$ lên bảng. Sau đó họ luân phiên thực hiện một nước đi, bắt đầu từ Geoff. Mỗi nước đi bao gồm việc chọn một cặp số nguyên $(k, n)$ , trong đó $k \ge 0$ và $n$ là một trong các số nguyên trên bảng, sau đó xóa mọi số nguyên $s$ trên bảng sao cho $2^k \mid n-s$ . Trò chơi tiếp tục cho đến khi bảng trống. Người chơi xóa số nguyên cuối cùng trên bảng sẽ thua. Xác định tất cả các giá trị của $N$ mà Geoff có thể đảm bảo thắng, bất kể Ceri chơi như thế nào.

C6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610456p35340931

Cho $n$ và $T$ là các số nguyên dương. James có $4n$ viên bi với khối lượng $1, 2, \ldots, 4n$ . Anh ấy đặt chúng lên một chiếc cân thăng bằng sao cho hai bên có khối lượng bằng nhau. Andrew có thể di chuyển một viên bi từ bên này sang bên kia của chiếc cân, sao cho độ chênh lệch về khối lượng của hai bên luôn không quá $T$ . Tìm, theo $n$ , số nguyên dương $T$ nhỏ nhất sao cho Andrew có thể thực hiện một chuỗi các nước đi để mỗi viên bi cuối cùng nằm ở phía đối diện của chiếc cân, bất kể cách James đặt bi ban đầu như thế nào.

C7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358930p31206050

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n){n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1}){n\geq 1}$ và $(a{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó. (IMO2024/3)

C8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610448p35340921

Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho một bảng $n \times n$ , ô đơn vị ở góc trên bên trái ban đầu được tô màu đen, và các ô khác được tô màu trắng. Sau đó, ta áp dụng một chuỗi các thao tác tô màu lên bảng. Trong mỗi thao tác, ta chọn một hình vuông $2 \times 2$ có đúng một ô màu đen và ta tô ba ô còn lại của hình vuông $2 \times 2$ đó thành màu đen. Xác định tất cả các giá trị của $n$ sao cho ta có thể tô toàn bộ bảng thành màu đen.

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO)

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) là cuộc thi toán học danh giá nhất dành cho học sinh trung học trên toàn thế giới. IMO được tổ chức lần đầu tiên vào năm 1959 tại Romania, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu: Romania, Hungary, Bulgaria, Ba Lan, Tiệp Khắc, Đông Đức và Liên Xô. Ý tưởng tổ chức IMO xuất phát từ mong muốn thúc đẩy sự phát triển của toán học, khuyến khích học sinh tài năng và tạo cơ hội giao lưu học thuật quốc tế. Từ quy mô nhỏ ban đầu, IMO đã phát triển mạnh mẽ, hiện thu hút hơn 100 quốc gia tham gia mỗi năm. Việt Nam bắt đầu tham dự IMO từ năm 1974 và đã đạt được nhiều thành tựu đáng tự hào, với nhiều huy chương vàng, bạc, đồng.

IMO nhằm mục đích phát hiện và nuôi dưỡng tài năng toán học trẻ, khuyến khích tư duy sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp và thúc đẩy hợp tác quốc tế trong lĩnh vực giáo dục toán học. Đề thi IMO yêu cầu thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn phải có khả năng tư duy logic, sáng tạo và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải bài toán ở trình độ cao. Các bài toán thường không yêu cầu kiến thức vượt quá chương trình trung học, nhưng đòi hỏi sự sâu sắc trong tư duy và khả năng tìm ra các cách tiếp cận độc đáo.

IMO diễn ra trong hai ngày thi, mỗi ngày thí sinh giải 3 bài toán trong 4,5 giờ (tổng cộng 6 bài toán). Đề thi bao gồm các bài toán thuộc bốn phân môn chính của toán học trung học:

– Đại số: Các bài toán về phương trình hàm, bất đẳng thức, đa thức, hoặc dãy số.

– Hình học: Các bài toán về hình học phẳng, thường yêu cầu sử dụng các phương pháp hình học tổng hợp.

– Số học: Các bài toán liên quan đến lý thuyết số cơ sơ cấp, tính chất chia hết, số nguyên tố, hoặc ngôn ngữ đồng dư.

– Tổ hợp: Các bài toán về đếm, xác suất, lý thuyết đồ thị, hoặc các bài toán liên quan đến sắp xếp tổ hợp.

Mỗi bài toán được chấm tối đa 7 điểm, tổng điểm tối đa là 42 điểm. Đề thi được thiết kế để phân loại rõ ràng trình độ của thí sinh, với các bài toán có độ khó tăng dần.

Quy trình ra đề thi IMO được thực hiện rất nghiêm ngặt để đảm bảo tính công bằng và chất lượng. Mỗi quốc gia tham gia IMO được mời gửi các bài toán đề xuất đến Ban tổ chức. Các bài toán này được một ủy ban quốc tế (IMO Problem Selection Committee) xem xét và lựa chọn. Ủy ban này, bao gồm các chuyên gia toán học từ nhiều quốc gia, sẽ đánh giá tính sáng tạo, độ khó, và tính phù hợp của bài toán. Sau đó, các bài toán được chọn sẽ được dịch ra nhiều ngôn ngữ và kiểm tra kỹ lưỡng để tránh sai sót. Các bài toán được giữ bí mật tuyệt đối cho đến ngày thi. Mỗi năm, đề thi được thiết kế để cân bằng giữa các phân môn và đảm bảo có ít nhất một bài toán “dễ” (để hầu hết thí sinh có thể giải), một bài toán “trung bình” và một bài toán “khó” (thách thức các thí sinh xuất sắc nhất).

Quy trình chấm thi IMO được thực hiện công bằng và minh bạch. Sau khi hoàn thành bài thi, các bài làm của thí sinh được trưởng đoàn của quốc gia đó chấm sơ bộ. Sau đó, bài thi được chuyển đến một ban chấm thi quốc tế, nơi các giám khảo sẽ thảo luận và thống nhất điểm số. Nếu có tranh cãi về cách chấm, trưởng đoàn có thể giải thích hoặc bảo vệ cách giải của thí sinh trước ban chấm thi. Mỗi bài toán được chấm theo thang điểm 0-7 dựa trên mức độ hoàn chỉnh và chính xác của lời giải. Tổng điểm của thí sinh quyết định thứ hạng và các giải thưởng (huy chương vàng, bạc, đồng hoặc bằng khen).

Continue reading →

IMO Shortlist 2023: Geometry

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359760p31218557

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi thỏa mãn $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ.$ Giả sử trung điểm của $CD$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ . Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Chứng minh rằng đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359729p31218382

Cho tam giác $ABC$ với $AC > BC$ . Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ , và $r$ là bán kính của nó. Điểm $P$ được chọn trên ${AC}$ sao cho $BC=CP,$ và điểm $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống ${AB}$ . Tia $BP$ cắt lại $\omega$ tại $D$ . Điểm $Q$ được chọn trên đường thẳng $SP$ sao cho $PQ = r$ và $S$ , $P$ , $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Cuối cùng, gọi $E$ là một điểm thỏa mãn ${AE} \perp {CQ}$ và ${BE} \perp {DQ}$ . Chứng minh rằng $E$ nằm trên $\omega$ .

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359737p31218405

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $\angle BAD < \angle ADC$ . Gọi $M$ là trung điểm của cung $CD$ không chứa $A$ . Giả sử có một điểm $P$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle ADB = \angle CPD$ và $\angle ADP = \angle PCB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$ , $PM$ , và $BC$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106748p28097552

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa của cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $(ABC)$ tại $E$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$ . $(BDL)$ cắt lại $(ABC)$ tại $P$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(BDL)$ tại $P$ cắt $BS$ trên phân giác của góc $BAC$ . (IMO2023/2)

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359731p31218385

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ có tâm là $O$ . Các điểm $D\neq B$ và $E\neq C$ nằm trên $\omega$ sao cho $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$ . Giả sử $CO$ cắt $AB$ tại $X$ , và $BO$ cắt $AC$ tại $Y$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BXD$ và $CYE$ cùng đi qua một điểm thuộc đường thẳng $AO$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359733p31218391

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ . Một đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc trong với $\omega$ tại $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Các đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Gọi $M$ và $N$ là các điểm nằm trên $BC$ sao cho $B$ là trung điểm của $DM$ và $C$ là trung điểm của $DN$ . Các đường thẳng $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại $K$ , và cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $I$ và $J$ . Tia $KA$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ tại $X\neq K$ . Chứng minh rằng $\angle BXP = \angle CXQ$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359736p31218400

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $\ell_a$ là đường thẳng đi qua điểm đối xứng với $B$ qua $CH$ và điểm đối xứng với $C$ qua $BH$ . Các đường thẳng $\ell_b$ và $\ell_c$ được xác định tương tự. Giả sử ba đường thẳng $\ell_a$ , $\ell_b$ , và $\ell_c$ xác định một tam giác $\mathcal T$ . Chứng minh rằng trực tâm của $\mathcal T$ , tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal T$ , và $H$ thẳng hàng.

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107345p28104331

Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và

$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$

Giả sử $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2,$ $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$ , $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2.$ Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2, BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đi qua hai điểm chung. (IMO2023/6)