Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC\displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB\displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD\displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE)\displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P\displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n. Gọi \displaystyle A_n là tập các số nguyên tố \displaystyle p sao cho tồn tại các số nguyên dương \displaystyle a,b thỏa mãn \displaystyle \dfrac{a+b}{p}\displaystyle \dfrac{a^n + b^n}{p^2} là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \displaystyle p. Nếu \displaystyle A_n hữu hạn, gọi \displaystyle f(n) là số phần tử của nó.
a) Chứng minh \displaystyle A_n hữu hạn khi và chỉ khi \displaystyle n \not = 2.
b) Cho \displaystyle m,k là các số nguyên dương lẻ và \displaystyle d=(m,k). Chứng minh
\displaystyle f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).
Bài 2. Cho \displaystyle n, \displaystyle k là các số nguyên dương và tập
\displaystyle T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}.
Biết \displaystyle 3n^2 - 3n + 1 + k điểm của \displaystyle T được tô đỏ sao cho nếu \displaystyle P, \displaystyle Q là các điểm đỏ và \displaystyle PQ song song với một trong các trục thì tất cả các điểm thuộc PQ đều được tô đỏ. Chứng minh tồn tại ít nhất k hình lập phương đơn vị mà tất cả các đỉnh của chúng đều mang màu đỏ.
Bài 3. Cho \displaystyle q là số nguyên dương không phải là lập phương của một số nguyên. Chứng minh tồn tại hằng số dương \displaystyle C sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, ta có \displaystyle \{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}.

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2018 (China MO 2018)”

Đề chọn đội VMO 2018


Giống như topic năm 2016 https://nttuan.org/2016/09/18/topic-817/ , trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO 2018 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt).

Cảm ơn các bạn rất nhiều. Continue reading “Đề chọn đội VMO 2018”

IMO 2017 training (2)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ hai.

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2017/08/01/imo-2017-training-1/


Bài 1. Cho số nguyên dương \displaystyle n>1 và dãy số Fibonacci xác định như sau \displaystyle f_1=f_2=1, \displaystyle f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng nếu \displaystyle a\displaystyle b là các số nguyên dương sao cho \displaystyle \dfrac{a}{b} nằm giữa hai phân số \displaystyle \dfrac{f_n}{f_{n-1}}\displaystyle \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} thì \displaystyle b\geq f_{n+1}.
Bài 2. (VMO 2013) Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau \displaystyle 2013 bước, số \displaystyle 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: \displaystyle 1\displaystyle 1000?
b) Các số cho trước là: \displaystyle 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?
Bài 3. Dãy hữu hạn các số nguyên \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực \displaystyle x thỏa mãn \displaystyle \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k với mọi \displaystyle k=1, 2,\cdots, n. Cho dãy chính quy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_n, với \displaystyle 1 \le k \le n ta nói \displaystyle a_k là số hạng bắt buộc nếu dãy \displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy khi và chỉ khi \displaystyle b = a_k. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle 1000.
Bài 4. Cho \displaystyle \nu là một số vô tỷ dương, và \displaystyle m là một số nguyên dương. Một cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương được gọi là tốt nếu
\displaystyle a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m. Một cặp tốt \displaystyle (a,b) được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp \displaystyle (a-b,b), \displaystyle (a,b-a) là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của \displaystyle m.
Bài 5. Cho \displaystyle m,n là các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle m \ge n. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các cặp \displaystyle (a,b) các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \displaystyle a,b \le m\displaystyle a+b > m. Với mỗi \displaystyle (a,b)\in S, xét nghiệm tự nhiên \displaystyle (u,v) của phương trình \displaystyle au - bv = n sao cho \displaystyle v nhỏ nhất, và gọi \displaystyle I(a,b) là khoảng \displaystyle (v/a, u/b). Chứng minh rằng \displaystyle I(a,b) \subset (0,1) với mọi \displaystyle (a,b)\in S và mỗi số vô tỷ \displaystyle \alpha\in(0,1) thuộc \displaystyle I(a,b) với đúng \displaystyle n cặp phân biệt \displaystyle (a,b)\in S.
Bài 6. Một số nguyên dương \displaystyle q được gọi là mẫu phù hợp của số thực \displaystyle \alpha nếu \displaystyle \displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q} với số nguyên \displaystyle p nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ \displaystyle \alpha\displaystyle \beta có cùng tập các mẫu phù hợp thì \displaystyle \alpha+\beta hoặc \displaystyle \alpha- \beta là một số nguyên. Continue reading “IMO 2017 training (2)”

IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2016 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Nếu có chỗ nào sai, hãy báo cho tôi.

Continue reading “IMO 2016 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO 2017 training (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2017. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho n-giác đều P. Chứng minh rằng nếu 3 trong các đỉnh của P là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì P là hình vuông.
Bài 2. (Vietnam TST 2011) Có một con cào cào đậu ở điểm (1,1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ A đến B khi và chỉ khi diện tích của tam giác AOB bằng 1/2.
(a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương (m,n) sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ (1,1).
(b) Nếu (m,n) thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến (m,n) từ (1,1) sau nhiều nhất |m-n| lần nhảy.
Bài 3. Cho số nguyên n \ge 5. Xét các số nguyên a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(a) Các cặp (a_i,b_i) với i = 1,2,\cdots,n đôi một khác nhau;
(b) |a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số i,j sao cho 1<|i-j|<n-1|a_ib_j-a_jb_i|=1.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho P là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của P sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của P. Continue reading “IMO 2017 training (1)”

IMO 2016 Shortlist – Combinatorics


Các bạn có thể xem hai phần trước ở các link dưới đây:
Số học https://nttuan.org/2017/07/21/imo-2016-shortlist-number-theory/
Đại số https://nttuan.org/2017/07/20/imo-2016-shortlist-algebra/
—-
C1. Trưởng đoàn của một đội IMO chọn hai số nguyên dương \displaystyle n\displaystyle k thỏa mãn \displaystyle n>k, và gửi chúng đến phó đoàn và một thí sinh trong đoàn. Sau đó trưởng đoàn bí mật gửi cho phó đoàn một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n, và phó đoàn viết ra một xâu nhị phân độ dài \displaystyle n khác xâu của trưởng đoàn đúng \displaystyle k vị trí. Thí sinh được nhìn xâu của phó đoàn và phải đoán xâu của trưởng đoàn. Hỏi thí sinh cần đoán ít nhất bao nhiêu lần để có câu trả lời đúng?
C2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tất cả các ước dương của \displaystyle n có thể đặt vào các ô của bảng chữ nhật để các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(a) mỗi ô chứa một ước phân biệt;
(b) tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau;
(c) tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
C3. Cho số nguyên dương \displaystyle n nguyên tố cùng nhau với \displaystyle 6. Ta tô các đỉnh của một \displaystyle n-giác đều bởi ba màu (mỗi đỉnh tô đúng một màu) sao cho với mỗi màu, có một số lẻ đỉnh mang màu đó. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh khác màu.
C4.Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái \displaystyle I,M\displaystyle O để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;
2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.
Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng \displaystyle n \times n được đánh số từ \displaystyle 1 đến \displaystyle n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương \displaystyle (i,j) với \displaystyle 1 \le i,j \le n. Khi \displaystyle n>1, bảng có \displaystyle 4n-2 đường chéo. Các đường chéo này có hai kiểu, kiểu thứ nhất chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô \displaystyle (i,j) với \displaystyle i-j là hằng số. Continue reading “IMO 2016 Shortlist – Combinatorics”