IMO Shortlist 2024: Combinatorics

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần khác của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N. https://nttuan.org/2025/11/14/isl2024n/

C1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610442p35340913

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một lớp gồm $n$ học sinh chạy $n$ cuộc đua, trong mỗi cuộc đua họ được xếp hạng mà không có hòa. Một học sinh đủ điều kiện để nhận điểm đánh giá $(a, b)$ với $a$ và $b$ là các số nguyên dương, nếu họ về đích trong $b$ vị trí dẫn đầu ở ít nhất $a$ cuộc đua. Điểm số cuối cùng của họ là giá trị lớn nhất có thể của $a-b$ trên tất cả các điểm đánh giá mà họ đủ điều kiện. Tìm tổng lớn nhất có thể của tất cả các điểm số của $n$ học sinh.

C2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610436p35340903

Cho $n$ là một số nguyên dương. Các số nguyên $1, 2, 3, \ldots, n^2$ được điền vào các ô của bảng $n \times n$ sao cho mỗi số nguyên được điền vào đúng một ô và mỗi ô chứa đúng một số nguyên. Với mỗi số nguyên $d$ sao cho $d\mid n$ , phép $d$ -chia của bảng là phép chia bảng thành $(n/d)^2$ bảng con không chồng nhau, mỗi bảng con có kích thước $d \times d$ , sao cho mỗi ô được chứa trong đúng một bảng con $d \times d$ . Ta nói rằng $n$ là một số đẹp nếu các số nguyên có thể được điền vào bảng $n \times n$ sao cho, với mỗi số nguyên $d$ với $d\mid n$ và $1 < d < n$ , trong phép $d$ -chia của bảng, tổng các số nguyên được điền trong mỗi bảng con $d \times d$ không chia hết cho $d$ . Hãy xác định tất cả các số đẹp chẵn.

C3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610441p35340911

Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $2n$ hiệp sĩ ngồi quanh một bàn tròn. Họ gồm $n$ cặp đối tác, mỗi cặp muốn bắt tay nhau. Một cặp chỉ có thể bắt tay khi họ ngồi cạnh nhau. Mỗi phút, một cặp hiệp sĩ ngồi cạnh nhau đổi chỗ. Tìm số lần đổi chỗ nhỏ nhất giữa các hiệp sĩ ngồi cạnh nhau sao cho, bất kể cách sắp xếp ban đầu thế nào, mỗi hiệp sĩ đều có thể gặp đối tác của mình và bắt tay tại một thời điểm nào đó.

C4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777p31218774

Trên một bảng có $2024$ hàng và $2023$ cột, Ốc sên Turbo cố gắng di chuyển từ hàng đầu tiên đến hàng cuối cùng. Trong mỗi lần thử, nó chọn bắt đầu ở bất kỳ ô nào trong hàng đầu tiên, sau đó di chuyển từng bước đến một ô liền kề chung cạnh. Nó thắng nếu đạt đến bất kỳ ô nào trong hàng cuối cùng. Tuy nhiên, có $2022$ quái vật đã được xác định trước và giấu kín trong $2022$ ô, mỗi hàng có một con trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, sao cho không có hai quái vật nào nằm cùng một cột. Nếu không may Turbo đến ô có quái vật, lần thử của nó kết thúc và nó được đưa trở lại hàng đầu tiên để bắt đầu một lần thử mới. Các quái vật không di chuyển. Giả sử Turbo được phép thực hiện $n$ lần thử. Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho nó có một chiến lược đảm bảo đến được hàng cuối cùng, bất kể vị trí của các quái vật thế nào. (IMO2024/5)

C5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610469p35340978

Cho $N$ là một số nguyên dương. Geoff và Ceri chơi một trò chơi mà họ bắt đầu bằng cách viết các số $1, 2, \ldots, N$ lên bảng. Sau đó họ luân phiên thực hiện một nước đi, bắt đầu từ Geoff. Mỗi nước đi bao gồm việc chọn một cặp số nguyên $(k, n)$ , trong đó $k \ge 0$ và $n$ là một trong các số nguyên trên bảng, sau đó xóa mọi số nguyên $s$ trên bảng sao cho $2^k \mid n-s$ . Trò chơi tiếp tục cho đến khi bảng trống. Người chơi xóa số nguyên cuối cùng trên bảng sẽ thua. Xác định tất cả các giá trị của $N$ mà Geoff có thể đảm bảo thắng, bất kể Ceri chơi như thế nào.

C6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610456p35340931

Cho $n$ và $T$ là các số nguyên dương. James có $4n$ viên bi với khối lượng $1, 2, \ldots, 4n$ . Anh ấy đặt chúng lên một chiếc cân thăng bằng sao cho hai bên có khối lượng bằng nhau. Andrew có thể di chuyển một viên bi từ bên này sang bên kia của chiếc cân, sao cho độ chênh lệch về khối lượng của hai bên luôn không quá $T$ . Tìm, theo $n$ , số nguyên dương $T$ nhỏ nhất sao cho Andrew có thể thực hiện một chuỗi các nước đi để mỗi viên bi cuối cùng nằm ở phía đối diện của chiếc cân, bất kể cách James đặt bi ban đầu như thế nào.

C7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358930p31206050

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n){n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1}){n\geq 1}$ và $(a{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó. (IMO2024/3)

C8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610448p35340921

Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho một bảng $n \times n$ , ô đơn vị ở góc trên bên trái ban đầu được tô màu đen, và các ô khác được tô màu trắng. Sau đó, ta áp dụng một chuỗi các thao tác tô màu lên bảng. Trong mỗi thao tác, ta chọn một hình vuông $2 \times 2$ có đúng một ô màu đen và ta tô ba ô còn lại của hình vuông $2 \times 2$ đó thành màu đen. Xác định tất cả các giá trị của $n$ sao cho ta có thể tô toàn bộ bảng thành màu đen.

IMO Shortlist 2024: Number theory

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán số học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần hình học và đại số của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610447p35340920

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi ước số dương $d$ của $n$ , ta có $d+1\mid n$ hoặc $d+1$ là số nguyên tố.

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610444p35340915

Xác định tất cả các tập hợp hữu hạn, khác rỗng $\mathcal{S}$ các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b\in\mathcal{S}$ tồn tại $c\in\mathcal{S}$ thỏa mãn $a\mid b+2c$ .

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610437p35340905

Xác định tất cả các dãy số $a_1, a_2, \dots$ các số nguyên dương sao cho với mọi cặp số nguyên dương $m\leqslant n$ , trung bình cộng và trung bình nhân

$\displaystyle \frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-m+1}$ và $\displaystyle (a_ma_{m+1}\cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}$ đều là các số nguyên.

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926p31205957

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn $(a^n+b,b^n+a)=g$ với mọi số nguyên $n\geq N$ . (IMO2024/2)

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610445p35340917

Cho $\mathcal{S}$ là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các số nguyên tố. Giả sử $1 = b_1 < b_2 < \dots$ là dãy tất cả các số nguyên dương mà các ước nguyên tố đều thuộc $\mathcal{S}$ . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ đủ lớn, tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho

$\displaystyle \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} = \left\lceil \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right\rceil.$

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610457p35340935

Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta nói một đa thức $P$ với các hệ số nguyên là $n$ -tốt nếu tồn tại một đa thức $Q$ bậc $2$ với các hệ số nguyên sao cho $Q(k)(P(k) + Q(k))$ không chia hết cho $n$ với mọi số nguyên $k$ . Xác định tất cả các số nguyên $n$ sao cho mọi đa thức với các hệ số nguyên là một đa thức $n$ -tốt.

Continue reading →

IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) = p$

và $\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) = q$ .

IMO Shortlist 2024: Geometry

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán hình học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610481p35341119

Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp sao cho $AC<BD<AD$ và $\angle DBA<90^\circ$ . Điểm $E$ nằm trên đường thẳng đi qua $D$ song song với $AB$ sao cho $E$ và $C$ nằm khác phía đối với $AD$ và $AC=DE$ . Điểm $F$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ song song với $CD$ sao cho $F$ và $C$ nằm khác phía đối với $AD$ và $BD=AF$ . Chứng minh rằng các đường trung trực của $BC$ và $EF$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp của $ABCD$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767p31218657

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB < AC < BC$ . Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt là $I$ và $\omega$ . Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$ . Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$ . Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ . (IMO2024/4)

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610478p35341061

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi và $M$ là trung điểm của $AB$ . Giả sử $AB$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại $M$ và $D$ nằm trên các đường tròn ngoại tiếp của $AME$ và $BMC$ . Các đường thẳng $AD$ và $ME$ cắt nhau tại $K$ , và các đường thẳng $BD$ và $MC$ cắt nhau tại $L$ . Các điểm $P$ và $Q$ nằm trên đường thẳng $EC$ sao cho $\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $KP, LQ,$ và $MD$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610440p35340910

Cho $ABCD$ là tứ giác có $AB$ song song với $CD$ và $AB<CD$ . Hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $P$ . Điểm $X$ khác $C$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $PC=PX$ . Điểm $Y$ khác $D$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ sao cho $PD=PY$ . Hai đường thẳng $AX$ và $BY$ cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh rằng $PQ$ song song với $AB$ .

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610468p35340974

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ , và $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ . Cho $K$ là một điểm nằm trong đoạn thẳng $BC$ sao cho $\angle BAK < \angle KAC$ . Đường phân giác của $\angle BKA$ cắt $\Omega$ tại các điểm $W$ và $X$ sao cho $A$ và $W$ nằm cùng một phía đối với $BC$ , và đường phân giác của $\angle CKA$ cắt $\Omega$ tại các điểm $Y$ và $Z$ sao cho $A$ và $Y$ nằm cùng một phía đối với $BC$ . Chứng minh rằng $\angle WAY = \angle ZAX$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610439p35340907

Cho $ABC$ là tam giác nhọn với $AB < AC$ , và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $ABC$ . Các điểm $X$ và $Y$ nằm trên $\Gamma$ sao cho $XY$ và $BC$ cắt nhau trên đường phân giác ngoài của $\angle BAC$ . Giả sử các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $X$ và $Y$ cắt nhau tại điểm $T$ nằm cùng phía với $A$ đối với $BC$ , và $TX$ và $TY$ cắt $BC$ tại $U$ và $V$ , tương ứng. Gọi $J$ là tâm của đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $T$ của tam giác $TUV$ . Chứng minh rằng $AJ$ là phân giác của $\angle BAC$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610452p35340925

Cho $ABC$ là tam giác có tâm nội tiếp $I$ sao cho $AB<AC<BC$ . Giao điểm thứ hai của $AI, BI$ , và $CI$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt là $M_{A}$ , $M_{B}$ , và $M_{C}$ . Các đường thẳng $AI$ và $BC$ cắt nhau tại $D$ và các đường thẳng $BM_{C}$ và $CM_{B}$ cắt nhau tại $X$ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $XM_{B}M_{C}$ và $XBC$ cắt nhau tại $S\neq X$ . Các đường thẳng $BX$ và $CX$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $SXM_{A}$ tại $P\neq X$ và $Q\neq X$ , tương ứng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SID$ nằm trên $PQ$ .

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610449p35340922

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC<BC$ , và $D$ là một điểm nằm trong đoạn thẳng $BC$ . Cho $E$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $A$ và $E$ nằm khác phía đối với $BC$ và $\angle{BAD}=\angle{EAC}$ . Gọi $I,I_B,I_C,J_B$ và $J_C$ lần lượt là tâm nội tiếp của các tam giác $ABC,ABD,ADC,ABE$ và $AEC$ . Chứng minh rằng $I_B,I_C,J_B$ và $J_C$ đồng viên khi và chỉ khi $AI,I_BJ_C$ và $J_BI_C$ đồng quy.