A Proof of Karamata’s Inequality

Bất đẳng thức Karamata là một trong những công cụ mạnh mẽ và kinh điển nhất khi xử lý các bài toán Bất đẳng thức Olympic. Trong tài liệu ngắn này, chúng tôi trình bày một chứng minh chi tiết và tự nhiên cho định lý này, sử dụng “Bổ đề làm đều hai số” kết hợp với phương pháp quy nạp toán học dựa trên quan hệ trội.

Karamata Download

Newton’s Identities: An Elementary Proof

Chúng tôi giới thiệu một chứng minh của các đẳng thức Newton.

newton Download

Maclaurin’s Inequality via Rolle’s Theorem

Chúng tôi giới thiệu một chứng minh cho bất đẳng Maclaurin.

Maclaurin Download

An Elementary Proof of the Gauss–Lucas Theorem

Các bạn xem lại bài sau để theo dõi cho dễ https://nttuan.org/2007/10/26/poly01/

Định lý Gauss–Lucas. Cho đa thức khác hằng $P\in\mathbb{C}[z]$ . Chứng minh rằng mọi nghiệm phức của đạo hàm hình thức $P'$ đều nằm trong bao lồi của tập hợp các nghiệm phức của $P$ .

Chứng minh. Đặt $n=\deg P$ và gọi $z_1,\ldots,z_n$ là các nghiệm của $P$ (kể cả bội). Khi đó

$\displaystyle P(z)=c\prod_{i=1}^{n}(z-z_i),\qquad c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$

Lấy $w\in\mathbb{C}$ sao cho $P'(w)=0$ . Nếu $P(w)=0$ thì $w$ thuộc tập nghiệm của $P$ , nên hiển nhiên nằm trong bao lồi của tập này.

Xét trường hợp $P(w)\ne0$ . Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích rồi chia cho $P(w)$ , ta được

$\displaystyle 0=\frac{P'(w)}{P(w)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{w-z_i}.$

Lấy liên hợp hai vế, suy ra

$\displaystyle 0=\sum_{i=1}^{n}\frac{w-z_i}{|w-z_i|^2}=w\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{|w-z_i|^2}-\sum_{i=1}^{n}\frac{z_i}{|w-z_i|^2}.$

Do đó

$\displaystyle w=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i,$

trong đó

$\displaystyle \lambda_i=\frac{|w-z_i|^{-2}}{\sum_{j=1}^{n}|w-z_j|^{-2}}\quad(1\le i\le n).$

Các hệ số $\lambda_i$ đều dương và có tổng bằng $1$ . Vì vậy, $w$ là một tổ hợp lồi của $z_1,\ldots,z_n$ , nên nằm trong bao lồi của tập nghiệm của $P$ . $\Box$

Existence of Non-Trivial Solutions in Homogeneous Linear Systems

Định lý. Cho hai số nguyên dương $N>M$ và một bảng các số thực (phức, hữu tỷ) $(a_{i,j})$ có cỡ $M\times N$ . Khi đó, hệ phương trình

$\displaystyle \sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j=0,\quad i=1,2,\ldots,M$

luôn có nghiệm thực (tương ứng phức, hữu tỷ) không tầm thường.

Chứng minh. Ta chứng minh đồng thời cho các hệ có hệ số trong mỗi trường $\mathbb K\in\{\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\}$ bằng quy nạp theo số phương trình $M$ .

Với $M=1$ , ta có $N\ge2$ . Nếu mọi hệ số $a_{1,j}$ đều bằng $0$ thì có thể lấy $(x_1,\ldots,x_N)=(1,0,\ldots,0)$ . Nếu không, chọn $k$ sao cho $a_{1,k}\ne0$ và chọn $\ell\ne k$ . Đặt

$\displaystyle x_\ell=1,\qquad x_k=-\frac{a_{1,\ell}}{a_{1,k}},\qquad x_j=0\quad(j\notin\{k,\ell\}).$

Đây là một nghiệm không tầm thường.

Giả sử kết luận đúng với mọi hệ gồm $M-1$ phương trình và có số ẩn lớn hơn $M-1$ . Xét hệ gồm $M$ phương trình với $N>M$ . Nếu phương trình thứ $M$ có mọi hệ số bằng $0$ , bỏ phương trình ấy rồi áp dụng giả thiết quy nạp.

Trong trường hợp còn lại, bằng cách đổi thứ tự các ẩn, ta có thể giả sử $a_{M,N}\ne0$ . Từ phương trình thứ $M$ , suy ra

$\displaystyle x_N=-\sum_{j=1}^{N-1}\frac{a_{M,j}}{a_{M,N}}x_j.$

Thay vào $M-1$ phương trình đầu, ta được hệ thuần nhất

$\displaystyle \sum_{j=1}^{N-1} \left(a_{i,j}-\frac{a_{i,N}a_{M,j}}{a_{M,N}}\right)x_j=0, \qquad i=1,\ldots,M-1.$

Hệ này có $N-1>M-1$ ẩn và các hệ số vẫn thuộc $\mathbb K$ . Theo giả thiết quy nạp, nó có nghiệm $(x_1,\ldots,x_{N-1})$ không tầm thường. Xác định $x_N$ bằng công thức trên, ta thu được một nghiệm của hệ ban đầu. Nghiệm này không tầm thường vì ít nhất một trong các số $x_1,\ldots,x_{N-1}$ khác $0$ .