Existence of Non-Trivial Solutions in Homogeneous Linear Systems

Định lý. Cho hai số nguyên dương $N>M$ và một bảng các số thực (phức, hữu tỷ) $(a_{i,j})$ có cỡ $M\times N$ . Khi đó, hệ phương trình

$\displaystyle \sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j=0,\quad i=1,2,\ldots,M$

luôn có nghiệm thực (tương ứng phức, hữu tỷ) không tầm thường.

Chứng minh. Ta chứng minh đồng thời cho các hệ có hệ số trong mỗi trường $\mathbb K\in\{\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\}$ bằng quy nạp theo số phương trình $M$ .

Với $M=1$ , ta có $N\ge2$ . Nếu mọi hệ số $a_{1,j}$ đều bằng $0$ thì có thể lấy $(x_1,\ldots,x_N)=(1,0,\ldots,0)$ . Nếu không, chọn $k$ sao cho $a_{1,k}\ne0$ và chọn $\ell\ne k$ . Đặt

$\displaystyle x_\ell=1,\qquad x_k=-\frac{a_{1,\ell}}{a_{1,k}},\qquad x_j=0\quad(j\notin\{k,\ell\}).$

Đây là một nghiệm không tầm thường.

Giả sử kết luận đúng với mọi hệ gồm $M-1$ phương trình và có số ẩn lớn hơn $M-1$ . Xét hệ gồm $M$ phương trình với $N>M$ . Nếu phương trình thứ $M$ có mọi hệ số bằng $0$ , bỏ phương trình ấy rồi áp dụng giả thiết quy nạp.

Trong trường hợp còn lại, bằng cách đổi thứ tự các ẩn, ta có thể giả sử $a_{M,N}\ne0$ . Từ phương trình thứ $M$ , suy ra

$\displaystyle x_N=-\sum_{j=1}^{N-1}\frac{a_{M,j}}{a_{M,N}}x_j.$

Thay vào $M-1$ phương trình đầu, ta được hệ thuần nhất

$\displaystyle \sum_{j=1}^{N-1} \left(a_{i,j}-\frac{a_{i,N}a_{M,j}}{a_{M,N}}\right)x_j=0, \qquad i=1,\ldots,M-1.$

Hệ này có $N-1>M-1$ ẩn và các hệ số vẫn thuộc $\mathbb K$ . Theo giả thiết quy nạp, nó có nghiệm $(x_1,\ldots,x_{N-1})$ không tầm thường. Xác định $x_N$ bằng công thức trên, ta thu được một nghiệm của hệ ban đầu. Nghiệm này không tầm thường vì ít nhất một trong các số $x_1,\ldots,x_{N-1}$ khác $0$ .