IMO Shortlist 2022: Algebra

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:

Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

A1. Cho $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số thực dương có tính chất $(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$ . Chứng minh rằng $a_{2022}\leq 1.$

A2. Cho một số nguyên $k\ge2$ . Tìm số nguyên $n \ge k+1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $n$ số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của $k$ phần tử phân biệt khác của tập hợp.

A3. Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$ , có đúng một $y \in \mathbb {R}^+$ thỏa mãn $xf(y)+yf(x) \leq 2$ . (IMO2022/2)

A4. Gọi $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực trong đoạn $[0,1]$ . Đặt $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sao cho $2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.$

A5. Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_1<\cdots<a_n$ và số thực $r>0$ để $\frac{1}{2}n( n-1)$ hiệu $a_j-a_i$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{ 1}{2}n(n-1)}$ .

A6. Chúng ta nói rằng một hàm $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ là tốt nếu $f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$ . Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm tốt $f$ , tồn tại một số thực $z$ sao cho $f(z) = qz$ .

A7. Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $s(m)$ là tổng các chữ số của $m$ trong hệ thập phân. Gọi $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ là một đa thức, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_i$ là một số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương $k$ , $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn – lẻ?

A8. Với số nguyên dương $n$ , một $n$ -dãy là một dãy $(a_0,\ldots,a_n)$ gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm với $i+j \leqslant n$ , thì $a_i+a_j \leqslant n$ và $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Gọi $f(n)$ là số $n$ -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_1$ , $c_2$ và $\lambda$ sao cho $c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$ với mọi số nguyên dương $n$ .

Characters of finite Abelian groups

Cho $G$ là một nhóm giao hoán hữu hạn (với phép toán nhân). Một đặc trưng của $G$ là một đồng cấu từ $G$ đến nhóm nhân $U$ các số phức có mô đun bằng $1$ . Với một đặc trưng $\chi: G\to U$ , ta có

các giá trị của $\chi$ là các căn bậc $\mid G\mid$ của đơn vị.
$(\chi (g))^{-1}=\overline{\chi (g)},\quad\forall g\in G$ .

Ánh xạ $\chi_0:G\to U$ xác định bởi $\chi (g)=1,\quad\forall g\in G,$ là một đặc trưng của $G$ . Nó được gọi là đặc trưng tầm thường, các đặc trưng khác của $G$ được gọi là đặc trưng không tầm thường.

Cho $\chi:G\to U$ là một đặc trưng của $G$ . Khi đó ánh xạ $\overline{\chi}:G\to U$ xác định bởi $\overline{\chi} (g)=\overline{\chi (g)},\quad\forall g\in G,$ cũng là một đặc trưng của $G$ . Nó được gọi là đặc trưng liên hợp của $\chi$ .

Với hai đặc trưng $\chi_1$ và $\chi_2$ của $G$ , ta có thể định nghĩa đặc trưng tích của chúng, ký hiệu $\chi_1\chi_2$ , bởi

$(\chi_1\chi_2) (g)=\chi_1(g)\chi_2(g),\quad\forall g\in G$ (dễ kiểm tra thấy đây là một đặc trưng của $G$ ). Với phép toán này thì tập hợp $\widehat{G}$ gồm tất cả các đặc trưng của $G$ trở thành một nhóm giao hoán, nhóm đối ngẫu của $G$ . Nhóm này là hữu hạn vì các giá trị của đặc trưng là các căn bậc $\mid G\mid$ của đơn vị.

Cho số nguyên dương $n$ và nhóm cyclic $G$ có cấp bằng $n$ . Gọi $g$ là một phần tử sinh của $G$ . Khi đó $\mid \widehat{G}\mid=n$ và $\widehat{G}=\{\chi_0,\chi_1,\ldots,\chi_{n-1}\},$ ở đây đặc trưng $\chi_j$ xác định bởi $\chi_j(g^k)=\exp \left(i\cdot \frac{2\pi j k}{n}\right)$ với mọi $k=0$ , $1,\ldots$ , $n-1$ .

Định lí 1. Cho $H$ một nhóm con của $G$ và $\chi$ là một đặc trưng của $H$ . Khi đó $\chi$ có thể mở rộng thành một đặc trưng của $G$ .

Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp $G$ là nhóm con sinh bởi $H\cup \{a\}$ , trong đó $a\in G\setminus H$ . Gọi $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^n\in H$ , và $b$ là một căn bậc $n$ của $\chi (a^n)$ . Mọi phần tử $g$ của $G$ đều viết được một cách duy nhất dưới dạng $g=a^ih$ , với $h\in H$ và $0\leq i<n$ . Ánh xạ $\chi_1:G\to U$ xác định bởi $\chi_1(g)=\chi_1(a^ih)=b^i\chi (h)$ là một đặc trưng của $G$ mở rộng $\chi$ . $\Box$

Continue reading →

Đề thi Olympic Toán nữ sinh Châu Âu 2024 (EGMO 2024)

Vào mùa thu năm 2009, trường Cao đẳng Murray Edwards, Cambridge đã tiếp cận Quỹ Toán học Vương quốc Anh với lời đề nghị làm điều gì đó để hỗ trợ việc trau dồi toán học cho các học sinh nữ. Một tình nguyện viên của UKMT (UK Maths Trust), Vicky Neale, đã gia nhập trường với tư cách là Giám đốc Nghiên cứu toán học vào đầu năm đó và trường đã tìm cách hỗ trợ các hoạt động của cô.

Đồng thời, UKMT đang lên kế hoạch cử một đội tham dự Olympic Toán nữ sinh Trung Quốc (CGMO) vào tháng 8 năm 2010.

Trong kỳ nghỉ Giáng sinh năm 2009, Geoff Smith đã có ý tưởng tổ chức một cuộc thi Olympic Toán học dành cho học sinh nữ châu Âu, có thể sử dụng trường Cao đẳng Murray Edwards làm địa điểm khai mạc. Mục đích là mang đến cho nhiều cô gái trải nghiệm tương tự như CGMO.

Vào ngày 29 tháng 12 năm 2009, Geoff đã chuyển ý tưởng của mình tới ủy ban Olympic Toán học Anh, ủy ban đã quyết định ủng hộ đề xuất này.

Tại IMO 2010 ở Kazakhstan, một cuộc họp sơ bộ đã được tổ chức để xác định liệu quốc tế có quan tâm đến việc tổ chức EGMO hay không. Không có gì ngạc nhiên khi một số quốc gia (nơi không có truyền thống giáo dục riêng cho nữ sinh) tỏ ra thận trọng khi tham gia, nhưng rõ ràng có đủ sự quan tâm để tiến hành sự kiện khai mạc.

Sự tham gia của Vương quốc Anh tại CGMO, đội do Ceri Fiddes và Alison Zhu phụ trách, đã thành công rực rỡ. Cả Ceri và Alison đều trở lại với quyết tâm tạo ra một sự kiện ở châu Âu. Ceri Fiddes sẽ trở thành Giám đốc Cuộc thi EGMO đầu tiên và Alison sẽ dẫn dắt đội Vương quốc Anh tại EGMO đầu tiên.

Thông báo công khai đầu tiên và ra mắt chính thức của EGMO được thực hiện vào ngày 8 tháng 3 năm 2011, nhân kỷ niệm 100 năm Ngày Quốc tế Phụ nữ.

Hỗ trợ tài chính đã được huy động từ nhiều nguồn khác nhau và nhóm của Ceri đã tham gia lập kế hoạch chi tiết cho EGMO 2012.

Tinh thần đã được nâng cao đáng kể vào tháng 5 năm 2011 khi Charles Leytem thông báo rằng Luxembourg sẽ đăng cai EGMO 2013.

Tương tự IMO, các học sinh sẽ thi trong 2 ngày, mỗi ngày làm 3 bài toán trong 4 tiếng rưỡi. Có thể thấy rằng nhiều bài toán trong đề thi EGMO không khó bằng các bài toán trong đề thi IMO.

egmo2024-day1 Download

egmo2024-day2 Download

Nguồn: https://www.egmo.org/

European Mathematical Cup 2023

Cúp Toán học Châu Âu (viết tắt là EMC) là một cuộc thi toán trung học do Hiệp hội các nhà Toán học trẻ tài năng Croatia Marin Getaldić (www.mnm.hr) tổ chức với sự hợp tác của nhiều giáo sư uy tín.

EMC thường diễn ra vào tháng 12 và các thí sinh có thể làm bài online. Sau cuộc thi, ban tổ chức địa phương sẽ gửi bản scan các bài giải của học sinh cho ban tổ chức EMC để chấm. Họ cũng có thể tự chấm các bài làm của học sinh. Kết quả chính thức sẽ được công bố trên trang web sớm nhất có thể sau khi tất cả các bài thi được chấm điểm.

Cuộc thi được chia thành hai hạng: Junior (học sinh dưới 17 tuổi vào ngày diễn ra cuộc thi và chưa từng tham gia IMO) và Senior (học sinh trung học khác hoặc học sinh tiểu học xuất sắc). Học sinh đáp ứng đủ tiêu chí để tham gia hạng Junior có thể chọn tham gia hạng Senior.

Thời lượng của cuộc thi cho cả hai hạng là 4 giờ. Trong thời gian đó, học sinh sẽ cố gắng giải 4 bài toán, mỗi bài toán thuộc một trong các lĩnh vực: đại số, tổ hợp, hình học và lý thuyết số. Theo mô hình của các cuộc thi quốc tế khác như IMO, các công cụ duy nhất được phép sử dụng trong cuộc thi là các công cụ viết và vẽ. Việc sử dụng các công thức, máy tính bỏ túi và các công cụ khác bị cấm. Về mặt kiến thức, các bài toán tương tự như các bài toán IMO, mặc dù các bài toán thuộc hạng Junior thường cơ bản hơn và ít yêu cầu kiến thức hơn.

Dưới đây là đề EMC 2023 hạng Senior:

Bài 1. Tìm tất cả các tập số thực $S$ sao cho:

(a) $1$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ , và

(b) với mỗi $x,y\in S$ , nếu $x>y$ thì $\sqrt{x^2-y^2}\in S$ .

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC = 90^{\circ}$ . Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt tiếp xúc với ${BC}$ , ${CA}$ , ${AB}$ tại $D$ , $E$ , $F$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$ . Ký hiệu $P$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ và $K$ là giao điểm của $MP$ và $AD$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFE$ và $PDK$ có bán kính bằng nhau.

Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương. Gọi $B_n$ là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n$ . Đối với xâu nhị phân $s_1s_2\ldots s_n$ , ta định nghĩa xoắn của nó là xâu nhị phân độ dài $n$ được xác định theo cách sau. Đầu tiên, ta đếm xem nó có bao nhiêu khối chữ số liên tiếp. Ký hiệu số này là $b$ . Sau đó, chúng ta thay $s_b$ bằng $1-s_b$ . Xâu $a$ được gọi là hậu duệ của xâu $b$ nếu $a$ có thể thu được từ $b$ thông qua một số hữu hạn lần xoắn. Một tập con của $B_n$ được gọi là bị chia nếu không có hai phần tử nào trong số các phần tử của nó có hậu duệ chung. Tìm số lượng phần tử lớn nhất có thể có của một tập con bị chia của $B_n$ .

Một ví dụ về xoắn: $101100 \rightarrow 101000$ vì $1\mid 0\mid 11\mid 00$ có $4$ khối chữ số liên tiếp.

Bài 4. Cho một hàm số $f\colon\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^*$ có tính chất: với mỗi số nguyên dương $x$ và $y$ , số $f(x)+y$ là số chính phương khi và chỉ khi số $x+f(y)$ là số chính phương. Chứng minh rằng $f$ là một đơn ánh.