Characters of finite Abelian groups

Cho $G$ là một nhóm giao hoán hữu hạn (với phép toán nhân). Một đặc trưng của $G$ là một đồng cấu từ $G$ đến nhóm nhân $U$ các số phức có mô đun bằng $1$ . Với một đặc trưng $\chi: G\to U$ , ta có

các giá trị của $\chi$ là các căn bậc $\mid G\mid$ của đơn vị.
$(\chi (g))^{-1}=\overline{\chi (g)},\quad\forall g\in G$ .

Ánh xạ $\chi_0:G\to U$ xác định bởi $\chi (g)=1,\quad\forall g\in G,$ là một đặc trưng của $G$ . Nó được gọi là đặc trưng tầm thường, các đặc trưng khác của $G$ được gọi là đặc trưng không tầm thường.

Cho $\chi:G\to U$ là một đặc trưng của $G$ . Khi đó ánh xạ $\overline{\chi}:G\to U$ xác định bởi $\overline{\chi} (g)=\overline{\chi (g)},\quad\forall g\in G,$ cũng là một đặc trưng của $G$ . Nó được gọi là đặc trưng liên hợp của $\chi$ .

Với hai đặc trưng $\chi_1$ và $\chi_2$ của $G$ , ta có thể định nghĩa đặc trưng tích của chúng, ký hiệu $\chi_1\chi_2$ , bởi

$(\chi_1\chi_2) (g)=\chi_1(g)\chi_2(g),\quad\forall g\in G$ (dễ kiểm tra thấy đây là một đặc trưng của $G$ ). Với phép toán này thì tập hợp $\widehat{G}$ gồm tất cả các đặc trưng của $G$ trở thành một nhóm giao hoán, nhóm đối ngẫu của $G$ . Nhóm này là hữu hạn vì các giá trị của đặc trưng là các căn bậc $\mid G\mid$ của đơn vị.

Cho số nguyên dương $n$ và nhóm cyclic $G$ có cấp bằng $n$ . Gọi $g$ là một phần tử sinh của $G$ . Khi đó $\mid \widehat{G}\mid=n$ và $\widehat{G}=\{\chi_0,\chi_1,\ldots,\chi_{n-1}\},$ ở đây đặc trưng $\chi_j$ xác định bởi $\chi_j(g^k)=\exp \left(i\cdot \frac{2\pi j k}{n}\right)$ với mọi $k=0$ , $1,\ldots$ , $n-1$ .

Định lí 1. Cho $H$ một nhóm con của $G$ và $\chi$ là một đặc trưng của $H$ . Khi đó $\chi$ có thể mở rộng thành một đặc trưng của $G$ .

Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp $G$ là nhóm con sinh bởi $H\cup \{a\}$ , trong đó $a\in G\setminus H$ . Gọi $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^n\in H$ , và $b$ là một căn bậc $n$ của $\chi (a^n)$ . Mọi phần tử $g$ của $G$ đều viết được một cách duy nhất dưới dạng $g=a^ih$ , với $h\in H$ và $0\leq i<n$ . Ánh xạ $\chi_1:G\to U$ xác định bởi $\chi_1(g)=\chi_1(a^ih)=b^i\chi (h)$ là một đặc trưng của $G$ mở rộng $\chi$ . $\Box$

Định lí 2. Nếu $\chi$ là một đặc trưng không tầm thường của $G$ thì $\displaystyle \sum_{g\in G}\chi (g)=0.$ Nếu $g\in G\setminus \{1\}$ thì $\displaystyle \sum_{\chi\in \widehat{G}}\chi (g)=0.$

Chứng minh. Vì $\chi$ là một đặc trưng không tầm thường nên theo định lí 1, tồn tại $a\in G$ sao cho $\chi (a)\not=1$ . Ta có $\displaystyle \chi (a)\sum_{g\in G} \chi (g)=\sum_{g\in G}\chi (ag)=\sum_{g\in G}\chi (g),$ từ đây ta có đẳng thức thứ nhất. Bây giờ ta chứng minh đẳng thức thứ hai. Ánh xạ $\widehat{g}:\widehat{G}\to U$ xác định bởi $\widehat{g}(\chi)=\chi (g),\quad\forall \chi\in\widehat{G}$ là một đặc trưng không tầm thường của $\widehat{G}$ , áp dụng đẳng thức đầu cho đặc trưng này ta có điều cần chứng minh. $\Box$

Định lí 3. $\mid \widehat{G}\mid =\mid G\mid$ .

Chứng minh. Từ định lí 2, ta có $\displaystyle \mid\widehat{G}\mid =\sum_{g\in G}\sum_{\chi \in \widehat{G}}\chi (g)=\sum_{\chi \in \widehat{G}}\sum_{g \in {G}}\chi (g)=\mid G\mid.$ $\Box$

Từ các định lí 1 và 2, ta thu được hai kết quả sau:

Định lí 4. Cho $\chi$ và $\psi$ là các đặc trưng của $G$ . Khi đó $\displaystyle \frac{1}{\mid G\mid} \sum_{g\in G}\chi (g)\overline{\psi (g)}=1$ , nếu $\chi =\psi$ ; và bằng $0$ , nếu $\chi \not=\psi$ .

Định lí 5. Cho $g$ và $h$ là các phần tử của $G$ . Khi đó $\displaystyle \frac{1}{\mid G\mid} \sum_{\chi\in \widehat{G}}\chi (g)\overline{\chi (h)}=1$ , nếu $g =h$ ; và bằng $0$ , nếu $g \not=h$ .