Mathematical induction – part 1


Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi n>3, có n-giác lồi không đều sao cho tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong nó đến các cạnh là một hằng số.

Bài 2. (1995) Tồn tại hay không f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện

1/. f(x) bị chặn

2/. f(1)=1

3/. f\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)=f(x)+\left[f\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]^2\,\,\forall x\not =0.

Bài 3. (1993) Dãy số a_0,a_1,\cdots xác định bởi a_0=0,\,\,a_{n+1}=[\sqrt[3]{a_n+n}]^3\,\,\forall n\geq 0.

(ở đây [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.)

1/. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

2/. Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho a_n=n.

Bài 4. (1960) Cho dãy các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots thỏa mãn a_1=1a_{n+1}\leq 1+a_1+a_2+\cdots+a_n\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương có thể biểu diễn như là tổng các số hạng có chỉ số khác nhau của dãy trên.

Bài 5. (1995) Cho k là một số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn số chính phương có dạng n\cdot 2^k-7, ở đây n là một số nguyên dương.

Bài 6. (1996) Một dãy hữu hạn các số nguyên a_0,a_1,\cdots,a_n được gọi là  bậc hai nếu với mỗi i=1,2,\cdots,n ta có |a_i-a_{i-1}|=i^2.

1/. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên bc, có số nguyên dương n và dãy bậc hai a_0,a_1,\cdots,a_n thỏa mãn a_0=ba_n=c.

2/. Tìm số nguyên dương n bé nhất để có dãy bậc hai thỏa mãn a_0=0a_n=1996.

Continue reading “Mathematical induction – part 1”