## [MO] Best Algebraic Geometry text book? (other than Hartshorne)

I think (almost) everyone agrees that Hartshorne’s Algebraic Geometry is still the best.
Then what might be the 2nd best? It can be a book, preprint, online lecture note, webpage, etc.

One suggestion per answer please. Also, please include an explanation of why you like the book, or what makes it unique or useful.

## Polynomials (Algorithms and Computation in Mathematics) Victor V. Prasolov (Author), Dimitry Leites (Translator)

### From the Back Cover

This comprehensive book covers both long-standing results in the theory of polynomials and recent developments which have until now only been available in the research literature. After initial chapters on the location and separation of roots and on irreducibility criteria, the book covers more specialized polynomials, including those which are symmetric, integer-value or cyclotomic, and those of Chebyshev and Bernoulli. There follow chapters on Galois theory and ideals in polynomial rings. Finally there is a detailed discussion of Hilbert’s 17th problem on the representation of non-negative polynomials as sums of squares of rational functions and generalizations. From the reviews: “… Despite the appearance of this book in a series titled Algorithms and Computation of Mathematics, computation occupies only a small part of the monograph. It is best described as a useful reference for one’s personal collection and a text for a full-year course given to graduate or even senior undergraduate students. […..] the book under review is worth purchasing for the library and possibly even for one’s own collection. The author’s interest in the history and development of this area is evident, and we have pleasant glimpses of progress over the last three centuries. He exercises nice judgment in selection of arguments, with respect to both representativeness of approaches and elegance, so that the reader gains a synopsis of and guide to the literature, in which more detail can be found. …” E. Barbeau, SIAM Review 47, No. 3, 2005 “… the volume is packed with results and proofs that are well organised thematically into chapters and sections. What is unusual is to have a text that embraces and intermingles both analytic and algebraic aspects of the theory. Although the subject is about such basic objects, many tough results of considerable generality are incorporated and it is striking that refinements, both in theorems and proofs continued throughout the latter part of the Twentieth Century. […] There is a plentiful of problems, some of which might be challenging even for polynomial people; solutions to selected problems are also included.” S.D.Cohen, MathSciNet, MR 2082772, 2005 “Problems concerning polynomials have impulsed resp. accompanied the development of algebra from its very beginning until today and over the centuries a lot of mathematical gems have been brought to light. This book presents a few of them, some being classical, but partly probably unknown even to experts, some being quite recently discovered. […] Many historical comments and a clear style make the book very readable, so it can be recommended warmly to non-experts already at an undergraduate level and, because of its contents, to experts as well.” G.Kowol, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005

## Bài tập ôn tập HHKG (kì I, lớp 11)

Bài 1. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt thuộc $AB$$CA$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. $H$ là một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác $BCD$. Tìm giao điểm của $BC$$(ADH)$, $MN$$(BCD)$, $MN$$(ADH)$, $AH$$(DMN)$.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABC$. Trên các cạnh $AB,BC,SC$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $MN$$AC$ không song song.

1/. Tìm $Q=SA\cap (MNP)$. Suy ra thiết diện của hình chóp và $(MNP)$;

2/. Gọi $I=MP\cap NQ$. Chứng minh $I$ chạy trên một đường cố định khi $P$ di động trên $SC$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$$ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$, đáy nhỏ $CD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta SCD,\Delta SAB$.

1/. Tìm $(ABM)\cap (SCD)$, $(SAB)\cap (SCD)$, $(SMN)\cap (ABC)$.

2/. Chứng minh rằng $MN||(ABC)$.

3/. Cho $(SCD)\cap (AMB)$ cắt $SD,SC$ lần lượt tại $I,J$. Chứng minh rằng $IN||(ABC)$.

4/. Tìm $P=MC\cap (SAB)$$Q=AN\cap (SCD)$. Chứng minh rằng $S,P,Q$ thẳng hàng.

5/. Tìm thiết diện của hình chóp với $(INJ)$.

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$$\Delta SAB$ đều. Một điểm $M$ di động trên $BC$ với $BM=x$. Lấy $K$ trên $SA$ sao cho $AK=MB$.

1/. Chứng minh rằng $KM||(SDC)$.

2/. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và song song với $SA,SB$. Tính diện tích thiết diện.

3/. Tìm $x$ để $KN||(ABCD)$, với $N=(P)\cap SC.$

Bài 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng $(P)$ lần lượt cắt các cạnh $SA,SB,SC$ tại $A_1,B_1,C_1$. Gọi $O=AC\cap BD,I=A_1C_1\cap SO$.

1/. Tìm $(P)\cap SD=D_1$.

2/. Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}.$

Bài 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD||BC.$ Gọi $M$ là điểm di động bên trong đáy. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA,SB$ cắt $(SBC),(SAD)$ lần lượt tại $N,P$.

1/. Nêu cách dựng $N,P$.

2/. Chứng minh rằng $\dfrac{MN}{SA}+\dfrac{MP}{SB}$ không đổi.

3/. Tìm $M$ để $MN\cdot MP$ lớn nhất.