China National Olympiad 2011


Bài 1. Cho a_1,a_2,\ldots,a_n là các số thực. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i=1}^n a_i a_{i+1} \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor(M-m)^2, ở đây a_{n+1}=a_1,M=\max_{1\le i\le n} a_i,m=\min_{1\le i\le n} a_i.

Bài 2. Trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn ABC, D là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{BC}, gọi X là một điểm trên \stackrel{\frown}{BD}, E là điểm chính giữa của \stackrel{\frown}{AX}, S nằm trên  \stackrel{\frown}{AX}, đường thẳng SDBC giao nhau tại R, các đường thẳng SEAX giao nhau tại T. Nếu RT \parallel DE. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của tam giác ABC nằm trên RT.

Bài 3. Cho A là tập hữu hạn các số thực,A_1,A_2,\cdots,A_n là các tập con khác rỗng của A sao cho

(a) Tổng các phần tử của A bằng 0,

(b) Với mỗi x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n), ta có x_1+x_2+\cdots+x_n>0.

Chứng minh rằng tồn tại 1\le k\le n,1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n, sao cho |A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.

Bài 4. Cho n là một số nguyên dương, tập S=\{1,2,\cdots,n\}. Với mỗi hai tập khác rỗng AB, tìm giá trị bé nhất của |A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|, ở đây C=\{a+b|a\in A,b\in B\}, X\Delta Y=X\cup Y-X\cap Y.

Bài 5. Cho a_i,b_i,i=1,\cdots,n là các số thực không âm và n>3 sao cho a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0. Tìm giá trị lớn nhất của \dfrac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}.

Bài 6. Cho m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng có vô hạn cặp (a,b) các số nguyên dương sao cho a+b| am^a+bn^b\gcd(a,b)=1.

Download bản pdf

Đề thi chọn HSG QG năm 2011, ngày thứ hai


Bài 5. Cho dãy số nguyên (a_n)  xác định bởi a_0 =1, a_1=-1,a_n=6a_{n-1} + 5a_{n-2} với mọi n \geq 2. Chứng minh rằng a_{2012}-2010  chia hết cho 2011.

Bài 6. Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC, ACB là các góc nhọn. Xét 1 điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, C và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại D cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại E và F. Gọi M,N và P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng 4 điểm A, M, N, P cùng nằm trên 1 đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 7. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức P(x,y) = x^n + xy + y^n không thể viết dưới dạng P(x,y) = G(x,y)H(x,y). Trong đó G(x,y) và H(x,y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.

Phương trình và bất phương trình chứa căn-Phương pháp đặt ẩn phụ


Thật không may là không có cách chung nào để nhận biết đâu là ẩn phụ, nhưng đây là một kinh nghiệm quý báu:

Nếu thấy một biểu thức xuất hiện nhiều hơn một lần, hãy thử đặt nó bằng một biến mới cho gọn!

Bài 1. Giải các phương trình

a)\sqrt{3+x}+\sqrt{5-x}=4;

b)\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1.

Bài 2. Giải các bất phương trình

a)x(x-4)\sqrt{-x^2+4x}+(x-2)^2<2;

b)2x^2+\sqrt{x^2-5x-6}>10x+15.

Bài 3. Giải các phương trình và bất phương trình

a)4\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}<2x+\dfrac{1}{2x}+2;

b)\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=5.

Bài 4. Giải phương trình

x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}.

Bài 5. Giải các phương trình

a)10\sqrt{x^3+8}=3(x^2-x+6);

b)\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1;

c)\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=2.

Bài 6. Giải các phương trình

a)\sqrt[3]{x-9}=(x-3)^3+6;

b)\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6;

c)\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt{x(x-1)}-2\sqrt[4]{x(x-1)}=-1.

Bài 7. Giải bất phương trình

x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}>\dfrac{35}{12}.

Bài 8. Giải bất phương trình

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}+x+x^2+x^3\leq 6.

Bài 9. Giải bất phương trình

\sqrt{x-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{x+1}{4}<\sqrt{2x-1+\dfrac{(x+1)^2}{8}}.

Bài 10. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x}=1;

Đáp số: x=1.

b)\dfrac{(34-x)\sqrt[3]{x+1}-(x+1)\sqrt[3]{34-x}}{\sqrt[3]{34-x}-\sqrt[3]{x+1}}=30;

Đáp số: x=26.

c)\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1-x)^3}-\sqrt{(1+x)^3}]=2+\sqrt{1-x^2};

Đáp số: x=-\sqrt{2}/2.

d)\sqrt{x^2+3}+\sqrt{10-x^2}=5;

Đáp số: \pm 1;\pm\sqrt{6}.

e)\sqrt{x}+\sqrt[4]{x(1-x)^2}+\sqrt[4]{(1-x)^3}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{x^2(1-x)};

Đáp số: 0,1,1/2.

f)\sqrt[4]{5-x}+\sqrt[4]{x-1}=\sqrt{2};

Đáp số: 5,1.

g)\dfrac{\sqrt[3]{7-x}-\sqrt[3]{x-5}}{\sqrt[3]{7-x}+\sqrt[3]{x-5}}=6-x;

Đáp số: 5,6,7.

h)\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=3;

Đáp số: -1,8.

i)x^3-3\sqrt[3]{3x+2}=2;

Đáp số: -1,2.

j)5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}<2x+\dfrac{1}{2x}+4;

Đáp số: x>3/2+\sqrt{2},0<x<3/2-\sqrt{2}.

k)\sqrt{5x^2+10x+1}\geq 7-x^2-2x;

Đáp số: x\leq -3,x\geq 1.