Month: January 2011

Useful Lemmas on Real Polynomials, Part I


Trong giải tích và đại số, các đa thức với hệ số thực đóng vai trò nền tảng và xuất hiện thường xuyên trong nhiều bài toán từ cơ bản đến chuyên sâu. Việc hiểu rõ sự biến thiên, tồn tại cực trị, hay đánh giá giới hạn của hàm đa thức là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán khó.

Bài này được biên soạn nhằm cung cấp và hệ thống hóa các tính chất giải tích quan trọng của hàm đa thức thông qua các bổ đề trọng tâm. Các kết quả trong tài liệu tập trung khai thác hành vi của đa thức ở vô cực dựa trên tính chẵn, lẻ của bậc và dấu của hệ số cao nhất. Cụ thể, tài liệu đi sâu vào các vấn đề:


(1) Sự tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức.
(2) Bậc và giới hạn của đa thức sai phân.
(3) Hành vi của đa thức trên các khoảng ở xa gốc tọa độ.
(4) Đánh giá, chặn sự tăng trưởng của đa thức thông qua lũy thừa bậc cao nhất.
(5) Tính chất kẹp của đa thức bậc chẵn.


Đây là những công cụ nền tảng, được chứng minh một cách chặt chẽ dựa trên các định lý về giới hạn và hàm liên tục. Hy vọng tập tài liệu này sẽ là nguồn tham khảo hữu ích, giúp bạn đọc nắm vững các kỹ thuật xử lý đa thức để áp dụng vào các bài toán giải tích, phương trình hàm và bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán.

Bạn đọc nên xem lại bài sau để theo dõi cho dễ dàng https://nttuan.org/2007/10/26/poly01/

Bổ đề 1. Cho P(x) là một đa thức khác đa thức hằng với hệ số thực. Nếu bậc của đa thức là lẻ thì hàm số đa thức P(x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên tập số thực.

Chứng minh. Giả sử đa thức có dạng P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, trong đó a_n \neq 0 và n là một số nguyên dương lẻ.

Với mọi x \neq 0, ta có

P(x) = x^n \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_1}{x^{n-1}} + \frac{a_0}{x^n} \right).

Khi x tiến tới dương vô cực hoặc âm vô cực, phần trong ngoặc có giới hạn là

\lim_{x\to \pm\infty} \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_1}{x^{n-1}} + \frac{a_0}{x^n} \right) = a_n.

Mặt khác, vì bậc n là một số lẻ nên

\lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty và \lim_{x\to -\infty} x^n = -\infty.

Suy ra nếu a_n > 0, theo quy tắc nhân giới hạn, ta có \lim_{x\to +\infty} P(x) = +\infty và \lim_{x\to -\infty} P(x) = -\infty; nếu a_n < 0, theo quy tắc nhân giới hạn, ta có \lim_{x\to +\infty} P(x) = -\infty và \lim_{x\to -\infty} P(x) = +\infty.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy giới hạn của hàm số P(x) ở hai đầu vô cực luôn là dương vô cực và âm vô cực. Điều này có nghĩa là khi x thay đổi trên toàn bộ trục số thực, hàm số P(x) có thể nhận những giá trị lớn tùy ý và những giá trị nhỏ âm tùy ý.

Do tập giá trị của hàm số không bị chặn trên nên P(x) không thể có giá trị lớn nhất trên tập số thực. Tương tự, do tập giá trị không bị chặn dưới nên P(x) cũng không thể có giá trị nhỏ nhất trên tập số thực. \Box

Bổ đề 2. Cho P(x) là một đa thức khác đa thức hằng với hệ số thực. Nếu bậc của đa thức là chẵn thì hàm số đa thức P(x) có giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập số thực, nhưng không thể có cả hai.

Chứng minh. Giả sử đa thức có dạng P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, trong đó a_n \neq 0 và n là một số nguyên dương chẵn.

Với mọi x \neq 0, ta có thể viết lại đa thức dưới dạng

P(x) = x^n \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_1}{x^{n-1}} + \frac{a_0}{x^n} \right).

Khi x tiến tới dương vô cực hoặc âm vô cực, biểu thức trong ngoặc có giới hạn bằng a_n. Mặt khác, vì n là một số nguyên chẵn nên giới hạn của x^n khi x tiến về hai đầu vô cực luôn là dương vô cực:

\lim_{x\to \pm\infty} x^n = +\infty.

Từ đây, ta xét hai trường hợp dựa vào dấu của hệ số bậc cao nhất a_n.

Trường hợp 1: a_n > 0.

Theo quy tắc nhân giới hạn, ta có \lim_{x\to \pm\infty} P(x) = +\infty. Điều này chứng tỏ tập giá trị của hàm số P(x) không bị chặn trên, do đó hàm số không thể có giá trị lớn nhất trên tập số thực. Tiếp theo, ta chứng minh hàm số có giá trị nhỏ nhất. Vì giới hạn của P(x) ở hai đầu vô cực là dương vô cực, nên theo định nghĩa giới hạn, tồn tại một số thực dương M đủ lớn sao cho với mọi x thỏa mãn |x| > M, ta đều có P(x) \ge P(0). Xét trên đoạn [-M, M], do P(x) là một hàm số liên tục trên một đoạn đóng và bị chặn, theo định lý Weierstrass, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm x_0 thuộc đoạn [-M, M]. Khi đó, P(x) \ge P(x_0) với mọi x \in [-M, M]. Đặc biệt, vì điểm 0 nằm trong đoạn [-M, M] nên P(0) \ge P(x_0). Kết hợp lại, với các điểm x nằm ngoài đoạn [-M, M] (tức là |x| > M), ta có P(x) \ge P(0) \ge P(x_0). Như vậy, với mọi số thực x, ta luôn có P(x) \ge P(x_0), tức là hàm số có giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ trục số thực.

Trường hợp 2: a_n <0.

Theo quy tắc nhân giới hạn, ta có \lim_{x\to \pm\infty} P(x) = -\infty. Hoàn toàn tương tự, tập giá trị của hàm số không bị chặn dưới nên P(x) không có giá trị nhỏ nhất. Bằng cách xét giới hạn tiến về vô cực, tồn tại số thực dương K sao cho với mọi |x| > K thì P(x) \le P(0). Hàm đa thức P(x) liên tục trên đoạn [-K, K] nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại một điểm x_1 \in [-K, K]. Lập luận tương tự như trên cho thấy P(x) \le P(x_1) với mọi số thực x, nghĩa là hàm số có giá trị lớn nhất trên toàn bộ trục số thực.

Tóm lại, nếu a_n > 0 thì đa thức có giá trị nhỏ nhất nhưng không có giá trị lớn nhất; nếu a_n < 0 thì đa thức có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất. \Box

Bổ đề 3. Cho P(x) là một đa thức với hệ số thực có bậc n lớn hơn 1. Khi đó với mỗi số thực c khác 0, đa thức P(x+c)-P(x) có bậc n-1. Nói riêng, với mỗi số thực c khác 0, ta có

\lim_{x\to \pm\infty}|P(x+c)-P(x)|=+\infty.

Chứng minh. Giả sử P(x) có dạng

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,

trong đó a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 là các số thực và a_n \neq 0.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có

(x+c)^n = x^n + n c x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} c^2 x^{n-2} + \dots + c^n

và

(x+c)^{n-1} = x^{n-1} + (n-1) c x^{n-2} + \dots + c^{n-1}.

Suy ra

P(x+c) = a_n(x^n + n c x^{n-1} + \dots) + a_{n-1}(x^{n-1} + \dots) + \dots + a_0 = a_n x^n + (a_n n c + a_{n-1}) x^{n-1} + R(x),

trong đó R(x) là một đa thức có bậc không vượt quá n-2.

Từ đó, xét hiệu của hai đa thức, ta có

P(x+c) - P(x) = \left[ a_n x^n + (a_n n c + a_{n-1}) x^{n-1} + R(x) \right] - \left[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \right] = a_n n c x^{n-1} + S(x),

với S(x) là một đa thức có bậc không vượt quá n-2.

Do a_n \neq 0, n > 1 và c \neq 0, ta suy ra hệ số của x^{n-1} là a_n n c \neq 0. Điều này chứng tỏ đa thức Q(x) = P(x+c) - P(x) có bậc chính xác bằng n-1.

Mặt khác, vì n > 1 nên n-1 \ge 1. Đa thức Q(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Theo tính chất giới hạn của đa thức, giới hạn của trị tuyệt đối của một đa thức có bậc từ 1 trở lên khi x tiến tới dương vô cực hay âm vô cực luôn bằng dương vô cực. Do đó

\lim_{x\to \pm\infty}|P(x+c)-P(x)|=+\infty.

Bổ đề được chứng minh hoàn toàn. \Box