Bài tập Đại số và Hình học (Ôn tập tháng 12)


Bài 1. Cho tam giác ABC với ba đỉnh A(2;5),B(4;-3)C(-1;6).

a) Xác định toạ độ điểm I sao cho \overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0};

b) Xác định toạ độ của điểm D sao cho 3\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0};

c) Chứng minh A,B,C không thẳng hàng và A,I,D thẳng hàng;

d) Gọi E là trung điểm của ABN là điểm sao cho \overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}. Tìm k để AD,EN,BC đồng quy;

e) Tìm tập các điểm M trong mặt phẳng sao cho

|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|.

Bài 2. Cho tam giác ABC có toạ độ ba đỉnh là A(0;6),B(-2;0),C(2;0). Gọi G là trọng tâm của tam giác ACM, trong đó M là trung điểm của AB.

a) Tìm toạ độ của G;

b) Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

c) Chứng minh GI vuông góc với CM.

Bài 3. Cho tam giác ABC với A(0;-4),B(-5;6),C(3;2).

a) Tìm toạ độ chân đường cao hạ từ A của tam giác;

b) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác;

c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác;

d) Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong và ngoài của góc A;

e) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

Bài 4. a) Cho hai điểm A(-3;2),B(4;3). Tìm M trên trục hoành để tam giác MAB vuông tại M;

b) Cho tam giác ABC với A(1;-1),B(5;-3) và đỉnh C trên Oy. Ngoài ra trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên Ox. Tìm toạ độ đỉnh C và trọng tâm G.

Bài 5. Cho bốn điểm A(-1;3),B(0;4),C(3;5)D(8;0). Chứng minh rằng bốn điểm này nằm trên một đường tròn.

Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số

a) y=\dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^2}}; b) y=\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x};

c) y=\sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1}}; d) y=\sqrt{1-x}-\dfrac{1}{x\sqrt{1+x}};

e) y=\sqrt{x^2+3x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}; f) y=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}};

g) y=\sqrt{1-2|x|}; h) y=\dfrac{3x-1}{\sqrt{x|x|-4}}.

Bài 7. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau xác định với mỗi x>0

a)     y=\sqrt{x+m}-\sqrt{2x-m+1}; b) y=\sqrt{2x-3m+4}-\dfrac{x-m}{x+m-1}.

Bài 8. Tìm m để hàm số sau xác định trên khoảng (-1;0)

y=\dfrac{1}{\sqrt{x+m}}-\sqrt{-x-2m+6}.

Bài 9. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y=\dfrac{x^2|x-1|}{\sqrt{(x-1)^2}}; b) y=\dfrac{|x-1|-|x+1|}{|x-1|+|x+1|};

c) y=x\sqrt{x^2}; d) y=\sqrt{x^2-6x+9}+|x+3|; e) y=x^2-3x+2.

Bài 10. Cho hàm số f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} xác định trên \mathbb{R}. Tính f(f(x)),f(f(f(x)))f(f(\cdots (f(x))\cdots)) (n chữ f).

Bài 11. Cho hàm số y=ax^2+bx+c với a\not =0.

a) Biết đồ thị (P) của hàm số đã cho có đỉnh S(1;4) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm a,b,c;

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thì của hàm số ở câu a);

c) Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị của các hàm số y=-x^2+2|x|+3y=|-x^2+2|x|+3|;

d) Bằng đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình |-x^2+2|x|+3|=m-1 theo m.

Test 7


Bài 1. (4 điểm)

Cho dãy (u_n) xác định bởi u_1=2,u_2=3u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng dãy (v_n) xác định bởi v_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{u_i}\,\, (n=1,2,\cdots) là dãy hội tụ.

Bài 2. (4 điểm)

Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ nằm bên trong nó. Gọi A_1,B_1,C_1 là hình chiếu của M lên BC,CA,AB tương ứng. Chứng minh rằng \cot\widehat{AA_1B}+\cot\widehat{BB_1C}+\cot\widehat{CC_1A}=0.

Bài 3. (4 điểm)

Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng xyz=x+y+z+2 khi và chỉ khi có các số thực dương a,b,c thoả mãn x=\dfrac{b+c}{a},y=\dfrac{c+a}{b},z=\dfrac{a+b}{c}.

Bài 4. (4 điểm)

Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu R_n là số tự nhiên có n chữ số và các chữ số này đều bằng 1. Chứng minh rằng

a) 41|R_n khi và chỉ khi 5|n;

b) 91|R_n khi và chỉ khi 6|n.

Bài 5. (4 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB, D là một điểm nằm trên đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại AD cắt nhau ở C. Gọi E là hình chiếu của D trên AB, gọi I là giao điểm của BCDE. Chứng minh rằng DI=IE.

Hệ bậc nhất hai ẩn


Bài 1. Cho hệ phương trình

6ax+(2-a)y=3,\,\,\,\, (a-1)x-ay=2.

1) Giải và biện luận hệ trên;

2) Gọi (x_0;y_0) là một nghiệm của hệ trên. Tìm liên hệ giữa x_0,y_0 không phụ thuộc a.

Bài 2. Cho hệ phương trình

mx+4y=m^2+4,\,\,\,\, x+(m+3)y=2m+3.

Tìm m để hệ có nghiệm (x_0;y_0) thoả mãn x_0\geq y_0.

Bài 3. Cho hệ phương trình

ax+y=b,\,\,\,\,\,\,x+ay=c^2+c.

1) Với c=1, hãy giải và biện luận hệ trên;

2) Tìm b để với mọi a ta luôn tìm được c để hệ có nghiệm;

3) Tìm b để tồn tại c sao cho hệ có nghiệm với mọi a.

Bài 4. Biết hệ phương trình

ax+by=c,bx+cy=a,cx+ay=b

có nghiệm. Chứng minh a^3+b^3+c^3=3abc.

Bài 5. Cho hệ phương trình

x+my=3m,\,\,\,\, mx+y=2m+1.

1) Giải và biện luận hệ trên;

2) Tìm m\in\mathbb{Z} để hệ trên có nghiệm (x_0,y_0) với x_0,y_0 là các số nguyên.

Bài 6. Tìm b để với mỗi a hệ phương trình

x+2ay=b,\,\,\,\, ax+(1-a)y=b^2

có nghiệm.

Bài 7. Cho hệ phương trình

(a-1)x+y=a+1,\,\,\,\, x-ay=a+3.

Tìm tất cả a\in\mathbb{Q} để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x là số nguyên.

Bài 8. Cho hệ phương trình

(m+1)x+8y=4m,\,\,\,\,\, mx+(m+3)y=3m-1.

1) Tìm m để hệ có nghiệm (x_0,y_0) với x_0,y_0 là các số nguyên;

2) Gọi (x_0;y_0) là một nghiệm của hệ trên. Tìm liên hệ giữa x_0,y_0 không phụ thuộc m;

3) Khi hệ có nghiệm duy nhất (x_0;y_0). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x_0^2+y_0^2.

Bài 9. Tìm m để hệ

x+my=3,\,\,\,\,mx+4y=6

có nghiệm duy nhất (x_0;y_0) thoả mãn x_0>1,y_0>2.

Bài 10. Tìm điều kiện của tham số để các hệ sau vô nghiệm

1) 2m^2x+3(m-1)y=3,\,\,\, m(x+y)-2y=2;

2) ax+by=a+b,\,\,\,\, bx+ay=a-b.

Bài 11. Tìm a để hệ sau có nghiệm (x;y) thoả mãn x^2+y^2 bé nhất x-2y=4-a,\,\,\,\, 2x+y=3a+3.

Bài 12. Tìm a để hệ sau có nghiệm (x;y) thoả mãn xy lớn nhất

2x+y=5,\,\,\,\, 2y-x=10a+5.

Bài 13. Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình

ax+y=2,\,\,\,\, 6x+by=4 vô nghiệm.

Bài 14. Tìm a để hệ ax+(a-1)y=2+4a,\,\,\,\, 3|x|+2y=a-5

có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó.

Bài 15. Cho hệ phương trình kx-y=2,\,\,\,\, x+ky=3.

1) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mỗi k;

2) Tìm k để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x>0;y>0;

3) Tìm k để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x=2y.

Bài 16. Cho a là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(x-2y+1)^2+(2x+ay+5)^2.

Test 6


Bài 1. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABCAB=c,BC=a,CA=b. Đặt

\overrightarrow{u}=(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC})\overrightarrow{CA}+(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA})\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB})\overrightarrow{BC}.

Chứng minh rằng

a) \overrightarrow{u}=-abc\left(\cos B\dfrac{\overrightarrow{CA}}{b}+\cos C\dfrac{\overrightarrow{AB}}{c}+\cos A\dfrac{\overrightarrow{BC}}{a}\right);

b) \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 2. (3 điểm)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) b^2-c^2=a(b\cos C-c\cos B);

b) (b^2-c^2)\cos A=a(c\cos C-b\cos B);

c) \sin C=\sin A\cos B+\sin B\cos A.

Bài 3. (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật thì \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} có giá trị không đổi.

Bài 4. (1,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD và các điểm E,F thoả mãn \overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}. Giả sử AE cắt BF tại I. Chứng minh rằng \widehat{AIC}=90^0.

Test 5


Bài 1. (3 điểm)

Cho số thực a và dãy (u_n) xác định bởi u_n=\dfrac{an^2+1}{2n^2+3},n=1,2,\cdots.

a) Tìm a để dãy số giảm;

b) Tìm a để dãy số tăng.

Bài 2. (3 điểm)

Cho dãy số (v_n) xác định bởi v_1=1,v_{n+1}=-\dfrac{3}{2}v_n^2+\dfrac{5}{2}v_n+1\,\forall n\geq 1.

a) Tính v_2,v_3,v_4;

b) Chứng minh rằng v_n=v_{n+3}\,\forall n\geq 1.

Bài 3. (3 điểm)

Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó biết tổng của chúng bằng 13.

Bài 4. (Lý thuyết số, 4 điểm)

Cho p là một số nguyên tố lẻ có dạng 3k+2.

a) Chứng minh rằng \{k^3-1|k=0,1,\cdots,p-1\} là một hệ thặng dư đầy đủ mô đun p;

b) Tìm dư khi chia \prod_{k=1}^{p-1}(k^2+k+1) cho p.

Bài 5. (Hình học, 4 điểm)

Trong tứ giác ACGE, H là giao của AGCE, các đường thẳng AECG cắt nhau tại I, các đường thẳng ACEG cắt nhau tại D. Gọi B là giao điểm của IHAC. Chứng minh rằng \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}.

Bài 6. (Hình học, 3 điểm)

Chứng minh rằng nếu O,G,I tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC thì IO\geq OG.