Kỳ thi Olimpic Toán Hà Nội mở rộng lần thứ 8 năm 2011


Nhằm giúp học sinh trung học phổ thông say mê học toán và làm quen, hội nhập khu vực quốc tế về mặt toán học, hàng năm Hội Toán học Hà Nội tổ chức kỳ thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng (HOMO) giải toán bằng tiếng Anh, bắt đầu từ năm 2004 đến nay. Cuộc thi nhận được sự hưởng ứng tích cực của Hà Nội và các tỉnh, ngày càng phát triển.
Kỳ thi HOMO lần thứ 8 năm 2011 đã được tổ chức vào Chủ nhật 20/02/2011 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. 16 tỉnh, thành phố có học sinh đăng ký tham gia HOMO đã về dự đầy đủ. Các tỉnh dù xa xôi như Lào Cai, Hà Giang, Điện Biên… cũng không vắng mặt một em nào. Thí sinh tham dự kỳ thi năm nay có 194 em gồm 102 thí sinh lứa tuổi Junior (lớp 8 THCS) và 92 thí sinh tuổi Senior (lớp10 THPT). Thí sinh các tỉnh tham gia dự thi ở đội tuyển Senior là chủ yếu, mỗi đội tuyển 5 em. Các tỉnh có cả hai đội tuyển Junior và Senior gồm Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Thái Bình, Hưng Yên và Hà Nội. Đông thí sinh nhất vẫn là Hà Nội (83 thí sinh Junior và 20 thí sinh Senior). Năm nay có hai tỉnh lần đầu tiên tham gia là Hưng Yên và Điện Biên.

Continue reading “Kỳ thi Olimpic Toán Hà Nội mở rộng lần thứ 8 năm 2011”

cos A, cos B và cos C


Ở bài viết này tôi sẽ ghi lại một vài bài toán liên quan đến cosin của ba góc trong một tam giác. Hai kết quả thường dùng ở bài viết này là

Kết quả 1. Trong mỗi tam giác ABC ta có

\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1.\,\,\,\,\, (1)

Ngược lại, nếu x,yz là các số thực dương thỏa mãn

x^2+y^2+z^2+2xyz=1\,\,\,\, (2)

thì có tam giác nhọn ABC thỏa mãn x=\cos A,y=\cos Bz=\cos C.

Kết quả 2. Trong mỗi tam giác ABC ta có

x^2+y^2+z^2\geq 2xy\cos A+2yz\cos B+2zx\cos C\,\,\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \dfrac{z}{a}=\dfrac{x}{b}=\dfrac{y}{c}.

Continue reading “cos A, cos B và cos C”

Tổ hợp


Định nghĩa. Cho một tập An phần tử(n\in\mathbb{N}) và 0\leq k\leq n là một số nguyên. Một k-tổ hợp(một tổ hợp chập k) của A là một tập con k phần tử của A.

Ví dụ 4.1. Các 3-tổ hợp của A=\{a,b,c,d\}\{a,b,c\},\{b,c,d\},\{c,d,a\},\{d,a,b\}\Box.

Số tổ hợp. Cho một tập An phần tử(n\in\mathbb{N}) và 0\leq k\leq n là một số nguyên. Khi đó số k-tổ hợp của A bằng C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Chứng minh. Sự khác nhau giữa một k-tổ hợp và một k-hoán vị chính là một đằng không quan tâm đến thứ tự, trong khi đằng kia có quan tâm đến thứ tự. Tận dụng điều này ta có chứng minh như sau.

Continue reading “Tổ hợp”