Đề thi vào lớp Kĩ sư tài năng và lớp Chất lượng cao, Đại học Bách khoa Hà Nội


Thầy tìm được mấy đề này, lớp mình đứa nào sau này thi BK thì lấy về mà xem.

1-Đề Toán từ  năm 1999 đến 2007

Download

2-Đề Lý từ năm 2004 đến 2008

Download

Bài tập về Hệ số nhị thức


Download

Lớp trưởng lấy về và chụp cho các bạn mỗi người một bản. Hưng không phải đi chụp nữa, việc này để Tuấn làm, em chỉ cần cho bạn Tuấn mượn bản in là đủ. Tuấn nên lập một quỹ dành cho việc chụp tài liệu, có nhiều môn cần phải chụp tài liệu chứ không riêng môn Toán. Lần sau những việc như thế này lớp trưởng phải chủ động nghĩ và làm, thầy không nói nhiều nữa.

USA TST 2010


1. Cho P là một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn P(0)=0

\gcd(P(0), P(1), P(2), \ldots, ) = 1. Chứng minh rằng có vô hạn n sao cho

\gcd(P(n)- P(0), P(n+1)-P(1), P(n+2)-P(2), \ldots) = n.

2. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng

\dfrac{1}{a^5(b+2c)^2} + \dfrac{1}{b^5(c+2a)^2} + \dfrac{1}{c^5(a+2b)^2} \ge \dfrac{1}{3}.

3. Cho h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao của tam giác ABC hạ từ A, B, C tương ứng. Cho P là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng \dfrac{PA}{h_b+h_c} + \dfrac{PB}{h_a+h_c} + \dfrac{PC}{h_a+h_b} \ge 1.

4. Cho tam giác ABC. Các điểm MN nằm trên cạnh ACBC tương ứng sao cho MN || AB. Các điểm PQ nằm trên các cạnh ABCB tương ứng sao cho PQ || AC. Đường tròn nội tiếp của tam giác CMN tiếp xúc với đoạn AC tại E. Đường tròn nội tiếp của tam giác BPQ tiếp xúc với cạnh AB tại F. Các đường thẳng ENAB cắt nhau tại R, và các đường thẳng FQAC cắt nhau tại S. Biết AE = AF, chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AEF nằm trên đường tròn nội tiếp của tam giác ARS.

5. Xác định dãy a_1, a_2, a_3, \ldots bởi a_1 = 1 và với n > 1,

a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + \ldots + a_{\lfloor n/n \rfloor} + 1. Chứng minh rằng có vô hạn n sao cho a_n \equiv n \pmod{2^{2010}}.

6. Cho T là một tập hữu hạn các số nguyên dương lớn hơn 1. Một tập con S của T được gọi là tốt nếu với mỗi t \in T tồn tại s \in S thoả mãn \gcd(s, t) > 1. Chứng minh rằng số các tập con tốt của T là số lẻ.

7. Trong tam giác ABC, cho PQ là hai điểm bên trong tam giác sao cho \angle ABP = \angle QBC\angle ACP = \angle QCB. Điểm D nằm trên đoạn BC. Chứng minh rằng \angle APB + \angle DPC = 180^\circ khi và chỉ khi \angle AQC + \angle DQB = 180^\circ.

8. Cho m,n là các số nguyên dương thoả mãn m \geq n, và cho S là tập các bộ (a_1, a_2, \ldots a_n) các số nguyên dương thoả mãn a_1 + a_2 + \cdots + a_n = m. Chứng minh rằng

\sum_S 1^{a_1} 2^{a_2} \cdots n^{a_n}

=C_n^{n}n^m -C_{n}^{n-1}(n-1)^m + \cdots +(-1)^{n-2}C_n^22^m + (-1)^{n-1}C_n^1.

9. Xác định xem liệu có tồn tại số nguyên dương k sao cho p = 6k+1 là số nguyên tố và C_{3k}^k\equiv 1\pmod{p}.