Đề thi chọn học sinh giỏi Toán vòng 1


Bài 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình sau trên \mathbb{R}

\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases}

Bài 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy (x_n)_{n\geq 0} xác định bởi x_0=ax_{n+1}=\dfrac{1}{4}+x_n-x_n^2\,\,\,\forall n\in\mathbb{N} có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy này trong các trường hợp đó.

Bài 3. (5 điểm)

Cho ABCD là một tứ giác lồi có T là giao điểm của hai đường chéo. Giả sử trực tâm của tam giác ABT trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác CDT. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp;

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Bài 4. (3 điểm)

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn xP(x-1)=(x-17)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 5. (3 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

a) n có đúng 16 ước dương;

b) Nếu kí hiệu các ước dương của n1=d_1<d_2<\cdots<d_{16}=n thì d_6=18d_9-d_8=17.

Kiểm tra Đại số lớp 10 C_1


Đề thi gồm có 5 bài. Thời gian làm bài là 45 phút. Học sinh không được sử dụng tài liệu.

Bài 1.

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau:

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng với nhau;

b) Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân;

c) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A vuông góc với BC.

Bài 2.

Cho các số thực dương a_1,a_2,\cdots, a_n (n>1)atrung bình nhân của chúng, a=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}. Chứng minh bằng phản chứng rằng: Trong các số a_1,a_2,\cdots, a_n có ít nhất một số không bé hơn a.

Bài 3.

Chứng minh rằng (A-B)-C=(A-C)-(B-C), ở đây A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{2,4,7,8,9\}C=\{1,3,8,9,13,14\}.

Bài 4.

Cho A=(-\infty;3),B=[4;+\infty)C=[-3;5). Tìm C\cap (A\cup B).

Bài 5.

Chứng tỏ rằng hai mệnh đề sau là các mệnh đề sai:

a) Với mọi tập A,B,C, ta có (A-B)\cup (B-C)=A-C;

b) Với mọi tập A,B,C, ta có A-(B-C)=(A-B)-C.

Sách Lý thuyết số của David A. Santos


Hôm trước thầy có nói về sách đọc cùng với bài giảng trên lớp về Lý thuyết số. Bài tập trên lớp thì nhiều nhưng không khó và rất cơ bản. Nếu các em đã làm hết bài tập trên lớp thì các em có thể lấy sách của Santos về và đọc, các bài tập trong này mang màu sắc Olympic hơn. Cuốn đó thầy đã upload ở đây https://trungtuan.wordpress.com/2010/06/02/topic-97/ (cuốn số 16) . Trong topic này các em có thể thảo luận về cuốn sách đó, chỗ nào không hiểu cứ hỏi, đừng ngại.

Lý thuyết số 07/09/2010


Các em học sinh lớp Toán download về và làm nhé! Có 3 file tất cả.

File đầu là một bài viết ngắn về lịch sử Lý thuyết số, nếu các em có thể dịch được đoạn này thì tốt, phía cuối có một vài bài tập hay mà các em phải giải. File thứ hai là bài tập về phép chia trong tập các số nguyên. File cuối cùng là bài tập về ước chung lớn nhất. Những bài tập này không khó nhưng rất cơ bản.

Một vài chứng minh của định lý Steiner-Lehmus


Hôm trước trên các lớp C1 và T có gặp bài toán:

Kiểm tra mệnh đề sau đúng hay sai “Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì nó là tam giác cân”. Sau đó tôi có hỏi là thay hai đường cao bằng hai phân giác trong, trung tuyến,… thì sao? Chỉ có câu hỏi liên quan đến phân giác trong là khó. Câu trả lời là khẳng định, nếu một tam giác có hai phân giác trong bằng nhau thì nó là tam giác cân. Đây là nội dung của định lý Steiner-Lehmus, có khoảng 80 chứng minh cho kết quả này, nhưng không có phép chứng minh “trực tiếp”.

Trong post này tôi sẽ giới thiệu một vài chứng minh và một ít tài liệu tham khảo để các bạn quan tâm có điều kiện tìm hiểu thêm về định lý này.

Chứng minh Lượng giác

Những chứng minh này chỉ dùng định lý sin, và một chút kiến thức về các hàm lượng giác.

Hajja, Chau, Gal và Sandor

Chứng minh Hình học

Tất cả các chứng minh dưới đây các học sinh lớp 9 đều có thể hiểu được.

Yiu, Khitan, Cooke, và một cách chứng minh trong Geometry Revisited (tìm  ở mục “Sách” trên blog).

—–

Nếu có gì thắc mắc các bạn có thể post một comment ngay trong topic này. Chúc các bạn học sinh một năm học có nhiều thành công.