IMO Shortlist 2008

Đại số

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ (tức là $f$ là một hàm từ tập các số thực dương) thỏa mãn

$\displaystyle\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx=yz$ .

Bài 2. (a) Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\ge1$ với mọi số thực $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .
(b) Chứng minh rằng đẳng thức trên xảy ra với vô số bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .

Bài 3. Cho $S\subseteq\mathbb{R}$ là một tập hợp các số thực. Ta nói rằng một cặp hàm số $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một “Cặp đôi Tây Ban Nha” (Spanish Couple) trên $S$ , nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm số đều tăng ngặt, tức là $f(x)<f(y)$ và $g(x)<g(y)$ với mọi $x, y\in S$ mà $x<y$ ;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x)))<g(f(x))$ đúng với mọi $x\in S$ .
Hãy xác định xem có tồn tại một Cặp đôi Tây Ban Nha trên tập $S=\mathbb{N}$ các số nguyên dương hay không; và trên tập $S={a-\frac{1}{b}:a,b\in\mathbb{N}}$ .

Bài 4. Với một số nguyên $m$ , gọi $t(m)$ là số duy nhất thuộc ${1,2,3}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Một hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ và $f(2^{n}+m)=f(2^{n}-t(m))-f(m)$ với mọi số nguyên $m, n\ge0$ sao cho $2^{n}>m$ . Chứng minh rằng $f(3p)\ge0$ đúng với mọi số nguyên $p\ge0$ .

Bài 5. Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ . Chứng minh rằng $a+b+c+d<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$ .

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $f(x+\frac{1}{f(y)})=f(y+\frac{1}{f(x)})$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$ .

Bài 7. Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a, b, c, d$ bất kỳ, bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge0$

luôn đúng. Xác định tất cả các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

Tổ hợp

Bài 1. Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu chúng có một điểm chung ở phần trong hoặc trên biên. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}$ ,…, $B_{n}$ thỏa mãn $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i\not\equiv j\pm1 \pmod n$ .

Bài 2. Cho $n\in\mathbb{N}$ và $A_{n}$ là tập hợp tất cả các hoán vị $(a_{1},...,a_{n})$ của tập ${1,2,...,n}$ sao cho $k\mid 2(a_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})$ với mọi $1\le k\le n$ . Tìm số phần tử của tập $A_{n}$ .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với một số nguyên dương $k$ , hai điểm phân biệt $A, B\in S$ được gọi là $k$ -bạn bè nếu tồn tại một điểm $C\in S$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $k$ . Một tập $T\subset S$ được gọi là $k$ -clique nếu cứ hai điểm bất kỳ trong $T$ đều là $k$ -bạn bè. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$ -clique có nhiều hơn 200 phần tử.

Bài 4. Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k\ge n$ và $k-n$ là một số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số từ 1 đến $2n$ , mỗi bóng có thể ở trạng thái bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt. Ta xét các dãy bước thực hiện: tại mỗi bước, một trong các bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số lượng các dãy như vậy gồm $k$ bước và dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, còn các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số lượng các dãy gồm $k$ bước dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng không có bóng đèn nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật lên. Xác định tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 5. Cho $S={x_{1},x_{2},...,x_{k+l}}$ là một tập hợp gồm $k+l$ số thực nằm trong đoạn $[0, 1]$ ; $k$ và $l$ là các số nguyên dương. Một tập con $A\subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là “đẹp” nếu

$\displaystyle \left|\frac{1}{k}\sum_{x_{i}\in A}x_{i}-\frac{1}{l}\sum_{x_{j}\in S\backslash A}x_{j}\right|\le\frac{k+l}{2kl}.$

Chứng minh rằng số lượng các tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+l}\binom{k+l}{k}$ .

Bài 6. Với $n\ge2$ , cho $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A={1,2,3,...,2^{n+1}}$ thỏa mãn tính chất sau. Không tồn tại các chỉ số $a$ và $b$ với $a<b$ và các phần tử $x,y,z\in A$ với $x<y<z$ sao cho $y,z\in S_{a}$ và $x,z\in S_{b}$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong các tập $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ chứa không quá $4n$ phần tử.

Hình học

Bài 1. Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$ . Đường tròn $\Gamma_{A}$ có tâm là trung điểm của $BC$ và đi qua $H$ cắt đường thẳng $BC$ tại các điểm $A_{1}$ và $A_{2}$ . Tương tự, định nghĩa các điểm $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{1}$ và $C_{2}$ . Chứng minh rằng sáu điểm $A_{1}$ , $A_{2}$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{1}$ và $C_{2}$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2. Cho hình thang $ABCD$ có các cạnh song song $AB$ và $CD$ , giả sử tồn tại điểm $E$ trên đường thẳng $BC$ nhưng nằm ngoài đoạn $BC$ , và điểm $F$ nằm trong đoạn $AD$ sao cho $\angle DAE=\angle CBF$ . Gọi $I$ là giao điểm của $CD$ và $EF$ , và $J$ là giao điểm của $AB$ và $EF$ . Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $EF$ , giả sử nó không nằm trên đường thẳng $AB$ . Chứng minh rằng $I$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABK$ khi và chỉ khi $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDJ$ .

Bài 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ và $P, Q$ là các điểm bên trong $ABCD$ sao cho $PQDA$ và $QPBC$ là các tứ giác nội tiếp. Giả sử tồn tại một điểm $E$ trên đoạn thẳng $PQ$ sao cho $\angle PAE=\angle QDE$ và $\angle PBE=\angle QCE$ . Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 4. Trong tam giác nhọn $ABC$ , các đoạn thẳng $BE$ và $CF$ là các đường cao. Hai đường tròn đi qua các điểm $A$ và $F$ và tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại các điểm $P$ và $Q$ sao cho $B$ nằm giữa $C$ và $Q$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $PE$ và $QF$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ .

Bài 5. Cho $k$ và $n$ là các số nguyên với $0\le k\le n-2$ . Xét một tập $L$ gồm $n$ đường thẳng trong mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Gọi $I$ là tập hợp các giao điểm của các đường thẳng trong $L$ . Cho $O$ là một điểm trong mặt phẳng không nằm trên bất kỳ đường thẳng nào của $L$ . Một điểm $X\in I$ được tô màu đỏ nếu đoạn thẳng mở $OX$ cắt không quá $k$ đường thẳng trong $L$ . Chứng minh rằng $I$ chứa ít nhất $\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ điểm màu đỏ.

Bài 6. Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Chứng minh rằng tồn tại một điểm $P$ nằm trong tứ giác sao cho $\angle PAB+\angle PDC=\angle PBC+\angle PAD=\angle PCD+\angle PBA=\angle PDA+\angle PCB=90^{\circ}$ khi và chỉ khi hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.

Bài 7. Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $BA\ne BC$ . Gọi $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ lần lượt là đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ . Giả sử tồn tại một đường tròn $\omega$ tiếp xúc với tia $BA$ ở phía ngoài điểm $A$ và với tia $BC$ ở phía ngoài điểm $C$ , đồng thời cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$ . Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ cắt nhau trên $\omega$ .

Số học

Bài 1. Cho $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là các số nguyên (không nhất thiết dương) thỏa mãn các phương trình $a^{n}+pb=b^{n}+pc=c^{n}+pa$ , thì $a=b=c$ .

Bài 2. Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số nguyên dương phân biệt, $n\ge3$ . Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i$ và $j$ phân biệt sao cho $a_{i}+a_{j}$ không phải là ước của bất kỳ số nào trong các số $3a_{1},3a_{2},...,3a_{n}$ .

Bài 3. Cho $a_{0},a_{1},a_{2}$ ,… là một dãy các số nguyên dương sao cho ước chung lớn nhất của hai số hạng liên tiếp bất kỳ luôn lớn hơn số hạng đứng ngay trước đó; ký hiệu là $\gcd(a_{i},a_{i+1})>a_{i-1}$ . Chứng minh rằng $a_{n}\ge2^{n}$ với mọi $n\ge0$ .

Bài 4. Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các số

$\displaystyle\binom{2^{n}-1}{0},\binom{2^{n}-1}{1},\binom{2^{n}-1}{2},...,\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1}$

đồng dư theo mô-đun $2^{n}$ với $1,3,5,...,2^{n}-1$ theo một thứ tự nào đó.

Bài 5. Với mỗi $n\in\mathbb{N}$ , gọi $d(n)$ là số lượng các ước số (dương) của $n$ . Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ có các tính chất sau: