1.1. Các trường hữu hạn


Cho K là một trường giao hoán. Ảnh của \mathbb{Z} trong K là một miền nguyên, do đó sẽ đẳng cấu với \mathbb{Z} hoặc \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ở đó p là một số nguyên tố; trường các thương của nó sẽ đẳng cấu với \mathbb{Q} hoặc \mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Trong trường hợp đầu,  ta nói Kđặc số không; trong trường hợp sau, ta nói Kđặc số p.

Đặc số của K kí hiệu bởi \text{char}(K). Nếu \text{char}(K)=p\not = 0, p cũng là số nguyên dương n bé nhất để n\cdot 1=0.

Bổ đề.Nếu \text{char}(K)=p, ánh xạ \sigma : x\mapsto x^p là một đẳng cấu của K lên một trong các trường con của nó K^p.

Chúng ta có \sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y). Hơn nữa hệ số nhị thức C_p^k là đồng dư với 0\pmod{p} khi 0<k<p. Từ điều này sẽ được \sigma (x+y)=\sigma (x)+\sigma (y); do vậy mà \sigma là đồng cấu. Hơn nữa, \sigma rõ ràng là đơn ánh.

Định lí 1.-i)Đặc số của một trường hữu hạn K là một số nguyên tố p; nếu f=[K:\mathbb{F}_p], số phần tử của K bằng p^f.

ii)Cho p là một số nguyên tố và cho q=p^f(f\geq 1) là một luỹ thừa của p. Cho \Omega là một trường đóng đại số có đặc số p. Có tồn tại duy nhất trường con \mathbb{F}_q của \Omegaq phần tử. Nó là tập các nghiệm của đa thức X^q-X.

iii)Tất cả trường hữu hạn với q=p^f(f\geq 1) phần tử đều đẳng cấu với \mathbb{F}_q.

Nếu K hữu hạn, nó không chứa \mathbb{Q}. Do vậy đặc số của nó là một số nguyên tố p. Nếu f là bậc của mở rộng K/\mathbb{F}_p, rõ ràng là \text{Card}(K)=p^f, và i) được chứng minh.

Mặt khác, nếu \Omega là đóng đại số và có đặc số p, bổ đề trên chứng tỏ là ánh xạ x\mapsto x^q(ở đây q=p^f(f\geq 1)) là một tự đẳng cấu của \Omega; cụ thể, ánh xạ này là luỹ thừa bậc f của tự đẳng cấu \sigma : x\mapsto x^q (chú ý rằng \sigma là toàn ánh vì \Omega là đóng đại số). Do đó, các phần tử của \Omega bất biết dưới tự đẳng cấu x\mapsto x^q là một trường con \mathbb{F}_q của \Omega. Đạo hàm của đa thức X^q-XqX^{q-1}-1=p\cdot p^{f-1}X^{q-1}-1=-1, và nó khác 0. Điều này kéo theo (vì \Omega là đóng đại số) X^q-Xq nghiệm phân biệt, do đó \text{Card}(\mathbb{F}_q)=q. Ngược lại, nếu K là một trường con của \Omega với q phần tử, nhóm nhân K^* các phần tử khác không của Kq-1 phần tử. Khi đó x^{q-1}=1 nếu x\in K^*x^q=x với x\in K. Điều này chứng tỏ K chứa trong \mathbb{F}_q. Vì \text{Card}(K)=\text{Card}(\mathbb{F}_q) ta có K=\mathbb{F}_q, do vậy ta có ii).

Mệnh đề iii) có được từ  ii) cùng với chú ý là mỗi trường có p^f phần tử đều có thể nhúng vào \Omega vì nó là đóng đại số.

Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số


Ta đã biết bốn phép toán trên hai số nguyên, đó là cộng, trừ, nhân và chia. Ba phép toán đầu tác động lên hai số nguyên sẽ cho một số nguyên nhưng phép toán thứ tư thì không như thế. Với một số nguyên m và một số nguyên khác không n ta nói m chia hết cho n (m là bội của n, n là ước của m) nếu có số nguyên p sao cho m=np, khi sự kiện này xảy ra ta sẽ viết n|m hoặc m\, \d{:} \, n. Thật không may, kí hiệu sau mặc dù được dùng thông dụng trong các sách giáo khoa Số học tại Việt Nam nhưng tôi không thể gõ được nó khi dùng \LaTeX . Bởi thế mà từ giờ cho đến cuối tôi sẽ dùng kí hiệu thứ nhất, các bạn học sinh khi làm bài thi chỉ được dùng ký hiệu thứ hai, thật quá rắc rối!

Định lý 1. Cho các số nguyên x,y,z. Khi đó ta có các tính chất sau

a)x|x;

b)Nếu x|yy|z thì x|z;

c)Nếu x|yy\not =0 thì |x|\leq |y|;

d)Nếu x|yx|z thì x|my+nz\forall m,n\in\mathbb{Z};

e)Nếu x|yx|y\pm z thì x|z;

f)Nếu x|yy|x thì |x|=|y|.

Định lý 2. Với mỗi số nguyên dương ab tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên không âm sao cho a=bq+rr<b. Ta nói r là dư, q là thương trong phép chia a cho b.

Ví dụ. Tìm q,r nếu

a)a=b=3;

b)a=78,b=9;

c)a=9,b=78.

Với các số nguyên ta có kết quả sau

Định lý 3. Với các số nguyên a,bb\not = 0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên sao cho a=bq+r0\leq r<|b|.

Ví dụ. Tìm q,r nếu a=-98,b=-7.

Hệ quả 1. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 2k+1 hoặc 2k, với k là một số nguyên nào đó.

Hệ quả 2. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 3k,3k+1 hoặc 3k+2 với k là số nguyên nào đó.

\clubsuit Bạn có thể đưa ra một kết quả tương tự?

Số nguyên p>1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước dương là 1p. Vài số nguyên tố đầu tiên là 2,3,5,7,11,13.

\bigstar Hãy viết ra 12 số nguyên tố đầu tiên.

Số nguyên n>1 được gọi là một hợp số nếu nó không phải là một số nguyên tố, số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, hãy lưu ý điều này.

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng ước dương khác 1 bé nhất của n phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 sẽ có ít nhất một ước nguyên tố và có vô số các số nguyên tố.

Bài 2. Nếu n là hợp số thì nó có ít nhất một ước nguyên tố không lớn hơn \sqrt{n}.

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố chẵn.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương n để tất cả các số 3n-4,4n-55n-3 là nguyên tố.

Bài 5. Nếu p,q là các số nguyên tố sao cho phương trình x^2-px+q=0 có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, hãy tìm p,q.

Bài 6. Hãy viết ra 2009 số nguyên dương liên tiếp mà chúng đều là hợp số cả.

Định lý 4 (Định lý cơ bản của số học). Mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể viết một cách duy nhất (không kể thứ tự) thành tích của các số nguyên tố.

Ví dụ. Tìm số các uớc dương của 24,120600. Viết ra công thức cho số ước dương của một số nguyên dương n bất kỳ.

Hệ quả 1. Nếu p là một số nguyên tố, ab là các số nguyên sao cho p|ab thì p|a hoặc p|b.

Trước khi đến với một hệ quả rất quan trọng chúng ta cần khái niệm ước chung lớn nhất: Cho hai số nguyên không đồng thời bằng 0. Ước chung lớn nhất của hai số này là một số nguyên dương, ký hiệu là (a,b), là ước của cả hai số đó và là số lớn nhất có tính chất này. Nếu (a,b)=1 ta nói hai số ab là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Tìm (-16,24).

Hệ quả 2.

a)Nếu a|bc(a,b)=1 thì a|c;

b)Nếu a|c, b|c(a,b)=1 thì ab|c.

Hệ quả b) được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh quan hệ chia hết. Chẳng hạn, để chứng minh 120|c trước tiên ta phân tích 120 ra thành tích của các số a_i đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó chứng minh c chia hết cho tất cả các nhân tử này. Thường thì ta phân tích luôn số đó ra thừa số nguyên tố vì làm việc với các số nguyên tố nhìn chung là dễ chịu hơn nhiều (trong các bài toán chia hết).

Một số bài toán về phương trình bậc hai


Để làm được các bài toán ở đây các học sinh cần chắc các kiến thức về phương trình bậc hai (công thức nghiệm, định lý Viét, phương trình trùng phương,…) và cách giải bài toán xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol.

Bài 1.  Cho phương trình x^2+(2m-1)x-m-3=0. (*)

a)Tìm các giá trị m để (*) có các nghiệm x_1,x_2 thỏa mãn x_2-x_1=7;

b)Tìm các giá trị của m để biểu thức P=(x_1-x_2)^2 có giá trị nhỏ nhất. Ở đây x_1,x_2 là các nghiệm của (*);

c)Viết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

Bài 2.  Cho phương trình x^2-2mx-m=0(1). Trong đó m<-1 là tham số. a)Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm x_1,x_2. b)Chứng minh rằng x_1^2+2mx_2-m>0.

c)Xác định giá trị của m để  biểu thức A=\dfrac{1}{x_1^2+2mx_2+11(m+1)}+\dfrac{1}{x_2^2+2mx_1+11(m+1)} có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 3.  Tìm các giá trị a\in\mathbb{Z} sao cho phương trình 5x^2-(2a-5)x+a^2+1=0 có nghiệm nguyên.

Bài 4.  Cho parabol (P) có phưong trình y=\dfrac{1}{4}x^2 và đường thẳng (d) có phương trình y=\dfrac{1}{2}x+2.

a)Chứng minh rằng (P)(d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt AB. Vẽ đường thẳng  và parabol trên cùng một hệ trục toạ độ.

b)Xác định toạ độ của M thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 5.  Cho phương trình (2m+3)x^2+2(m+1)x-1=0(1)

a)Tìm m để (1) có nghiệm dương nhỏ hơn 1;

b)Tìm m để (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn |x_1^2-x_2^2|=1.

Bài 6.  Cho parabol (P) có phương trình y=x^2 và đường thẳng (d) có phương trình mx-y=-1. Chứng minh rằng

a)Khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định M và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B;

b)Tam giác OAB vuông;

c)|x_A-x_B|\geq 2.

Bài 7.  Cho phương trình mx^2+2(m-2)x+m-3=0. (1)

a)Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu;

b)Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của x_1^2+x_2^2.

Bài 8.  Cho a,b là các nghiệm của x^2+x-1=0. Chứng minh rằng a+b+a^3+b^3a^2+b^2+a^4+b^4 là các số nguyên chia hết cho 5.

Bài 9.  Cho phương trình x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0. (1)

a)Giải phương trình (1) khi m=12;

b)Tìm m để (1) có bốn nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn bốn nghiệm đó trên trục số ta được ba đoạn liên tiếp bằng nhau.

Bài 10.  Giải phương trình (x^2-3x+3)(x^2-2x+3)=2x^2.

Bài 11.  Cho phương trình (m^2+1)x^2+2(m^2+1)x-m=0(1), với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x_1^2+x_2^2, với x_1,x_2 là các nghiệm của (1).

Bài 12.  Cho phương trình (m+3)x^2-2(m^2+3m)x+m^3+12=0. (1)

a)Tìm số nguyên m bé nhất sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt;

b)Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x_1^2+x_2^2 là số nguyên.

Bài 13.  Cho phương trình (x+1)^4-(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0 (1).

a)Giải phương trình với m=-1;

b)Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m;

c)Gọi hai nghiệm của (1) là x_1,x_2. Tìm m để |x_1|+|x_2|=2.

Bài 14.  Cho parabol (P):y=x^2 và đường thẳng (d):y=mx+1.

a)Chứng minh rằng (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Gọi A,B là các giao điểm nói trên. Tìm m để (y_A-1)(y_B-2) lớn nhất.

Bài 15.  Cho phương trình x^2+bx+c=0 với b,c là các tham số thoả mãn b+c=4. Tìm b,c để phương trình có các nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1=x_2^2+x_2.

Các đẳng thức có điều kiện


Bài 1 .  Cho các số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3=3abc.

Bài 2.  Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=0.

Chứng minh rằng

\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^3}{yz}.

Bài 3.  Cho các số thực a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d=0. Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).

Bài 4.  Cho a,b,c là các số thực khác 0 sao cho a+b+c=0a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5. Chứng minh rằng a^2+b^2+c^2=\dfrac{6}{5}.

Bài 5.  Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực sao cho x^3+y^3+z^3\not =0 thì \dfrac{2xyz-x-y-z}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow x+y+z=0.

Bài 6.  Cho x,y,z là các số thực thoả mãn \sum (x-y)^2=\sum (x+y-2z)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

Bài 7.  Cho các số thực a,b,c khác 0 thoả mãn điều kiện a+2b-3c=0bc+2ca-3ab=0. Chứng minh rằng a=b=c.

Bài 8.  Cho ba số m,n,p mà có tổng bằng 0. Chứng minh rằng

a)m^3+m^2p-mnp+n^2p+n^3=0;

b)(m^2+n^2+p^2)^2-2(m^4+n^4+p^4)=0;

c)\dfrac{1}{n^2+p^2-m^2}+\dfrac{1}{p^2+m^2-n^2}+\dfrac{1}{m^2+n^2-p^2}=0.

Bài 9.  Chứng tỏ rằng giá trị của hai biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến m,n,p nếu m+n+p=0

a)S=\left(\dfrac{m-n}{p}+\dfrac{n-p}{m}+\dfrac{p-m}{n}\right)\left(\dfrac{p}{m-n}+\dfrac{m}{n-p}+\dfrac{n}{p-m}\right).

b)T=\left(1+\dfrac{m}{n}\right)\left(1+\dfrac{n}{p}\right)\left(1+\dfrac{p}{m}\right).

Bài 10.  Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực có tổng bằng 0 thì

a)2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2), và

b)10(x^7+y^7+z^7)=7(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5).

Bài 11.  Chứng minh rằng nếu a,b,c,d là các số thực thoả mãn a^2+b^2=c^2+d^2=1ac+bd=0 thì a^2+c^2=b^2+d^2=1ab+cd=0.

Bài 12.  Tính tổng \dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\dfrac{1}{1+x_3+x_3x_1} nếu biết x_1>0,x_2>0,x_3>0x_1x_2x_3=1.

Bài 13.  Chứng minh rằng nếu m,n,p là các số hữu tỷ và mn+np+pm=1 thì tích (1+m^2)(1+n^2)(1+p^2) là bình phương của một số hữu tỷ.

Góc nội tiếp và tam giác đồng dạng


Bài này chúng ta sẽ đề cập đến các bài toán chứng minh các tam giác đồng dạng mà sử dụng công cụ góc nội tiếp.

Bài 1.  Các đỉêm A,B,C,D nằm trên một đường tròn cho trước. Gỉa sử ABCD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng \dfrac{AC\cdot AD}{AM}=\dfrac{BC\cdot BD}{BM}.

Bài 2.  Đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn đường kính AB tại điểm C. Các điểm M,N là hình chiếu vuông góc của các điểm A,B lên đường thẳng l, tương ứng. Đỉêm D là hình chiếu vuông góc của điểm C trên AB. Chứng minh rằng CD^2=AM\cdot BN.

Bài 3.  Các điểm A,B,C nằm trên một đường tròn cho trước. Khoảng cách BC lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng l, là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng AC cắt đường thẳng vẽ qua B song song với l tại D. Chứng minh rằng AB^2=AC\cdot AD.

Bài 4. Cho tam giác ABC với AH là đường cao của nó. Một đường thẳng l bất kỳ đi qua A. Gọi B_1,C_1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên l. Chứng minh rằng \Delta ABC\sim \Delta HB_1C_1.

Bài 5. Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P. Các đoạn APBC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng \dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}.

Bài 6. Một đường thẳng đi qua đỉnh C của tam giác đều ABC cắt cạnh AB tại điểm M và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N. Chứng minh rằng CM\cdot CN=AC^2  và \dfrac{CM}{CN}=\dfrac{AM\cdot BM}{AN\cdot BN}.

Bài 7. Xét hình bình hành ABCD với góc tại đỉnh A nhọn. Trên tia ABCB lấy các điểm HK tương ứng sao cho CH=CBAK=AB. Chứng minh rằng

a)DH=DK;

b)\Delta DKH\sim \Delta ABK.

Bài 8. Đường tròn S_1 có đường kính AB giao với đường tròn S_2 có tâm tại A tại các điểm CD. Qua điểm B vẽ một đường thẳng, nó cắt S_2 tại M(nằm trong S_1) và nó cắt S_1 tại N. Chứng minh rằng MN^2=CN\cdot ND.

Bài 9. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A,B. Qua A vẽ các tiếp tuyến AM,AN với hai đường tròn(M,N là các điểm trên các đường tròn). Chứng minh rằng \dfrac{BM}{BN}=\left(\dfrac{AM}{AN}\right)^2.

Trung bình cộng – trung bình nhân (1)


Nếu a_1,a_2,\cdots,a_nn số thực không âm thì \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.

Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 3\sqrt{2}.

Bài 2. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}.

Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

a)a^2+b^2+c^2\geq 3;

b)a^3+b^3+c^3\geq 3;

c)a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2

Bài 4. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a^2+b^2+c^2a^3+b^3+c^3.

Bài 5. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng  (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.

Bài 6. Chứng minh rằng

a)(a+b)(1/a+1/b)\geq 4\forall a,b>0;

b)(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\geq 9\forall a,b,c>0.

Bài 7. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thoả mãn \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6. Xét biểu thức P=x+y^2+z^3.

a)Chứng minh rằng P\geq x+2y+3z-3;

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 8. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{b(a-b)}\geq 3 với a>b>0.

Bài 9. Cho hai số dương a,b thoả mãn a+b=1. Chứng minh rằng

a)\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\geq 6;

b)\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}\geq 14.

Bài 10. Chứng minh rằng

\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geq 4\forall a,b,c,d>0.

Mở đầu về bất đẳng thức



I. Phương pháp biến đổi tương đương

Bài 1. Chứng minh rằng

a, x^4+y^4\geq x^3y+xy^4\forall x,y\in\mathbb{R};

b, a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\forall a,b,c\in\mathbb{R};

c, a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)\forall a,b,c,d,e\in\mathbb{R}.

Bài 2. Cho z\geq y\geq x>0. Chứng minh rằng y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).

II. Đánh giá đại diện

Bài 1. Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1.

Chứng minh rằng \sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\leq 1.

Bài 2. Chứng minh rằng với ba số thực dương a,b,c ta có \sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \dfrac{a+b+c}{3}.

III. Phản chứng

Bài 1. Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai a(1-b)>\dfrac{1}{4}, b(1-c)>\dfrac{1}{4},c(1-a)>\dfrac{1}{4}.

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thoả mãn abc>0,ab+bc+ca>0,a+b+c>0. Chứng minh rằng a>0,b>0,c>0.

IV. Bài tập về nhà

Bài 1. Cho 0<a,b,c<2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai a(2-b)>1, b(2-c)>1, c(2-a)>1 .

Bài 2. Cho ab\geq 1. Chứng minh rằng \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\geq\dfrac{2}{1+ab}, từ đó suy ra rằng nếu x,y,z\geq 1 thì \dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\geq\dfrac{3}{1+xyz}.

Bài 3. Cho hai số thực a,b thoả mãn a+b\geq 0.  Chứng minh rằng \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\leq\dfrac{a^3+b^3}{2}.

Bài 4. Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng

\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq\sqrt{3}(x+y+z).

Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}. Chứng minh rằng \dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\geq 4.

Bài 6. Cho các số thực dương x,y thoả mãn x^2+y^3\geq x^3+y^4. Chứng minh rằng x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2.

Bài 7. Cho các số thực a,b,c. Chứng minh rằng ba số này cùng dấu khi và chỉ khi ab+bc+ca>0\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}>0.